Análisis y diseño del coeficiente de: Capacidad de producción y factor de escalamiento (página 2)

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN

En todo fenómeno industrial y social se presenta la Ley de acción y reacción, lo cual interpretamos muy fácilmente mediante la aplicación de una ilustración práctica:

Aplicaciones: Acción y reacción, efecto causa.

Para estudiar con mayor amplitud el presente proceso de Capacidad de Producción y Factor de Escalamiento es necesario que el lector este familiarizado con el presente mediante el análisis que se presenta a continuación.

1. Es el límite (superior ó inferior dependiendo del caso de aplicación) del coeficiente, la variación proporcional del factor influyente y el cambio proporcional del peso y volumen –. Por lo tanto su representación matemática es como sigue:

   		(1)

   Dicha ecuación se lee, el factor influyente esta en función del tiempo y el tiempo esta en función del volumen.

   Con ello representamos una función de defecto e incremento del tiempo en un punto cualquiera del proceso – sistema dinámico –, de esa forma se tiene la representación matemática del coeficiente de flexibilidad del defecto , como sigue:

   (2)

   Donde se denomina razón promedio de cambio de t respecto a W.

   Por lo tanto en el límite – coeficiente de flexibilidad de incremento – tiene la siguiente expresión:

   (3)

   La figura 1 nos indica que al incrementarse el valor del tiempo de t0 a t1, la cantidad del factor de mayor influencia experimenta un decremento disminuyendo de W0 a W1.

   Al realizar el experimento se deberá tener en cuenta los datos del cuadro adjunto.

   Wd	Wd1	Wd2	Wd3
   Wr t V	Wr1 t1 V1	Wr2 t2 V2	Wr3 t3 V3

   Para obtener Wd1 y todos los factores se aplica la relación:

   (4)

   Para hallar el coeficiente de flexibilidad de cada uno de los proceso – defecto ó incremento, se deberá procesar bajo las siguientes relaciones obteniéndose los coeficientes para ambos factores.

   		(5)
   		(5´)
   		(6)
   		(6´)

   Los valores Cfd y CFr no siempre son iguales numéricamente, no interviene el signo debido a que se utiliza el valor absoluto de dicho factor, ambos factores nos dan valores cinéticos del proceso.

   

   Figura 1. Incremento y decremento

2. Coeficiente de flexibilidad.

   

   Figura 2. Investigación de capacidad de producción

   (7)

   Visto el fenómeno y graficando las curvas, podemos ver claramente el orden polinomial-fraccional, por lo tanto se cumple las funciones de los modelos matemáticos:

   		(8)
   		(9)

   Además la proporcionalidad se cumple solo sí:

   (10)

   De la ecuación (7), deducimos realizando un artificio matemático y aplicando la ecuación (10), obtenemos:

   (11)

   (12)

   La ecuación (3) nos indica el diferencial del factor de mayor influencia,

   (13)

   Del gráfico visualizamos que:

   		(14)
   		(15)

   Reemplazando (15) en (13)

   		(16)
   		(17)

   De la ecuación (12) obtenemos Wr

   (18)

   Reemplazando (18) en (17)

   (19)

   De donde obtenemos el Coeficiente de Capacidad de Producción.

   (20)

   Siendo

   

3. Capacidad de producción.

   

   Figura 3. Investigación factor

   de escalamiento

   Cuando realizamos experimentos a nivel laboratorio generalmente se efectúa a nivel de vasos, de 2 a 10 litros, en donde se pueden optimizar los factores de mayor influencia, generalmente de 2 a 7 variables, que influencian, aplicando diseños experimentales estadísticos:

   factoriales, fraccionados, bloques, Plackett-Burmann –, donde dichas variables deberán ser examinadas al máximo, para que los rangos de trabajo se reduzcan y de esa manera se puedan evaluar a nivel planta piloto, en donde los rangos de las variables deberán ser ratificados con un máximo y mínimo para poderlo examinar y evaluarlo posteriormente para su aplicación industrial.

