Análisis y presentación de una sucesión o progresión hipergeométrica y su aplicación en una función cociente (página 2)

De igual forma se resalta lo dicho por P.L.G. Dirichlet (alemán 1.805-59). El cual sostiene que no es necesario ampliar el concepto el número natural ya que según él, cualquier principio de la más alta matemática puede demostrarse por medio de los números naturales (A. Baldor 1998, página 28)

Es por todo esto y dadas todas las aplicaciones que dicha constante tiene, se considera que es de vital importancia este análisis, el cual tiene como único objetivo el demostrar que esta constante es un número racional (operación interna) y por lo tanto es la solución (Cero) real de una ecuación de primer grado. Quedando de esta forma en manos de quienes  continúen este estudio; el alertar sobre las posibles consecuencias y repercusiones que todo esto traería dentro de la estructura de la matemática y la ciencia en general dentro del mundo científico.

MARCO TEÓRICO

            El marco teórico que se utiliza está fundamentado en el método hipotético deductivo-inductivo, apoyándose en los siguientes enunciados (teoremas; escolios, lemas y axiomas).

1. El producto de (n) Enteros (Naturales) Positivos en un Entero Positivo (Natural) (por el principio de clausura)   
2.  La suma de (n) Enteros Positivos (Naturales) es un Entero Positivo (Natural) (por el principio de clausura)
3. Todo factorial en un Entero Positivo (Natural)
4. Todo producto de (n) factores (enteros positivos; naturales) es divisible por los (n) factores y el cociente es un Entero Positivo (Ley de asociación)
5. El producto de (n) factores es un múltiplo de cada uno de dichos factores.
6. Si multiplicamos y dividimos a un entero positivo (Natural) por un mismo Entero Positivo (Natural) nos queda como resultado el mismo número (no se altera) (Simplificar y Amplificar)
7. Todo factorial n! es divisible por los (n-1)! Factoriales menores al mismo (Ley de Asociación)
8. El producto de un entero positivo (Natural) Par por un múltiplo de 5 Cinco es un múltiplo d 10 Diez.
9. Todos los factoriales para (n) mayor que 4 Cuatro terminan en cero y son múltiplos de 10 diez
10. Todo entero positivo (Natural) multiplicado por un entero positivo múltiplo de 10 diez da como resultado un múltiplo de 10 diez
11. Todo decimal (Entero positivo dividido por una potencia de 10 diez) (Con coma) multiplicado o dividido por una potencia de 10 diez se le corre la coma a ala derecha o a la izquierda como tantos ceros tenga dicha potencia de 10 diez (Notación Científica)
12. Todo número entero positivo (Natural) que termine en ceros es producto de un entero positivo por una potencia de 10 diez.
13. El factorial para n = 0 es igual a 1 (Convenio).
14. El cociente de un número natural (Entero Positivo) entre un número natural (Entero Positivo) diferentes a cero; es un número racional.
15. Todo racional es la raíz real (Cero) de una ecuación de primer grado. 

ANÁLISIS DE PROGRESIÓN HIPERGEOMéTRICA (FUNCIÓN RECURRENTE)

[ (an . (n + 1) ) + K ] = an + 1

    Si:    a0 = 1 (En el Primer Término) (Variable Independiente)

 Para:   n = 0 (Primer Sub-índice)

Donde:  an  = a0 = 1 (primer Término)

Entonces: (n + 1) = (0 + 1) = 1 (Segundo Subíndice del segundo término y factor en la progresión hipergeométrica) 

Donde: K = 1 (Constante en la Progresión Hipergeométrica)                                                                 

Entonces: an +1

      Para: n = 0

Entonces: a0 +1 = a1 = 2 (Segundo término de la Progresión Hipergeométrica)

Donde: an + 1  (variable dependiente) (Función Recurrente)

Por tal Sentido: an  = (1;2;5;16;65;……)   (Términos de la Progresión Hipergeométrica)

Dado que: n  ÃŽ IN = (0;1;2;3;4;…….n)  (Sucesión Natural)

    Donde:   [ (an . (n + 1) ) + K ] = an + 1   (Función Recurrente)

Entonces: an  ÃŽ  IN  (TEOREMA 1, 2)

                 (n + 1) ÃŽ  IN  (TEOREMA 2)

                 an +1  ÃŽ IN  (POR INDUCCIÓN)

Resultado: Se concluye que la progresión Hipergeométrica es recurrente.

