Conjuntos acotados. Inecuaciones

Resumen

En el presente trabajo trataremos acerca de lo que respecta a conjuntos acotados y inecuaciones relacionadas.Un conjunto A se dice acotado si y sólo si tiene cota superior e inferior. Un conjunto que tiene sólo una cota superior se dice superiormente acotado y, análogamente, uno con sólo una cota inferior se dice inferiormente acotado. El concepto de cota en fundamental en el estudio de sucesiones, ya que el límite de una sucesión acotada es su cota superior o inferior según el caso. Una ecuación irracional no es más que una ecuación cuyas incógnitas están contenidas dentro de raíces, llamadas estas expresiones, radicales.

Para resolver este tipo de ecuaciones se procederá siempre de la misma manera, eliminando lo que nos molesta, los radicales. Esto se consigue elevando ambos miembros de la igualdad al índice de la raíz (es decir, si está con una raíz cuadrada, al cuadrado, si es una raíz cubica, al cubo, y así sucesivamente).

Bounded sets and irrational Inequations

Abstract

In this paper we discuss about terms bounded sets and set relacionadas.Un equations A is said bounded if and only if it has upper and lower bound . A set that has only an upper bound is said bounded above and, similarly, one with only a lower bound is bounded inferiorly says . The concept of a fundamental dimension in the study of inheritance , as the limit of a bounded sequence is its upper or lower bound as appropriate. An irrational equation is simply an equation whose unknowns are contained within roots, called these expressions, radicals.

To solve such equations are always proceed in the same manner, eliminating what bothers us , radicals . This is achieved by raising both members of the equality index of the root ( ie , if a square root , squared, if a cubic root, cubed, and so on ) .

Estructura:

Justificación

El presente trabajo tiene como propósito contribuir a la formación integral del alumno en el desarrollo de habilidades y destrezas básicas para facilitar la interpretación del medio que lo rodea, tomando en cuenta el desarrollo científico y tecnológico.En el área de matemática se pretende que mediante el manejo de estrategias, los alumnos vayan desarrollando su pensamiento lógico y su capacidad de resolución de problemas.

La matemática implica la consideración de una nueva visión para sustituir y revisar la planificación de estrategias que se han venido haciendo hasta ahora, así como también las creencias que han influido sobre ellas. Se apoya en un conjunto de teorías, métodos y procedimientos para alcanzar una visión compleja y comprometida de la realidad; educar para la vida

Metodología:

Fuentes:

La información de los datos requerida de la presente investigación es de tipo secundaria ya que los datos no son obtenidos por el investigador directamente si no que son proporcionados por otros medios principalmente bibliográficos.

Objetivos:

OBJETIVO GENERAL

• Mejorar el desempeño de las operaciones básicas de matemática, específicamente en lo relacionado a conjuntos acotados y ecuaciones irracionales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Determinar las deficiencias presentes en los alumnos de matemática básica.

• Facilitar actividades didácticas para mejorar el desempeño de las operaciones de conjuntos y ecuaciones.

Introducción

La matemática forma parte integral del ambiente cultural, social, económico y tecnológico del ser humano". Por ejemplo; a un niño en la calle se le puede encontrar resolviendo un problema; un adulto, ya sea un conductor de un transporte público, una ama de casa, un agricultor, unalbañil, entre otros; todos utilizan la matemática y resuelven problemas con sus propios métodos; a veces, sin percatarse de ello.

El aprendizaje de las operaciones en nuestras aulas debe ser el resultado de la interacción entre las matemáticas organizadas por la comunidad científica y los cálculos como actividad humana. Es decir; el aprendizaje de las mismas es necesario que se oriente hacia la búsqueda de soluciones a las dificultades surgidas del estudio de situaciones problemáticas presentadas al alumno en su ambiente social.

Dentro de estas se considera como uno de los ambientes donde el estudiante se prepara para la vida; con lo cual el aprendizaje de conceptos matemáticos exige la observación de los eventos del mundo, y así sea una forma particular de organizar los objetos y los acontecimientos en el mundo. Por otra parte, no se puede seguir pensando que la matemática se aprende practicando, realizando toneladas de ejercicios y memorizando una gran cantidad de fórmulas; esto conduce, a que los estudiantes pierdan el interés por esta asignatura y se desmotiven. Esto puede traer como consecuencia un alto número de estudiantes no aprobados al final de un año escolar. Finalmente, la matemática en la escuela debe preparar al estudiante en su confrontación con la realidad, para que entienda y se adapte al entorno donde vive. Así mismo, el estudiante será creativo, crítico y constructor de su propio conocimiento matemático.

