Validación del modelamiento de la respuesta mecánica del cemento puzolanico

Validación del modelamiento de la respuesta mecánica del cemento puzolanico 1. 2. 3. 4. 5. Validación Evolución de la resistencia a la compresión durante los días de curado Análisis estadístico Conclusiones y recomendaciones Bibliografía 1.2 VALIDACION MODELAMIENTO DE LA RESPUESTA MECANICA Para la modelación del comportamiento se hizo uso de un algoritmo desarrollado en MATLAB que grafica el comportamiento del cemento sometido a una fuerza de compresión. Este algoritmo usa el Método de Newton Raphson para converger cuadráticamente al resultado más óptimo. Para la modelación matemática usamos el Módulo de Elasticidad y el Esfuerzo de fluencia obtenidos experimentalmente para cada muestra. Con estos datos se pudo ajustar las curvas del programa a las curvas obtenidas experimentalmente. El programa desarrollado en MATLAB nos permite por medio del ingreso de los valores de Esfuerzo de Fluencia (?y) y Módulo de Elasticidad graficar idealmente el comportamiento del cemento sometido a compresión. Para este estudio los valores de Esfuerzo de Fluencia y Módulo de Elasticidad de cada muestra obtenida para el 10 y 12,5% fueron ingresados al programa para poder establecer a través del Error relativo si el Modelo matemático es una buena representación de lo que ocurre experimentalmente. Para trabajar en el modelo matemático se requirió especificar varios puntos de importancia: . . • • A cada valor de esfuerzo le corresponde un valor de Módulo de Elasticidad. La carga a la cual se fractura la muestra indica que con dicha carga se encuentra el valor del esfuerzo de ruptura . • Por último, el módulo de elasticidad requerido en el algoritmo será el promedio de los módulos correspondientes a los puntos que se consideren que pertenecen a la Región elástica.

Con estos puntos claramente especificados, se requiere los valores del módulo de elasticidad y del esfuerzo de fluencia experimentales para ingresarlos en el algoritmo y así obtener una curva esfuerzo vs deformación del modelo matemático. De los datos obtenidos solo se puede indicar con seguridad cual es el esfuerzo de ruptura, para aproximar el esfuerzo de fluencia se hizo uso del algoritmo desarrollado en MATLAB y se graficó las curvas esfuerzo vs deformación tanto del modelo matemático como de los datos experimentales, de esta forma se pudo comparar y acercar estas curvas lo más posible, es decir, limitar la zona elástica del modelo. El procedimiento fue el siguiente: Para poder disminuir la distancia presente entre la curva del modelo y la experimental se observa que en la tabla de datos se posee el esfuerzo de máximo que resistió la muestra, y por tanto un correspondiente valor de Módulo de Elasticidad; basado en el criterio de que el Módulo de Elasticidad es la pendiente de la curva en la gráfica Esfuerzo vs Deformación, se consideró que si el valor del módulo aumenta por ende lo haría la pendiente de dicha curva. De tal forma que se comparó el valor de módulo de elasticidad correspondiente al esfuerzo de ruptura con el promedio de los valores de módulo de elasticidad correspondientes a los esfuerzos anteriores al de ruptura, con el fin de obtener el valor más alto resultante de los promedios de dichos valores ; una vez determinado cual es el mayor promedio , el último valor correspondiente a la lista de valores usados para obtener el promedio se lo define como ESFUERZO DE FLUENCIA y a partir de dicho valor , aquellos que estén debajo de él hasta llegar al esfuerzo de ruptura pertenecerán a la región PLASTICA. A continuación se muestra una figura descriptiva de este procedimiento tomando como ejemplo la muestra 1 con 12,5% de Zeolita a los 25 días de curado.

