1 La Axiom´atica de la Teor´ia de Conjuntos
Carlos Ivorra (http://www.uv.es/=ivorra)
Introducci´on / / / Durante el siglo XIX se llev´o a cabo un proceso de fundamentaci´on de la matem´atica en virtud del cual se fueron precisando paulatinamente todos los conceptos b´asicos, desde el concepto de l´imite hasta el de n´umero natural. Finalmente, Frege present´o lo que deber´ia haber sido la culminaci´on de este proceso: una teor´ia axiom´atica de conjuntos, es decir, un sistema de axiomas a partir de los cuales pod´ian demostrarse rigurosamente todos los resultados b´asicos aceptados por los matem´aticos y, a partir de ellos, todos los teoremas matem´aticos. Desgraciadamente, Bertrand Russell descubri´o que la axiom´atica de Frege era contradictoria. En efecto, uno de los axiomas b´asicos de Frege a?rmaba lo siguiente:
Para toda propiedad f(X) de?nible en la teor´ia, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen f(X).
En otros t´erminos, Frege postulaba la existencia del conjunto
Y = {X | f(X)}.
Lo que Russell observ´o fue que esto pod´ia aplicarse a f(X) = X ? X, que era una propiedad trivialmente de?nida en la teor´ia de Frege, de modo que deb´ia existir un conjunto R = {X | X ? X}, que claramente nos lleva a la contradicci´on R ? R ? R ? R. A partir de aqu´i, la minuciosa l´ogica de Frege permit´ia probar con el mismo rigor que 2+2 = 4 y que 2+2 = 5, por lo que su teor´ia se volv´ia inservible. El mismo Russell, junto con A. N. Whitehead, present´o un tiempo despu´es otra teor´ia axiom´atica que, al menos en apariencia, estaba exenta de contradicciones, si bien era tan in´util como la de Frege, esta vez no por contradictoria sino por complicada. Se trata de los Principia Mathematica. La primera teor´ia axiom´atica construida por un matem´atico a gusto de los matem´aticos fue la de Zermelo. La forma en que Zermelo evit´o la paradoja de Russell fue debilitar el axioma de formaci´on de conjuntos de Frege, reduci´endolo a:
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˜ Para toda propiedad f(X) de?nible en la teor´ia y todo conjunto U, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos X ? U que cumplen f(X).
As´i, lo que Zermelo postulaba era la existencia de
Y = {X ? U | f(X)}.
Ahora bien, este axioma s´olo permite de?nir conjuntos a partir de otros conjuntos, por lo que Zermelo tuvo que anadir otros axiomas que garantizaran la existencia de aquellos conjuntos necesarios que no pod´ian obtenerse como subconjuntos de otros conjuntos da- dos. Enseguida describiremos con detalle la axiom´atica de Zermelo, pero antes daremos algunas indicaciones sobre la l´ogica matem´atica que subyace a toda teor´ia de conjuntos moderna. 2 La l´ogica de la teor´ia de conjuntos ˜ ˜ ˜ ˜ El punto de partida de la teor´ia de conjuntos moderna consiste en admitir que no podemos dar ninguna de?nici´on operativa de “conjunto”. El paso siguiente es darse cuenta de que no necesitamos hacerlo. Consideremos el silogismo siguiente: Toda palabra properisp´omena es bar´itona, d??o? es una palabra properisp´omena, luego d??o? es una palabra bar´itona. Si consultamos una gram´atica griega y un diccionario veremos que todas estas pa- labras son de verdad, pero lo maravilloso del caso es que no necesitamos saber lo que signi?can para concluir que el razonamiento es correcto: Si sabemos que toda palabra properisp´omena (sea esto lo que sea) es bar´itona (sea esto lo que sea), as´i como que “d??o?” (sea lo que sea) es una palabra properisp´omena (sea lo que sea), podemos a?r- mar sin miedo a equivocarnos que “d??o?” (sea lo que sea) es una palabra bar´itona (sea lo que sea). T´ecnicamente, hacer matem´aticas es esto mismo: hablar con absoluto rigor l´ogico sin preocuparse del signi?cado de los t´erminos empleados. M´as concretamente, todo teorema matem´atico podr´ia formularse as´i:
Si admitimos que los conjuntos (sean lo que sean), junto con la relaci´on de pertenencia (sea esto lo que sea), cumplen unos axiomas dados, entonces tal a?rmaci´on es cierta.
Esto no signi?ca que la palabra “conjunto” carezca de signi?cado (al ?n y al cabo “properisp´omeno” es una palabra m´as rara y s´ique signi?ca algo muy concreto). Existen muchas opiniones al respecto, desde los formalistas radicales que niegan todo signi?cado a los conceptos matem´aticos hasta los platonistas radicales que creen que los conjuntos existen de forma objetiva en alg´un sentido de la palabra. En el t´ermino medio estar´ian las
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posturas ?nitistas y similares, seg´un las cuales podemos atribuir un signi?cado concreto a ciertos conjuntos (como m´inimo a todos los conjuntos ?nitos, tal vez tambi´en a los numerables o a algunos de ellos, etc.), pero no a otros. Sea como sea, la l´ogica matem´atica permite que estas cuestiones no afecten a la fun- damentaci´on de la matem´atica: tanto si los conjuntos son algo como si no son nada, podemos dar unos axiomas y deducir cosas de ellos con todo rigor. El primer paso es indicar expl´icitamente todos los signos del lenguaje matem´atico. Existen varias alternativas, pero una muy habitual es considerar que el lenguaje de la teor´ia de conjuntos consta de los 12 signos siguientes:
(,),¬,?,?,?,?,?,?,|,=,?,
m´as una lista potencialmente in?nita de signos llamados variables:
x,y,z,a,ß,x1,x2,…
Con estos signos podemos formar cadenas de signos, tales como ? = (? xy, o ((x = y) ? (y = x)). Las cadenas de signos se dividen en dos tipos: expresiones y cadenas no expresivas. Informalmente, una expresi´on es una cadena con sent
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