ANÁLISIS DE LOS TÉRMINOS an  DE LA PROGRESIÓN HIPERGEOMÉTRICA

 SEAN: (1; 2; 5; 16; 65; …… an )    (Los términos de la progresión Hipergeométrica)

 NOTA: Estos términos se obtienen de dos (2) formas diferentes:

-          OBTENCIÓN DE FORMA RECURRENTE DE TODOS LOS TéRMINOS

(Desde a0  hasta an +1 )

[an . (n + 1)  + 1] = an +1

PARA: n

          0                                   1     .      1     +  1 = 2  (TEOREMA 1)

          1                                    2    .       2    +  1 = 5 (TEOREMA 1 y 2)

          2                                    5    .       3    +  1 =16

          3                                   16   .      4     + 1 = 65

          n                                  [an   .   (n + 1) + 1]= an +1   

Resultado del análisis: Se concluye que todos los términos de la progresión hipergeométrica son naturales.

                                                                 n = K

                                                                  n =0

                                                                 K! = Constante

OTRAS SUCESIONES O PROGRESIONES HIPERGEOMéTRICAS

(EN COLOR NEGRO) Y SU OBTENCIÓN POR EXTRAPOLACIÓN

-3         -2         -1         0          1          2          3          4          5

-2         -1         0          1          2          3          4          5          6

-3         -1         1          3          5          7          9          11        13

-8         -2         4          10        16        22        28        34        40

-31       -7         17        41        65        89        113       137       161

-154      -34       86        206       326       446       566       686       806

-923      -203      517       1237     1957     2677     3397     4117     4837

Para: a0=           -3         -2         -1         0          1          2          3          4          5

OTRAS SUCESIONES O PROGRESIONES HIPERGEOMéTRICAS

(EN COLOR NEGRO) Y SU OBTENCIÓN POR EXTRAPOLACIÓN

-3         -2         -1         0          1          2          3          4          5

-2         -1         0          1          2          3          4          5          6

-3         -1         1          3          5          7          9          11        13

-8         -2         4          10        16        22        28        34        40

-31       -7         17        41        65        89        113       137       161

-154      -34       86        206       326       446       566       686       806

-923      -203      517       1237     1957     2677     3397     4117     4837

FÓRMULA GENERAL PARA OBTENCIÓN DE TODOS LOS TéRMINOS (an) DE LA SUCESIÓN O PROGRESIÓN HIPERGEOMÉTRICA

                                                                  n = K

                                                                  n =0

                                                                 K! = Constante

Para: a0 = 1

OBTENCIÓN Y DESARROLLO EN SERIE DE ALGUNOS DE LOS TéRMINOS DE LA SUCESIÓN HIPERGEOMéTRICA

(Desde a0  hasta an +1)   

24/24  = 1         (TEOREMA 2, 5, 7)        

24/6    = 4

24/2   = 12

24/1   = 24

24/1   =24

65(Suma Total)  (Quinto Término)

6/6   = 1           (TEOREMA 2, 5, 7)

6/2   = 3

6/1   = 6

6/1   = 6

           16         (Suma Total)  (Cuarto Término)

2/2   = 1           (TEOREMA 2, 5, 7)

2/1  =  2

2/1   =  2

            5          (Suma Total)  (Tercer Término)

 1/1 = 1

 1/1 = 1

          2            (Suma Total)  (Segundo Término)

  1/1 = 1

           1           (Suma Total)  (Primer Término)

 Donde: (n + 1)! = 24     (TEOREMA 5)               y donde:  n = 0

    Para:   (3 + 1)! = 24                                      Entonces: 0! = 1 (TEOREMA 13)

Donde: n = 3

Resultado: Queda demostrado en el desarrollo en serie de los términos por inducción completa son naturales.

ANÁLISIS DE LA SUCESIÓN FACTORIAL ( n + 1)!

