La planeación de las actividades para obtener un resultado optimo
Enviado por INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
Trabajo a desarrollar
Desarrolle el proceso completo de formulación, modelación, solución y toma de decisiones con dos ejercicios aplicándole a cada uno de ellos las metodologías SIMPLEX, DUAL y la prueba de sensibilidad, el ejercicio de carácter Practico, debe ser desarrollado teniendo en cuenta:
1.1 Construcción del Modelo
1.2. Elección y Formulación de las Variables
1.3. Evaluación y Formulación de las Restricciones
1.4 Formulación de la Función Objetivo
1.5 Desarrollo del Método
1.6 Obtención de Resultados y Toma de decisiones orientado a la organización.
Desarrollar un informe en el que se vinculen los incisos anteriores, el mismo debe contar con los siguientes elementos:
2.1 Portada
2.2 Introducción
2.3 Problemas asociados a Modelos SIMPLEX, DUAL y sensibilidad
2.4 Conclusiones generales.
2.5 Bibliografía.
La programación lineal dentro de su marco teórico tiene como objetivo el de formular, obtener y analizar soluciones a problemas como apoyo a la ingeniería y a la industria, con el fin de optimar recursos de los cuales se dispone. Además, proporciona herramientas para la construcción de modelos matemáticos y la conceptualización de las distintas formas de presentación de un problema.
Estos problemas pueden surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. En términos definitivos, trata de la planeación de las actividades para obtener un resultado optimo.
Solución
EJERCICIO 1
Si introducimos las variables de holgura en nuestro ejemplo, nos queda:
Prueba de optimalidad:
Iteración 1: determinación de la dirección de movimiento (paso 1 de una iteración):
Se la denomina variable básica entrante.
Iteración 1: Determinación de donde detenerse (paso 2):
Iteración 1: Solución (paso3)
El propósito de este paso es convertir el sistema de ecuaciones a una forma más conveniente para llevar a cabo la prueba de optimalidad. El sistema de ecuaciones que tenemos es:
Para convertir los coeficientes de –5 y 2 en ceros, es necesario usar el segundo tipo de operación algebraica elemental. En este caso, se suma a la ecuación (0) esta nueva ecuación (2*) multiplicada por 5, y se resta de la ecuación (3) esta nueva ecuación (2*) multiplicada por 2.
El nuevo sistema de ecuaciones resulta:
Iteracion2: solución óptima que resulta:
Esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones:
Restricciones
En estos casos se utilizara la técnica de la variable artificial, que se mostrara con el siguiente ejemplo.
Como en la ecuación (3) no hay variable de holgura para usar como variable básica inicial y obtener la BF inicial, habrá que construir un problema artificial que tenga la misma solución óptima que el problema real.
Se aplica la técnica de la variable artificial: se introduce una variable artificial en la ecuación (3) como si fuera una de holgura:
Análisis de sensibilidad.
El propósito principal del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, es decir aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solución óptima.
¿Como se identifican los parámetros sensibles? En el caso de las bi, esta información esta dada por los precios sombra que proporciona el método Simplex. Cuando yi* > 0, entonces la solución optima cambia si bi lo hace; por lo que bi es un parámetro sensible. Si yi* = 0 la solución optima no es sensible a cambios pequeños de bi. De esta manera, si el valor que se utiliza para los bi es una estimación de la cantidad de recurso que se tendrá disponible, los valores de bi que se deberán controlar con sumo cuidado son aquellos precios sombra positivos, en especial aquellos que tengan precios sombra grandes.
Cuando el problema tiene dos variables, la sensibilidad de los distintos parámetros se puede analizar con una gráfica. Por ejemplo en la figura 7.2 se puede observar que c1= 3 puede cambiar a cualquier valor dentro del intervalo 0 a 7.5 sin que cambie la solución optima (2,6). Esto se debe a que cualquier valor de c1 dentro de ese intervalo mantiene la pendiente de Z = c1x1 + 5×2, entre las pendientes de las líneas 2×2 = 12, y 3×1 +2×2 = 18.
De la misma manera si c2 = 5, es el único parámetro que se cambia, puede tomar cualquier valor mayor que 2 sin que afecte a la solución optima. Entonces ni c1 ni c2 son parámetros sensibles.
La manera mas fácil de analizar la sensibilidad de los aij es verificar si su restricción correspondiente es de atadura en la solución optima.
EJERCICIO 1
Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3
X1 + 3X3 = 3
2X2 + 2X3 = 5
X1, X2, X3 = 0
Multiplicando todo por -1
Solución: Max. Z = -4×1 – 12×2 – 18×3
-X1 – 3X3 = -3
-2X2 – 2X3 = -5
X1, X2, X3 = 0
Se convierten las inecuaciones en ecuaciones.
Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0
-X1 – 3X3 + S1 = -3
-2X2 – 2X3 + S2 = -5
Se determinan las variables básicas y no básicas:
Variables Básicas: S1 y S2
Variables no Básicas: X1, X2 y X3
Nuevas filas = Fila anterior – coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote
No hay más iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos
El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36
Conclusiones
La programación lineal enmarca el desarrollo de nuevos métodos que respondan de manera rápida y confiable, a problemas que se puedan presentar en la cotidianidad. Una técnica como la investigación de operaciones la cual pase a ser una base en la toma de decisiones, dado que proporciona un conjunto de métodos altamente efectivos para la consecución de un gran numero de soluciones viables para un caso cualquiera.
Entonces, la programación lineal es simplemente sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales, y convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder graficarlas. De esta manera, sacar la región mas optima dependiendo del signo de la desigualdad, esa área se sombreará, y será la solución optima del problema.
Bibliografía
METODO SIMPLEX: SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%207%20METODO%20SIMPLEX.pdf
Guía didáctica: Métodos Determinísticos. Autor. Ing. Oscar Javier Hernández Sierra. Agosto 24 de 2012. Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Autor:
Inocencio Meléndez Julio.
Magíster en Administración
Magíster en Derecho
Doctorando en Derecho Patrimonial: La Contratación Contemporánea.