   		(21)
   		(22)

   El coeficiente de flexibilidad del escalamiento a nivel piloto e industrial, se procesará bajo la siguiente relación:

   (23)

   El signo del coeficiente no interviene ya que trabaja con el valor absoluto.

   El modelo atribuible al proceso será:

   (24)

   De la ecuación (3) transformamos la expresión,

   (25)

   Obtenemos la diferencial del factor de mayor influencia

   (26)

   La ecuación (22) la reemplazamos en la ecuación (26)

   (27)

   La ecuación (21) reemplazando en (27) y (26) obtenemos,

   (28)

   De donde obtenemos el Factor de Escalamiento:

   (29)

   Siendo

   

   Donde:

   W W0 Wi Wd Wr dW t t0 t1 t2 Kp Vo Cfd Cfr Cfe M

   Peso, ton Peso en equilibrio, ton Peso inicial, ton Peso en decremento, ton Peso en incremento, ton Diferencial de peso Tiempo, años Tiempo en equilibrio, años Tiempo inicial, años Tiempo final, años Capacidad de producción Factor de escalamiento, veces más Coeficiente de flexibilidad decremento Coeficiente de flexibilidad incremento Coeficiente de flexibilidad escalamiento Escalamiento porcentual

    

4. Factor de escalamiento.

   

   Figura 4. Tipos de coeficientes de flexibilidad

   De la figura (4), se puede llegar a la siguiente conclusión que cuando:

   Cf > 1; es relativamente estable

   Cf = 1; es estable

   Cf < 1; es relativamente inestable

   1. De la figura (4) se puede deducir que cuando Cf > 1, al incrementarse el factor de mayor influencia en 10%, la cantidad del defecto va ha bajar más que proporcionalmente al 10%. Cuando esto ocurre en el análisis de la variación relativa del factor influyente, y del defecto, se dirá que el proceso presenta un coeficiente relativamente estable.

      Aplicaciones: De este coeficiente relativamente estable, es ampliamente usado en los procesos de cementación, recubrimientos metálicos, galvanoplastia, corrosión y refinación electrolítica.

      

      Figura 5. Gráfico del coeficiente relativamente estable

   2. Coeficiente relativamente estable

      Se dice que un proceso tiene coeficiente estable, cuando al incrementarse el factor de mayor influencia en 10% hace variar el efecto en la misma proporción.

      Aplicaciones: Este tipo de coeficientes son de amplia aplicación en procesos de lixiviación (cianuración, ácida, biológica, sales oxidantes). En procesos de extracción por solventes, resinas y alcoholes extractantes.

      

      Figura 6. Gráfico de coeficiente

      estable

   3. Coeficiente estable
   4. Coeficiente relativamente inestable

   Se considera que un proceso es relativamente inestable cuando al incrementarse el factor de mayor influencia en 10%, hace variar al tiempo en menor proporción al 10%.

   Aplicaciones: Se aplica ampliamente en procesos en donde la presión y temperatura se mantienen constantes. Autoclaves, lixiviación, preparación de productos químicos y farmacéuticos, etc.

   

   Figura 7. Gráfico de coeficiente relativamente estable

   Ejemplo aplicativo: Se cementa cobre de una solución lixiviada, adicionando chatarra de hierro, siendo sus datos operacionales a nivel de planta:

   WCu (Kg)	0,5	5
   WFe (Kg)	9	1
   t (h)	5	30

   El coeficiente de flexibilidad creciente, en este caso para la cementación de cobre es:

   (30)

   Coeficiente de flexibilidad decreciente, en el caso para la disolución del hierro es:

   (31)

   La capacidad de producción del cemento de cobre precipitado en el medio es:

   (32)

   La cantidad de hierro necesario para la para la ionización en el medio es:

   (33)

   El peso de cobre precipitado, recuperado, en el medio es:

   (34)

   La cantidad de hierro necesario para la disolución es:

   (35)

   Desarrollando las ecuaciones (34) y (35) obtenemos la tabla siguiente:

   t	WCu	WFe
   15 15,6 15,8 15,9	2,04 2,14 2,18 2,19	2,35 2,24 2,20 2,19
   16 16,5 16,8 17	2,21 2,30 2,35 2,39	2,17 2,09 2,04 2,01

    

   

   Figura 8. Gráfico de coeficiente de cementación de cobre mediante la adición de hierro

   Datos:

   	2,19 Kg
   	2,04 Kg
   	15,9 h
   	16,8 h
   	15,0 h
   	1,285
   	1,226

   La capacidad de producción de cobre, la obtenemos reemplazando los datos en la ecuación (20), siendo este:

   Transformando los datos obtenemos:

   

   Ejemplo aplicativo: Factor de escalamiento.

   WCu (Kg)	0,5	5
   V (l)	1	10
   t (h)	5	30

   Coeficiente de flexibilidad de escalamiento:

   (36)

   Capacidad de escalamiento:

   (37)

   Peso recuperado en escalamiento:

   (38)

   Desarrollando la ecuación (38) obtenemos la tabla siguiente:

   V	We
   4,08 4,28 4,36 4,38 4,24	2,04 2,14 2,18 2,19 2,21

   Datos:

   		2,19 Kg
   		2,04 Kg
   		4,38
   		1,0

   El escalamiento porcentual lo obtenemos de la ecuación (29):

   

   Figura 9. Cementación de cobre por adición de hierro

5. Tipos de coeficiente de flexibilidad.

   El investigador debe conocer más de una técnica de escalamiento para culminar con satisfacción su estudio, por lo que debe estar plenamente identificado con las técnicas matemáticas y estadísticas.

   1. Es de mucha importancia para el investigador el conocimiento de los factores cualitativos, con criterio de realizar un escalamiento acertado, ya que ello afecta el futuro del factor de mayor influencia. Por esta razón se recomienda al análisis considerando los factores cualitativos para efectos de reajuste, por que no decir para hacer una modificación del escalamiento realizado por métodos matemáticos y estadísticos.

      Los factores cualitativos tienen que ver directamente con el medio y elemento que participan en los planes, programas y proyectos, lo cual influye directamente e indirectamente en el factor de mayor influencia como también en la cantidad de incremento de esta forma afecta al desarrollo del escalamiento.

   2. Factores cualitativos

      Se usa para escalar los indicadores (factores y equipos) industriales, tales como concentración, peso, ley, volumen, tamaño, capacidad, gradiente, etc. Para lo cual es necesario conocer la matriz del factor de mayor influencia con datos reales, caso contrario no será posible realizar un escalamiento.

      Por otro lado contamos con la existencia de modelos matemáticos y estadísticos, cuya representación simbólica de las variables son usadas dentro de la ingeniería, siendo de mucha importancia para el escalamiento de algún modelo industrial, que son usados como instrumentos de escalamiento.

      Así tenemos un grupo de modelos, que son conocidos como modelos matemáticos industriales que son útiles para el escalamiento de incremento o defecto al escalar el proceso. A continuación se tiene algunas muestras de modelos industriales, los cuales nos sirven como instrumentos de escalamiento en relación con otras variables.

      (39)

      En el modelo presente Wi es conocido como factor de mayor influencia, que es optimizado con el diseño experimental, siendo el resto de sus componentes conocidos como variables exógenos.

      El procedimiento de cálculo de escalamiento y el factor de Capacidad de Producción, Kp, por medio de este modelo requiere el conocimiento del manejo de las ecuaciones simultáneas, en cuyo cálculo se llega a transformar las variables originales del tipo exógenos en variables endógenas.