Este procedimiento se lo repite tantas veces sea necesario hasta obtener el mayor promedio para cada muestra, esto es tan solo una aproximación para poder determinar el esfuerzo de fluencia. Otros valores muy importantes que se debió aproximar en nuestro modelo matemático son los valores de “m” y “a”. Estos valores capturan el esfuerzo óptimo en el modelo. De los cálculos desarrollados por el algoritmo, se desprende una ecuación que nos permitirá saber aproximadamente el valor de “a”. La ecuación establece que el esfuerzo de ruptura es aproximadamente igual al producto del esfuerzo de fluencia más uno: F’c = Esfuerzo de fluencia(1+a) Dado que conocemos el esfuerzo de ruptura experimental y el esfuerzo de fluencia podemos calcular el valor de “a”, dicho valor nos servirá para acercar el esfuerzo de ruptura del modelo matemático al esfuerzo de ruptura obtenido experimentalmente. Después de haber realizado estos procedimientos, se calcula el error relativo con la siguiente fórmula: Error relativo=?(sPrograma-s Maquina)/s Máquina?x 100 Estos datos se calculan para cada valor de deformación experimental, de este modo se puede calcular el error relativo promedio por gráfica. Con este valor del error promedio se pudo establecer que las consideraciones antes expuestas tienen un tanto por ciento de validez. A continuación se muestra la tabla en la que se muestran los errores obtenidos en el proceso de modelamiento matemático. TABLA 5. ERRORES RELATIVOS Y CAPACIDAD DE PREDICCION DEL ALGORITMO

Lo cual muestra que la capacidad de predicción del algoritmo desarrollado es del 61.17%, cabe resaltar que este algoritmo no considera los múltiples factores que pueden afectar la resistencia de las muestras , tales como, temperatura, humedad, mal apisonamiento, entre otros; además , muestra que las consideraciones que se hicieron antes de ingresar los datos son hasta cierto punto válidas. EVOLUCION DE LA RESISTENCIA A LA COMPRESION DURANTE LOS DIAS DE CURADO. En esta sección se muestra la tendencia que presentó la resistencia a la compresión de las muestras durante los días de curado; cabe mencionar que para poder describir dichas tendencias se hizo uso del programa MATLAB y de la herramienta POLYFIT la cual permitió expresar los resultados obtenidos para cada porcentaje en términos de un polinomio de 2do grado.

La relación entre el esfuerzo de ruptura y los días de curado es: ESFUERZO = – 0.0121*(DIAS)^2 + 0.3652*DIAS + 61.2242 Como se puede observar la mezcla del 10% incrementa su resistencia hasta su máximo valor aproximadamente a los 15 días, sin embargo, pasado los 15 días la resistencia a la compresión decrece aceleradamente. Para el 12,5% se tuvo la siguiente tendencia: La relación entre el esfuerzo de ruptura y los días de curado es:

ESFUERZO = + 0.02*(DIAS)^2 + 1.1327*DIAS + 39.4680 En contraste, la muestra de 12,5% presentó una tendencia creciente durante todos los días de curado. A continuación se muestran las gráficas ESFUERZO vs. DIAS para todos los porcentajes de Zeolita. Como se observa, al enfocar los picos de las curvas , la mayor resistencia a la compresión se obtiene a los 21 días de curado para la mezcla con 20% de Zeolita, es decir 90,74 MPa, posteriormente a los 28 días donde disminuye severamente, en contraste, la mezcla con 5% muestra una resistencia de 84 MPa al día 28.

ANALISIS ESTADISTICO. Para el siguiente análisis se hizo uso de la herramienta estadística MINITAB, los objetivos a cumplir son los siguientes: 1. 1. Obtener una expresión matemática que permita obtener el esfuerzo máximo de compresión mediante el ingreso de los días de curado y el porcentaje de Zeolita. 2. 1. Determinar el mejor tratamiento, es decir, con cuál porcentaje de Zeolita y a lo cuántos días de curado se obtiene la mayor resistencia a la compresión en comparación con un cemento que no posee adición alguna de este material. 3. 1. Determinar de igual forma cuál de estos tratamientos presenta la mayor resistencia a la compresión en comparación a al cemento TIPO

IV. Para comenzar con el análisis en primer lugar se establecieron las siguientes hipótesis, teniendo

en cuenta que se espera obtener una ecuación de la forma: ESFUERZO DE RUPTURA = ± B1 ± B2* DIASCURADO ± B3*%ZEOLITA Por lo tanto; Ho: Bj = 0 H1: Algún Bj ? 0 Donde Ho es la hipótesis nula, en la cual se expresa que todos los coeficientes de la ecuación son iguales a cero, es decir, no existe relación entre las variables independientes; H1 es la hipótesis alterna, en la cual se expresa que al menos existe algún coeficiente diferente de cero, por tanto que existe una relación entre las variables. Para poder rechazar Ho se debe observar los marcadores estadísticos P y F, donde P es la probabilidad de obtener un resultado al menos tan extremo como el valor observado, como resultado Ho se acepta; F es la variable de FISHER la cual se emplea para probar si dos muestras provienen de poblaciones que poseen varianzas iguales. Esta prueba es útil para determinar si una población normal tiene una mayor variación que la otra y también se aplica cuando se trata de comparar simultáneamente varias medias poblacionales, en ambas situaciones las poblaciones deben ser normales. Los criterios para rechazar Ho son: P < a=0.05 o F > Fa (DF REGRESSION, DF RE) El primer paso a seguir es determinar la normalidad de los datos obtenidos, para así, garantizar que los datos son aleatorios e insezgados. Se presenta la tabla de los datos obtenidos en la experimentación: TABLA 6. DATOS PARA EL ANALISIS.

Se procedió a realizar la regresión múltiple por medio de MINITAB, teniendo en cuenta que la variable dependiente es Ruptura y las independientes Días de curado y %Zeolita, cuyo resultado fue: Se tiene que la expresión matemática que relaciona las variables es: ESFUERZO = 64.7 + 0.394*DIAS – 0.416*%ZEOLITA En donde se observa por medio de los valores de P que la probabilidad para que los días de curado tengan una influencia en el esfuerzo de compresión del cemento es de 0.176 y para el porcentaje de zeolita es de 0.196; según el criterio de rechazo ninguno es menor a 0.05, por lo tanto la hipótesis nula no puede ser rechazada. Otra observación muy importante la brindan el R-SQ, que indica el porcentaje en que ésta regresión a los datos experimentales, valor que fue del 18.3% y los valores generales de F=1.91 y P=0.179 aplicando los criterios de rechazo se tiene: Para P= 0.179>0.05, por lo tanto no se rechaza Ho; por otro lado , F= 1.91 valor que debe ser mayor al valor que expresa la tabla de FISHER para los grados de libertad que son (2,17), el

programa los expresa como DF(degrees of freedom), de la tabla F(2,17)=19.44; por lo tanto 1.91< 19.44; Ho no puede ser rechazada. A continuación se muestra la tendencia que se tuvo entre las variables independientes y la variable dependiente: Debido a que la expresión no pudo responder a más del 18.3% debido a la variación entre experimentales y los obtenidos por la ecuación de regresión, como se presenta en la siguiente tabla: TABLA 8. DIFERENCIA ENTRE DATOS EXPERIMENTALES Y OTENIDOS POR REGRESION.

48,1 28 25 66,332 -18,23 Con el fin de obtener una expresión que responda mejor a los datos, se procedió a separar por grupos de días de curado, de tal manera que para cada grupo se obtenga una correspondiente ecuación. TABLA 9 GRUPO DE DATOS PARA LOS 7 DIAS Se muestra el modelo de regresión múltiple para este conjunto de datos: Para estos datos se observa que la ecuación es: ESFUERZO = 65.8 – 0.344*%ZEOLITA El análisis de los parámetros a consideración se muestra en la siguiente tabla: TABLA 10. RESULTADOS ESTADISTICOS PARA LOS 7 DIAS TABLADERESULTADOS Se observa que la ecuación de regresión múltiple responde en un 31.20% de los valores y que la resistencia a la compresión disminuye al aumentar el porcentaje de Zeolita; como también no se cumplen los criterios para rechazar Ho. Para mejorar la respuesta se aproximó por medio de una regresión polinomial cúbica obteniéndose lo siguiente:

TABLA 11. RESULTADOS ESTADISTICOS REGRESION POLINOMICA CUBICA PARA LOS 7 DIAS. TABLADERESULTADOS

De donde se observa que el polinomio obtenido responde en un 74.2% de los datos. Para los 14 días de curado se tiene: TABLA 11. GRUPO DE DATOS PARA LOS 14 DIAS Para estos datos se observa que la ecuación es: ESFUERZO = 59.9 – 0.287*%ZEOLITA El análisis de los parámetros a consideración se muestra en la siguiente tabla: TABLA 11. RESULTADOS ESTADISTICOS PARA LOS 14 DIAS.

TABLADERESULTADOS Se observa que la ecuación de regresión múltiple responde en un 56% de los valores y que la resistencia a la compresión aumenta al aumentar el porcentaje de Zeolita; como también no se cumplen los criterios para rechazar Ho. Para mejorar la respuesta se aproximó por medio de una regresión polinomial Cúbica obteniéndose lo siguiente:

TABLA 11. RESULTADOS ESTADISTICOS REGRESION POLINOMICA CUBICA PARA LOS 14 DIAS. TABLADERESULTADOS De donde se observa que el polinomio obtenido responde en un 64.9% de los datos. Para los 21