Proceso o desarrollo

Venero.B. define:

• CONJUNTOS ACOTADOS.-

Existen conjuntos de números reales cuyos elementos tienen la característica de no ser mayores que un cierto valor constante, tal como ocurre con los elementos del conjunto

A = ? – oo, 6 ? con respecto al valor constante 7, por ejemplo; como se ve en la figura.

• DEFINICIÓN Se llama COTA SUPERIOR de un conjunto A de números reales a todo número real c tal que

Es decir, cualquier número que sea mayor o igual que todos los elementos de A, se llama COTA SUPERIOR DE A.

Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el conjunto A está ACOTADO SUPERIORMENTE. Para ilustrar estas definiciones, tomaremos el conjunto A = ? — oo , 6 ? y una de sus cotas superiores c = 7 .

Note que cualquiera de los números reales mayores que 6, e incluso 6, es también cota superior de este conjunto A, en particular c = 6.5, c = 7, c = 8, etc.

De todas estas cotas superiores de A, el número 6 es la menor, como será demostrado luego.

• DEFINICIÓN .- A la menor de las cotas superiores de un conjunto A de números

reales, acotado superiormente, se le llama SUPREMO (o MÍNIMA COTA SUPERIOR)de A , y se denota sup(A).

• OBSERVACIONES.-

• El supremo de A es también una cota superior del conjunto A.

• Esta menor cota superior está caracterizada por la condición siguiente que o:, equivalente a la Definición dada:

• El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A, como es el caso de

A = ? — oo, 6 ? cuyo supremo (que es igual a 6) no pertenece al conjunto dado A.

La existencia del SUPREMOpara conjuntos acotados superiormente está asegurada por el siguiente axioma, con el cual completamos el SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES en lo que a sus propiedades respecta.

• EJERCICIO.- Demuestre que si A = ? — oo, 6 ?) entonces supA = 6.

La prueba será hecha por reducción al absurdo:

Supongamos que 6 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que existe una cota superior c de A tal que c < 6, y puesto que

• DEFINICIÓN Se llama COTA INFERIORde un conjunto A

De números reales a todo número real c tal que X > C, V X ? A.

• EJEMPLO Si A = [4,9 ? entonces c = 1 es una cota inferior de A.

Si para un conjunto A existe alguna cota inferior, entonces se dice que A está ACOTADO INFERIORMENTE, en cuyo caso siempre es posible encontrar la mayor de las cotas inferiores a la que se le denomina como el ÍNFIMO DE A o también LA MAYOR COTA INFERIOR DE A, y se le denota por inf(A) .

• NOTA .- El ÍNFIMO de un conjunto A está caracterizada por la condición:

Con respecto al ínfimode un conjunto de números reales, se pueden hacer observaciones análogas al supremo,como por ejemplo, que el ÍNFIMO puede no ser elemento del conjunto dado.

Además, como consecuencia del AXIOMA DEL SUPREMO se demuestra que:

"Si A es un conjunto no vacío de números reales, acotado inferiormente, entonces A posee una MÁXIMA COTA INFERIOR (o ÍNFIMO) en R ' '

• EJEMPLO

Melba Báez de Erazo, define:

PRINCIPIO ARQUIMEDIANO.-

PRUEBA

SOLUCIÓN Encontraremos además, el Supremo y el ínfimo de A, ubicando los elementos de A en una recta:

De esta manera, inf (A) = 0.

• EJERCICIO.- Si A y B son dos conjuntos de números reales, no vacíos y aco_

tados superiormente, tales que A c B , demuestre que:

sup A = sup B .

SOLUCIÓN

PRUEBA

DEFINICIÓN.- 1) Se llama MÁXIMO DE A, y se denota max (A) al supremo

de A cuando éste es el elemento de A.

2) Se llama MÍNIMO DE A, y se denota min (A) al ínfimo de A cuando éste es el elemento de A.

EJERCICIO Determine el Supremo y el ínfimo, si existen, de

SOLUCIÓN:

• TEOREMA Si a > 0 , b > 0 , demostrar que existe un entero positivo

n? N tal que 0 < b < n a .

(Ver el Ejercicio Propuesto [9]).

• PRINCIPIO DEL BUEN ORDENAMIENTO

Todo conjunto no vacío de números naturales posee un menor elemento, en dicho conjunto.

