Secciones Cónicas y sus Aplicaciones (página 2)

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia del centro a cualquier punto se denomina radio

Centro: C(a; b)

Radio: r

–Ecuaciones de la circunferencia

Circunferencia con centro en el punto (a, b)

Circunferencia con centro en el origen.

Ejemplo: Graficar:

Parábola:

Es el lugar de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano. El punto se denomina foco y la recta directriz.

-Componentes de la parabola

Foco:Es el punto fijo de F.

Directriz:Es la recta fija d.

Parametro: Es la distancia del foco a la dirtectriz,se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vertice:Es el punto d einterseccion de la parabola con sus eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parabola con el foco.

–Ecuaciones

(Dependiendo si es vertical u horizontal)

Parabola verticalel signo ("mas" o "menos") dirá si la abertura es hacia arriba o abajo.

Parabola horizontal el signo dirá si la abertura es hacia derecha o izquierda respecto.

Ejemplo

Elipse:

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo es constante. Los puntos fijos denominan focos.

-Componentes de la elipse

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

-Relación entre la distancia focal y los semiejes

-Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

-Ecuaciones de la elipse

Elipse con centro en el punto (h; k)

Elipse con centro en el origen.

Ejemplo:

Ejemplo:

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tal que la diferencia de sus distancias a dos punto fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

-Componentes de la hipérbola

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario o imaginario:

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

–Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

-Ecuaciones de la hipérbola

Ejemplo:

Aplicaciones de las secciones cónicas

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Resumimos a continuación las diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:

1. Una de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de reflexión. En Física se define una superficie reflectora cuando un rayo incidente y el correspondiente rayo reflejado forman ángulos iguales con la normal a la superficie. Un espejo plano es un ejemplo de superficie reflectora. Otro ejemplo es, si una parábola gira alrededor de su eje engendra una superficie reflectora. Tiene la propiedad especial de que todos los rayos que parten del foco, al chocar con la superficie se reflejan todos paralelos entre sí al eje. Esta propiedad es la base para la construcción de los espejos parabólicos de los telescopios, los faros, las reflectoras de ondas eléctricas y conchas acústicas de micrófonos selectivos.

2. Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

3. Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase ningún punto de las parábolas de la familia). El mayor alcance que se puede obtener es aquel en que el ángulo de inclinación inicial es de 45 grados.

4. La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.

5. Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior. El problema es cómo puede un líquido formar un espejo parabólico y por qué se quiere así. La respuesta es que si se tiene un contenedor giratorio de líquido, la superficie del mismo formara un paraboloide perfecto, incluso si la superficie interior del contenedor tiene imperfecciones. De este modo, no es necesario el pulido de los lentes y además los espejos pueden hacerse más grandes que los sólidos. Al utilizar mercurio líquido se consigue que los espejos sean más baratos que los tradicionales (sólo hace falta una capa muy fina de mercurio pues este es muy pesado).

6. Las secciones cónicas también son aplicables a la mecánica celeste, esto fue descubierto por Johannes Kepler, ya que las trayectorias que describen las órbitas planetarias corresponden precisamente a las secciones cónicas, las orbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la ´orbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la ´orbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen orbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.

7. Otra aplicación se da al planear el despegue de una nave espacial, ya que para que esta pueda abandonar la tierra e ir a algún planeta (por ejemplo Marte) tiene que encontrarse la tierra en algún punto de la excentricidad correspondiente a la órbita elíptica descrita por la tierra

8. En Óptica y propagación de ondas se utilizan lentes elípticas.

9. En el área de la mecánica, específicamente la dinámica del cuerpo rígido son importantísimas las parábolas, elipse y demás trayectorias, ya que para el análisis cinemático de un mecanismo (por ejemplo el diseño de levas) estas pueden describir una trayectoria elíptica o de otro tipo, donde son aplicadas las ecuaciones correspondientes a dichas figuras, también se aplican las ecuaciones que rigen a las secciones cónicas al describir el movimiento de un proyectil (tiro parabólico),

10. En diseño artístico es común encuadrar retratos y fotografías en un marco con forma elíptica. La mayoría de los dispositivos usados para recortar figuras elípticas están basados en las ecuaciones de la elipse como comentamos anteriormente.

11. Una revolucionaria técnica médica introducida a mediados de la década pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, solo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un cálculo es un poco de cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80% de piedras en el riñón y la uretra. Además el tiempo de recuperación es de 3 días en comparación con las dos semanas con la cirugía convencional.

Conclusión

Las secciones cónicas influyen en lo que es el aparato sensitivo del hombre, ya que nosotros dependemos de nuestra capacidad de percepción, para poder trabajar con ellas, en campos como la astronomía, la aerodinámica, la geometría proyectiva, en arquitectura, etc.

En cuanto a la astronomía las curvas cónicas son importantes ya que cuando dos cuerpos masivos interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describirán secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Autor:

Mondragón Chavarria Karla Xuxa