   3. Modelos matemáticos

      Por último cuando al modelo, ha sido incorporado variables cuyo valor no se conoce con exactitud por múltiples razones, pero de alguna forma se conoce las posibilidades de cada una de sus posibles magnitudes, en este caso se trata de variables estocásticas. Por lo que se recomienda usar los métodos especiales para realizar los escalamientos respectivos, siendo los más usuales los siguientes:

      1. Método de simulación estadística
      2. El ajuste de una distribución normal, y
      3. El modelo matemático

      Para mayor información con referencia a los puntos 5.3.1; 5.3.2 y 5.3.3 ver el libro Estadística Aplicada publicada por el Autor.

   4. Variables estocásticas
   5. Aplicaciones del modelo industrial al escalamiento
6. Técnicas de escalamiento.

El conocimiento de los distintos modelos industriales nos van ha permitir en algunos casos a realizar un escalamiento de las diferentes variables industriales.

Análisis del punto de actividad

Estudia el comportamiento del factor de mayor influencia ante ciertas influencias, llamadas variables externas. Este análisis sirve para tomar decisiones.

Figura 10. Gráfico del punto de actividad

1. Supuestos del gráfico del punto de actividad

1. El tiempo afecta al factor de mayor influencia.
2. el volumen afecta al factor de mayor influencia.
3. la eficiencia y productividad permanece constante.

Estos supuestos tienen limitaciones porque no consideran: tecnología y precio de insumos y productos.

1. 		(40ª)
   		(40b)
   		(40c)

   De la ecuación (40ª) obtenemos la siguiente relación:

   (41)

   Separando términos:

   (42)

   La variable de capacidad es constante por lo tanto:

   (43)

   Sustituyendo dicho arreglo en la ecuación (42) obtenemos:

   (44)

   El incremento del peso del proceso es:

   (45)

   El decremento de peso del proceso es:

   (46)

2. Punto de actividad (Modelo Matemático) en Kp

   1. 		(47)
      		(48)

      Sumando la ecuación (47) y (48) obtenemos:

      		(49)
      		(50)

   2. Punto de actividad de capacidad de producción
   3. Punto de actividad en factor de escalamiento
3. Punto de actividad relacionando factor de escalamiento

Igualando (51) con (50) obtenemos:

Sustituyendo los valores a la ecuación (55) obtenemos:

Resultando ser el punto de equilibrio del sistema.

5. Análisis de W1 constante para capacidad de producción

El comportamiento de las ecuaciones (8) y (9) en donde W1 esta en función de la ecuación (14). Para obtener el valor de dW para un punto común de W1 en el intervalo t1 y t2, se obtiene la relación.

Dicha relación reemplazando en (14) obtenemos:

Reemplazando (57) en (8) y (9) se obtiene la relación:

Ejemplo aplicativo: Recuperación de plata a partir de soluciones ácidas precipitado con hierro.

Coeficiente de flexibilidad crecimiento (precipitación de plata)

Coeficiente de flexibilidad decreciente (disolución de hierro)

Capacidad de producción del precipitado de plata es:

Capacidad de requerimiento de hierro para disolución:

Peso de plata creciente en la precipitación:

Peso de hierro decreciente en la disolución:

Con los datos obtenidos grafica e interpreta.

Datos:

Obtenga la capacidad de producción de la plata aplicando la ecuación (20).

PROBLEMAS:

De los valores de la tabla calcule el coeficiente de flexibilidad creciente y decreciente para la plata y cobre respectivamente, que están inmersos dentro de la solución de nitrato de plata. Con dichos datos obtenga la Kp del precipitado y del cobre requerido para el proceso.

Se precipita cobre de una solución madre por procesos electrolíticos, aplicando una densidad de corriente de 0,5 A/dm². Calcular el coeficiente de flexibilidad creciente y decreciente para el cobre depositado y el ánodo inerte de plomo-antimonio. Con los datos obtenidos, calcule Kp del cobre depositado y el ánodo corroído durante el proceso.

Autor:

Palacios C. Severo

La presentación y disposición de

ANÁLISIS Y DISEÑO

DEL COEFICIENTE DE:

CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN

Y FACTOR DE ESCALAMIENTO

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