Por ejemplo, sea S = {enteros positivos múltiplos de 4 y 6 a la vez}

= {12, 24, 36,…}

Entonces 12 = menor elemento de S, 12 ? s.

• TEOREMA

PRUEBA:

Espinoza, R. (2009) define

• TEOREMA (EXISTENCIA DE UN RACIONAL ENTRE DOS NÚMEROS REALES)

Para cualquier par de números reales a ybtales que a <</b>bsiempre existe un número RACIONAL rtal que:

a < r < b.

NOTA.- Como consecuencia de este teorema, y debido a que el número racional r es al mismo tiempo un número REAL tal que a < r, entonces existirá otro número RACIONAL r' tal que: a < r' < r < b.

De aquí se sigue que entre dos números reales en realidad existe una cantidad infinita de números racionales. Por tal razón al teorema [9.24] también se le conoce como la PROPIEDAD DE DENSIDAD DE LOS RACIONALES EN R.

PRUEBA.-

• EJERCICIO.-

SOLUCIÓN.-

OTRAS SOLUCIONES

2.3 EJERCICIOS.-

• TEOREMA.-

• COROLARIO.- Sea A un conjunto acotado en R. Definimos el conjunto

PRUEBA.- Hacer k = -l en la parte (a) del TEOREMA [9.27] previo.

• COROLARIO.- Sea A un conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente,

y sea k un número real fijo. Si se define

• EJERCICIO.-

Y como para n = 3k = múltiplo de 3, z coincide con 1/3 entonces sup (E) = 1/3. Lugo, E resulta ser un conjunto acotado.

2)

• EJERCICIO.-

2.9 EJERCICIO.- Si existe, halle el supremo y el infinito de:

SERIE DE EJERCICIOS

• Si A y B son dos conjunto no vacíos y acotados interiormente tales que

A c B, pruebe que. Inf= B infA .

• Si A y B son dos conjuntos acotados y disjuntos, pruebe que:

• Dar un ejemplo de dos conjuntos Ay B , mediante intervalos tales que

• Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B, tales que:

• Dado el conjunto A cuyos elementos tienen la forma:

Pruebe que A no tiene Supremo y que inf (A) = -0.125.

• Encuentre el Supremo y el ínfimo de cada uno de los conjuntos:

Inecuaciones irracionales

Espinoza, R. (2010), define

ii) Si n es entero positivo impar.

Daremos algunos ejemplos de ilustración e estas propiedades, para después estudiar las diversas formas de inecuaciones irracionales.

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.

Figueroa García R (1992) define:

• 1. Ahora veremos cómo resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuaciones.

• 1)  Para las inecuaciones irracionales de las formas:

• 2) Para las inecuaciones irracionales de las formas:

• 3) Para las inecuaciones irracionales de las formas.

• 4) Para las inecuaciones irracionales de las formas.

• 5) Para las inecuaciones irracionales de las formas.

Conclusiones

• Hay conjuntos de números reales cuyos elementos tienen la característica de no ser mayores que un cierto valor constante.

• Si en un conjunto existe alguna cota inferior se dice que esta acotado inferiormente en cuyo caso siempre es posible encontrar la mayor de las cotas inferiores a la que se denomina como el ínfimo de a o también la mayor cota inferior de a y se le denota por inf(a).

• A la menor de las cotas superiores de un conjunto de números reales, acotado superiormente, se le llama SUPREMO (o minima cota superior) y se denota sup(A).

Bibliografía

• Figueroa García R, Matemática Básica. Editorial América. Lima – Perú. 1992

• Espinoza, R. 2000. Matemática basica.2° edición. Editorial educa Perú. Lima-Perú, Pg 185 – 196.

• Venero.B. 2004. Introducción al análisis matemático. 2° edición. Ediciones Gemar. Perú, Pg 134 – 150.

• Melba Báez de Erazo, Reyita T. de Frías. Matemática básica 1. 3º edición Editor Editora "Alfa y Omega", 1982.Pg 94 – 128.

• Peña Rafael, Geraldino. Matemática Básica Superior. 3ra Edición.

Autor:

Aceijas Pérez Paul1

Becerra Camacho Luis2

Romero Ruiz Heber3

1Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería Geológica de la Universidad Nacional de Cajamarca.

2Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería Geológica de la Universidad Nacional de Cajamarca.

3Estudiante, Carrera Profesional de Ingeniería Geológica de la Universidad Nacional de Cajamarca.

CURSO:

MATEMATICA BASICA I

DOCENTE:

ING.

HOMERO BARDALES TACULI