(Para los n subíndices de los términos de la Progresión Hipergeométrica)

    Para: (n + 1) (INDUCCIÓN) (PEANO)

Donde: n    ÃŽ IN = (0; 1; 2; 3; 4; 5;………n)

Donde: 1  = CONSTANTE

                                               ( n   +  1) = IN               (TEOREMA 3, 9)

(0       +  1) = 1

(1       +  1) = 2

(2       +  1) = 3

(3       +  1) = 4

Resultado del análisis: Se concluye que todos los términos de la sucesión natural son naturales.

Entonces:                                (n  +  1)! = bn                                 (TEOREMA 8, 9)                     

(0       +  1)! = 1

(1       +  1)! = 2

(2        +  1)! = 6

(3        +  1)! = 24

Resultado del análisis: Se concluye que todos los términos de la sucesión factorial son naturales.

FÓRMULA GENERAL PARA LOS TéRMINOS FACTORIALES                                     

(n  +  1)! = bn

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN COCIENTE    an / bn = e

            Donde an = numerador de la función cociente

                        bn = denominador de la función cociente

2         /  1 = 2       (TEOREMA 2, 6 y 8)

5   /   2 = 2,5

16 /  6 =  2,666666….

65 /  24 = 2,708333….

an / bn = e

                                               IN / IN = Q = (RACIONAL)         (POR DEDUCCIÓN)

                                                            an / bn  ______ a∞ + 1  / b∞   (POR INDUCCIÓN)

                                   DONDE:           n ———-> ∞

Resultado del análisis: Se concluye que la función cociente an / bn =  Q (es un racional).

RESULTADOS

DEMOSTRACIÓN DE LA RACIONALIDAD DE LA CONSTANTE "e"

a∞ + 1 / b∞    = (e)            (TEOREMA 9, 10, 11, y 12)

 (POR DEDUCCIÓN)                       a∞ + 1           = b∞ (e)             (TEOREMA 8,10, 11)    

(POR DESPEJE)                                   b∞ (e)     -    a∞ + 1= 0

ENTONCES:                                        (e)  (Es la raíz o Cero de una ecuación Lineal de

                                                           Primer Grado)

Donde b∞ pasa a ser el coeficiente de la ecuación de primer grado y a∞ + 1 pasa a ser el término independiente.

DEMOSTRACIÓN GENERAL

                                                                  n = K

                                                                  n =0

                                                                 K! = Constante                  

                                               ————————————- = e               

                                                                       n!

donde ná ∞

TABLA  DE RESULTADOS Y DEMOSTRACIÓN GENERAL

DEMOSTRACIÓN GENERAL

B∞  (e) – a∞ + 1 =  0 (Ecuación de primer grado)

                 Para: B∞ (Coeficiente)

                            e  (raíz Real)

                           a∞ + 1 (Término independiente)

MÉTODOS PARA TRANSFORMAR CONSTANTES NATURALES Y NÚMEROS TRASCENDENTES E IRRACIONALES Y RAÍCES EN NÚMEROS RACIONALES

26180339…

———–             =          ø                      (Número de Oro)

16180339…

1581976717…

————–          =          e          (Base de los Logaritmos Neperianos)

 581976717…

1466942219…

————–          =          π          (Pí)

 466942219…

3414213926…

—————         =          √2       (La Raíz cuadrada de 2)

2414213926…

8789429899…

————–          =          )()(        (Constante para Cuadrar el Círculo)

7789429899…

1351207254…

————–          =          2X3               (Constante para Duplicar el Cubo)

 351207254…

48473216…

———–             =          3√2       (La Raíz Cúbica de 2)

38473216…

4079595218…

————–          =          P          (Número Plástico)

3079595218…              

Y de todas las raíces reales de Rn – R – 1 = 0

NOTA: OBSéRVESE QUE DICHOS NÚMEROS TIENEN PUNTOS SUSPENSIVOS ESTO SIGNIFICA QUE CONTINÚA UN SIGUIENTE DIGITO QUE AL COLOCARLO EN EL NUMERADOR EL MISMO TIENE QUE COLOCARSE EN EL DENOMINADOR

Y ADEMÁS OBSéRVESE QUE NO TIENEN COMA ESTO SIGNIFICA QUE NO SON DECIMALES SON NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS O SEA NATURALES

