Secciones Cónicas y sus Aplicaciones

Introducción

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C., sin embargo, los estudios sistemáticos y racionales no comenzaron hasta aproximadamente el primer siglo de la época Helenista, donde El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo; posteriormente, sobresalieron por su contribución e importantes logros de los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. De estos tres personajes, serán Euclides y Apolonio quienes sentaran los conocimientos esenciales de la época, y de entonces en adelante. El primero escribió un tratado de cuatro tomos sobre las secciones cónicas, pero sería Apolonio quien, con su obra CONICAS (recopilada en 8 tomos), establecería los conocimientos y bases fundamentales de las secciones cónicas las cuales prevalecerían hasta nuestros días, ya que, luego de la publicación de dicha obra suya, ningún otro matemático de la historia trataría de mejorar lo establecido por Apolonio. A estas secciones cónicas se les han dado diferentes definiciones, las cuales provienen de ramas de la matemática, tales como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

SECCIONES CONICAS Y SUS APLICACIONES

Origen de las secciones cónicas

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual.

Durante aproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma común a como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo, y secciones de un cono obtuso. Arquímedes continúo utilizando estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de Arquímedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas.

Ellipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura dada). Mientras que la palabra Hyperbola (de "avanzar más allá") se adopto para el caso en que el área excedía el segmento dado y por último la palabra Parabola (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplico estas palabras en un contexto nuevo utilizándolas con nombres para las secciones cónicas.

Definición de las secciones cónicas

Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es característica fundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico.

La seccion producida por un plano perpendicular al eje es una circunferenia.

La sección producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parábola.

La sección producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una elipse.

La seccion producida por un plano que interdeca a todas las generatrices pero no en un mismo lado del vertice es una hiperbola.

Lugar geométrico y ecuaciones generales de las secciones cónicas

Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias

Lugar Geométrico, es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.

Circunferencia: