1 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios
2 Medir Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la primera.
3 Partes de una medida I Si medimos el largo de una mesa … 125,434 El resultado podría ser ? 125,434 cm 125,434 ± 17,287 cm 125 ± 17 cm
4 Partes de una medida II Al medir una mesa podemos obtener 125 ± 17 cm (Gp:) valor
(Gp:) ±incertidumbre
Presentación (Gp:) unidades
5 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios
6 Error e incertidumbre I Muchas veces se cometen errores al medir. Debemos corregirlos o al menos estimarlos Xmedido DX Xreal DX
7 Error e incertidumbre II Xmedido DX Xreal DX Error = Xreal –Xmedido Xreal Î(Xmedido -DX, Xmedido +DX)
8 Nivel de Confianza DX depende de lo seguros que queramos estar Nivel de confianza = fracción de las veces que quiero acertar. 99%, 95%… (Gp:) Xmedido (Gp:) DX (Gp:) Xreal (Gp:) DX
9 Tipos de medidas Medidas directas
Medidas indirectas Las anoto de un instrumento L1, L2
Provienen de aplicar operaciones a medidas directas A = L1 x L2 L1 L2
10 Tipos de errores Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos Aleatorios Derivados de los anteriores
11 Errores sistemáticos Errores sistemáticos Limitaciones de los aparatos o métodos Precisión Calibración (Gp:) 73
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 72
Pesada inicial Pesada en “vacio” Recalibración Pesada corregida
12 Errores aleatorios I Factores que perturban nuestra medida.
Suma de muchas causas Tienden a ser simétricos. Se compensan parcialmente. Repetir las medidas. Estadística medidas (Gp:) Xreal
13 Errores aleatorios II Distribuciones Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios. Tienden a curvas típicas Xreal x x x x x x x x x x x x
14 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otros tipos de medidas. Ejercicios
15 Partes de una medida II Al medir una mesa podemos obtener 125 ± 17 cm valor ±incertidumbre Presentación unidades
16 Tipos de errores Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos Aleatorios Derivados de los anteriores
17 Cómo estimar el resultado Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios. Medir correctamente Calibrar los aparatos Se compensan repetir varias veces la medida La media es el valor más probable
18 Ejemplo Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
19 Incertidumbre Incertidumbre: Estimación del error no corregible Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2… Destaca la de precisión Incertidumbre factores aleatorios: EA Absoluta: DX
Relativa: Se suele descomponer para medidas directas en: Se suele expresar como:
20 1. Incertidumbre de precisión Es En casos sencillos la estimaremos como: La mitad de la (una) división menor de la escala Ej: Balanza No hay reglas sencillas para estimarla Ej: Cronómetros Incertidumbre en medidas directas A veces depende del experimentador No es fácil definir su intervalo de confianza
21 Para n medidas (Gp:) s = Desviación típica de las medidas
(Gp:) Desviación típica de la media
(Gp:) Factor de cobertura t de Student
Incertidumbre en medidas directas 2. Incertidumbre Aleatoria EA
22
(Gp:) 4 (Gp:) Xreal (Gp:) 3 (Gp:) 5
¿Medir la separación con respecto al valor real ? No conocemos el valor real ¿Medir la separación con respecto al valor medio ? ¿Cómo? Incertidumbre en medidas directas S: dispersión de los datos 2. Incertidumbre Aleatoria EA
23 Es la distancia del valor real a la que estará más probablemente un nuevo dato Tiene las mismas unidades que el resultado Incertidumbre en medidas directas S: Propiedades 2. Incertidumbre Aleatoria EA
24 SI hicieramos muchos grupos de n medidas… La media es más precisa que cualquier dato, los errores aleatorios se compensan Pero despacio …. Los errores de precisión no se compensan Incertidumbre en medidas directas Dispersión de la media 2. Incertidumbre Aleatoria EA
25 Si a es el nivel de confianza a = 0,95 p=0.05. Ya tenemos y pero el intervalo… es pequeño y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un factor corrector.
Incertidumbre en medidas directas Factor de cobertura: t de Student 2. Incertidumbre Aleatoria EA Para pocas medidas s=s n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar. ¿Quien fue Student ?
26 Incertidumbre en medidas directas Coeficientes tm (m grados de libertad) 2. Incertidumbre Aleatoria EA
27 Un poco de Historia: Student Inglaterra – Irlanda Control de calidad industrial Extraemos un número pequeño de muestras de un lote grande. ¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937
28 Incertidumbre en medidas directas Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones 2. Incertidumbre Aleatoria EA
29 Combinaremos las incertidumbres en cuadratura: Incertidumbre en medidas directas 3. Incertidumbre Total Propiedades
30 Resumen medidas directas ES= (Media) división mínima
31 Presentación incorrecta ! Resumen medidas directas Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
32 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios
33 Partes de una medida II Al medir una mesa podemos obtener 125 ± 17 cm valor ±incertidumbre Presentación unidades
34 Tipos de medidas Medidas directas
Medidas indirectas Las anoto de un instrumento L1, L2
Provienen de aplicar operaciones a medidas directas A = L1 x L2 L1 L2
35 Tipos de errores Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos Aleatorios Derivados de los anteriores
36 Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas Area de un cuadrado = (Lado)2 A = L2 L = 5 ± 1 cm ® A = 25 cm2 , DA= ¿? Incertidumbre en medidas indirectas 1. Medidas indirectas Recordando derivadas…
37 Significado DA, DL
Válido si DL pequeño DL DL L L Incertidumbre en medidas indirectas 2. Incertidumbres para 1 variable Interpretación geométrica
38 Area de un rectángulo A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente DL2 DL2 L1 L2 L1 Incertidumbre en medidas indirectas 3. Incertidumbres para 2 variables Y si L1, ,L2 inciertos ?
39 Errores independientes se compensan parcialmente DL1 x DL2 L1 x DL2 L2 x DL1 L2 L1 Incertidumbre en medidas indirectas 3. Incertidumbres para 2 variables
40 (Gp:) Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas 4. Incertidumbres para varias variables
41 Como varía Y si varía sólo X1 EJEMPLOS Incertidumbre en medidas indirectas 5. Derivadas parciales
42 Incertidumbre en medidas indirectas 5. Derivadas parciales: casos simples
43 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios
44 Partes de una medida II Al medir una mesa podemos obtener 125 ± 17 cm valor ±incertidumbre Presentación unidades
45 Tipos de medidas Medidas directas
Medidas indirectas Las anoto de un instrumento L1, L2
Provienen de aplicar operaciones a medidas directas A = L1 x L2 L1 L2
46 Tipos de errores Medidas directas
Medidas indirectas
Sistemáticos Aleatorios Derivados de los anteriores
47 Ejemplo (casi) completo I Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad. (Gp:) 1
(Gp:) 2
(Gp:) 3
48 Ejemplo (casi) completo II Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
49 Ejemplo (casi) completo III Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
50 Ejemplo (casi) completo IV Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
51 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Redondeos. Comparación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios
52 NO tengo tanta precisión en Dr como pretendo ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades…Por qué doy diezmilésimas en r ? Presentación de resultados Los resultados se presentan redondeados
53 Cifras significativas Cifras significativas ? Todas salvo los ceros a la izquierda Sobreviven a un cambio de notación Ejemplos:
54 Reglas (arbitrarias) de Redondeo La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas. El valor se expresa con tantos decimales como la incertidumbre. Valor e incertidumbre se expresan con las mismas unidades y potencia de 10. Redondeamos al número más cercano Intentamos que el valor sea un número sencillo, normalmente entre 1 y 10
55 Ejemplos de Redondeo I ( 1,2564 ± 0,1 ) m ? ( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m ? ( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km ? (1,52 ± 0,22) 108 km (1,52 ± 0,22) 1011 m ( 60506079 ± 89451 ) m ? ( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m
56 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Redondeos. Comparación de resultados. Otros tipos de medidas. Ejercicios
57 Comparación de resultados Compatibilidad de medidas Precisión de medidas: (Gp:) X1
(Gp:) X2
(Gp:) Xreal
58 Comparación de resultados Compatibilidad de medidas Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm ( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?
59 Error relativo Muy útil en comentarios Muy útil para estimar si los resultados son coherentes Definición:
Adimensional 2 cifras significativas Ejemplo: 100 ± 25 ? d = 0.25 ? incertidumbre del 25%
60 Comparación de resultados Resultados compatibles Resultado más preciso. Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
61 Indice Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados / comparación. Otras herramientas. Media ponderada. Interpolación. Herramientas de cálculo Regresión lineal. Ejercicios
62 Media ponderada I Varias medidas Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos Errores aleatorios
63 Media ponderada II Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan ( 100 ± 5 ) cm ( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?
64 Media ponderada III Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan ( 100 ± 5 ) cm ( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm Es un valor intermedio Más cerca del más preciso Incertidumbre reducida
65 Otras herramientas Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo
Regresión lineal
66 Interpolación lineal I Objetivo: obtener la dependencia lineal entre dos puntos de valores conocidos. Método: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Incertidumbre asociada
67 Si despreciamos el error en los datos de la tabla … Interpolación lineal II
68 Interpolación lineal III Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C Densidad del agua destilada en función de la temperatura
69 Otras herramientas Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo:
Calculadora Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
Regresión lineal
70 Herramientas de cálculo I: Calculadora
71 Calculadoras http://www.casio-europe.com/es/support/manuals/ Usar las memorias.
Modo estadístico. Media. Dispersión. Regresión
72 Otras herramientas Media ponderada
Regresión lineal
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo
73 Unidades en los ejes Puntos CON incertidumbres NO se unen los puntos Representación de la recta ajustada Gráficas I
74 I(A) V(10-4 V) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 1 2 3 4 5 0.00 Gráficas II
75 Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen una relación lineal: obtener parámetros de la recta m y c que mejor la representan, y sus incertidumbres ?m y ?c
Hipótesis: Fijamos una variable y medimos otra ? “x” sin incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas iguales. ¿ Cuál es la mejor recta ? ? Mínimos cuadrados Regresión Lineal III
76 I(A) V(10-4 V) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 1 2 3 4 5 (Gp:) m
0.00 (Gp:) c
y = m·x + c Regresión Lineal II: gráficas
77
Hipótesis: Existe una variable independiente (podemos darle los valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo valor nos da el experimento. X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son iguales en todas las medidas. La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer lineal manipulando las fórmulas. ¿ Cuál es la mejor recta ? ? Mínimos cuadrados Regresión Lineal II
78
Mínimos cuadrados: Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la dirección del eje y ? di
Sumamos las distancias al cuadrado
La mejor recta es la que minimiza la suma S Regresión Lineal III
79 I(A) V(10-4 V) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 1 2 3 4 5 (Gp:) m
0.00 (Gp:) c
y = m·x + c Regresión Lineal : IV d5 d2
80
¿ Cómo minimizo la suma ?: S depende de la pendiente y c.
En el cálculo en varias variables se verá que para que S sea mínimo es necesario que:
Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
81
Pasos: Identificar la variable independiente y la dependiente. Linealizar la fórmula. Transformar los datos Aplicar las fórmulas y calcular m y c Calcular las incertidumbres Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI
82
Métodos: Fórmulas de apuntes Calculadora (incertidumbres?) Programas de ordenador: Excel… Regresión Lineal IV
83 Ejemplo Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
84 Resolución
85 Resolución
86 Resolución
87 Resolución
88 Herramientas II: Hoja de cálculo