Y POR OTRA PARTE TÓMESE EN CUENTA QUE SON PARECIDOS PUES SOLO DIFIEREN EN EL PRIMER DIGITO LO QUE EQUIVALE A QUE SE PUEDEN ESCRIBIR DE LA SIGUIENTE FORMA:

EJEMPLOS:

16180339…                                                     10000000…

———–                        +                      ————-           =          ø

16180339…                                                     16180339…

DONDE LA PRIMERA FRACCIÓN ES IGUAL A UNO (1)

581976717…                                                   1000000000…

———–                        +                      ————-           =          e

581976717…                                                    581976717…

DONDE LA PRIMERA FRACCIÓN ES IGUAL A UNO (1)

Y además por cumplimiento del teorema 9 se propone esta Conjetura.

*CONJETURA: 1581976717……0000000                                              

                            ——————————-            =           e

                             581976717…….0000000

*Nota: Estos números se deberían escribir el PRINCIPIO y FIN (ALFA y OMEGA). Además, se propone que estos números lleven como símbolo las letras griegas alfa y omega (Α & Ω) porque los mismos tienen determinados los primeros y últimos dígitos, es por ello, lo de este numeral.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, J. (1997). Geometría plana y del espacio. Trigonometría. México: Publicaciones Cultural.

www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Sucesiones/Prohipgeo.htm

Buendía, J. y González, A. (s.f.). Las matemáticas en Grecia. Disponible: http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm

Diccionario de Matemática. (1979.). Editorial Ediplesa.

Enciclopedia Temática Espasa. (1998). Siglo XXI, tomo 3.

Flores, C. (1986). Geometría euclidiana. Módulos de matemáticas memo 4. México: Editorial Trillas

Geometría. (2004). Enciclopedia Microsoft Encarta Online. Disponible: http://es.encarta.msn.com

Lang, S. (1977). Álgebra. Madrid: Editorial Aguilar.

Los problemas de la antigüedad clásica. (2005). Gacetilla Matemática. Disponible: http://www.arrakis.es/~mcj/clasicos.htm

Pérez, A. (2000). La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Calendario Matemático. CENAMEC.

Polya, G. (2002). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.

Sánchez, R. (1992). La cuadratura del círculo. Calendario Matemático. CENAMEC.

Gorenstein, D. (1986). El Teorema Enorme. Investigación y Ciencia. Scientific American. Barcelona, España

Iribarren, I. (1996). La Razón Aurea y los números Fibonacci. Calendario Matemático. CENAMEC.

Etcheberry, A. (1996). La Media Aritmético-Geometrica. Calendario Matemático. CENAMEC.

Durán, D. (1995). Un Problema de Inducción Matemática. Calendario Matemático. CENAMEC.

Etcheberry, A.  (1995). El número "e". Calendario Matemático. CENAMEC.

Durán, D. (1998). Contando con el Principio del Producto. Calendario Matemático. CENAMEC.

Beyer, W. (1998). La Sucesión de Padovan y el Numero Plastico. Calendario Matematico. CENAMEC.

Perez, A. (1999). Numeros Trascendentes. Calendario Matematico. CENAMEC.

Bertrand, Russell, La Perspectiva Cientifica. Ed. Ariel. Barcelona, 1969

Varios. (2007).  Memorias XVII Jornadas técnicas de Investigacion y I de Postgrado.Ed. Horizonte.

Nuñez, J. (1975). Introducción a la Ciencia (Filosofía, Ciencia, y Método Cientifico). Editorial. Facultad de Ciencias Economicas y Sociales UCV.

www.math.cl/

Autor:

Rodolfo A. Nieves Rivas

Biografía

Rodolfo Antonio Nieves Rivas

Investigador Independiente

Matemática-Física y Biología

Tinaquillo – Cojedes

Venezuela

Participante en la I Jornada Para la enseñanza de la matemática 1995

Universidad Nacional Experimental de los Llanos Ezequiel Zamora (Unellez)

Ponente en XVII Jornada de Investigación y I de Postgrado de Unellez Cojedes

Trabajos Realizados:

Método Para la Interpolación de Segmentos Proporcionales por iteración con regla sin marcas y compás entre otros

Trabajo realizado en: Venezuela Julio 2008