Puesto que tanto X ? V ×V como X ? V tienen un signi?cado preciso, lo mismo sucede con toda la f´ormula. En de?nitiva, V × V ? V signi?ca que todo par ordenado es un conjunto, lo cual es cierto. ´ En de?nitiva, si en una f´ormula aparecen clases, pero unicamente en la forma X ? C, la f´ormula tiene sentido como a?rmaci´on en ZF, pese a que las clases en s´i no existan, pues las clases que aparecen pueden sustituirse por las f´ormulas que las de?nen. M´as a´un, no necesitamos exigir que las clases aparezcan en la forma X ? C. Por ejemplo, imaginemos que en una f´ormula aparece una igualdad de clases C = E, o una igualdad de la forma X = C, donde X es una variable. El axioma de extensionalidad nos permite darles una interpretaci´on. Por ejemplo, convenimos en que C = E es una abreviatura de la f´ormula ?X(X ? C ? X ? E), donde a su vez podemos sustituir C y E por las f´ormulas que las de?nen. Todo esto es consistente mientras recordemos que ?X y ?X hacen referencia a con- juntos. Por ejemplo, se cumple que ¬?X X = V , pues esta f´ormula signi?ca, seg´un los convenios que hemos establecido, a que ¬?X?Y (Y ? X ? Y ? V ) o, equivalentemente, que no existe ning´un conjunto que contenga a todos los conjuntos. ´ Ser´ia un error pensar que, como V = V , entonces ?X X = V . Esta ultima f´ormula a?rma que existe un conjunto igual a V , lo cual es falso. ´ Por ultimo, tambi´en podemos dar sentido a cualquier f´ormula en la que una clase propia aparezca en la forma C ? X. Convenimos en que esto signi?ca ?Y (Y = C ? Y ? X). Para que esto pueda suceder es necesario que la clase C se corresponda en realidad con un conjunto, es decir, que s´i que exista un conjunto cuyos elementos coincidan con los de C. En resumen: Cada f´ormula de ZF nos permite de?nir una clase C, de tal modo que toda f´ormula de ZF en la que aparezcan clases puede interpretarse como la abrevia- tura de una f´ormula que no las contenga sin m´as que eliminar las subf´ormulas X ? C, X = C, C ? X, etc. del modo que hemos indicado. A partir de aqu´i, las operaciones conjuntistas pueden aplicarse a las clases con total libertad. Por ejemplo, podemos de?nir la intersecci´on de dos clases C y E como la clase C n E = {X | X ? C ? X ? E}. En otras palabras, estamos conviniendo en que X ? C n E es simplemente una forma de abreviar X ? C ? X ? E, que a su vez tendr´a un signi?cado concreto en funci´on de las f´ormulas que de?nan a C y E. 13
´ ´ ´ Otro ejemplo, podemos de?nir R = {(X,Y ) | X ? Y } y a?rmar que la clase R es una relaci´on de orden parcial en la clase universal V . Con un poco de paciencia, usando la de?nici´on de relaci´on de orden, podr´iamos reescribir esta a?rmaci´on en t´erminos de conjuntos unicamente. Terminamos la secci´on observando que el hecho de que podamos hablar de clases como si fueran conjuntos no signi?ca que su comportamiento sea el mismo que el de los conjuntos. Por ejemplo, podemos de?nir en la clase universal V la relaci´on de equivalencia X RY ? |X| = |Y |. (Con m´as precisi´on, R = {(X,Y ) | |X| = |Y |}). Ahora podr´iamos pensar en formar la clase cociente, y esperar encontrarnos con tantos elementos como cardinales hay, pero no es as´i, la clase cociente resulta ser V/R = {{Ø}}. En efecto, la clase de equivalencia del conjunto vac´io es {Ø}, ya que Ø es el unico conjunto de cardinal 0, pero puede probarse que, para cualquier otro cardinal ? > 0 (?nito o in?nito) no existe ning´un conjunto que contenga a todos los conjuntos de cardinal ?, de modo que la clase de equivalencia C = {X | |X| = ?} no es un conjunto, luego no puede pertenecer a la clase V/R ni a ninguna otra clase, ya que hemos convenido en que C ? V/R ha de entenderse como ?X(X = C ? X ? V/R), y esto es falso. Por lo tanto V/R s´olo contiene la clase de equivalencia de Ø. Fen´omenos como ´este hacen que las clases sean utiles como meros auxiliares para tratar con conjuntos, pero no podemos centrar en ellas la teor´ia. 6 Axiomatizaci´on de las clases ˜ La discusi´on de la secci´on anterior puede parecer escurridiza y poco rigurosa, pero no es as´i. De hecho, partiendo de una axiom´atica ex´otica de von Neumann, Bernays disen´o otra en la que hab´ia dos tipos de objetos b´asicos: los conjuntos y las clases. Los conjuntos se comportaban igual que los de ZF y las clases se comportaban como hemos descrito en la secci´on anterior. La axiom´atica de Bernays era un tanto complicada, pero G¨odel la simpli?c´o dr´asticamente, hasta hacerla tan sencilla o m´as que la de ZF. Su versi´on se conoce como teor´ia de conjuntos de von Neumann-Bernays-G¨odel (NBG). Aqu´i veremos una versi´on ligeramente distinta (m´as sencilla a´un) llamada teor´ia de Morse-Kelley (MK). Luego comentaremos las diferencias respecto a NBG. Si el planteamiento de ZF es “vamos a hablar de unos objetos llamados conjuntos y una relaci´on de pertenencia que no de?nimos, pero que cumplen los axiomas siguientes”, el planteamiento de MK es “vamos a hablar de unos objetos llamados clases y una relaci´on de pertenencia que no de?nimos, pero que cumplen los axiomas siguientes”. En otras palabras, ahora ?X y ?X se leen “para toda clase X” y “existe una clase X”. Antes de dar ning´un axioma, damos una de?nici´on: X es un conjunto = ?Y X ? Y . Es decir, llamaremos conjuntos a las clases que pertenecen a alguna clase. Adoptaremos
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tambi´en el convenio de usar letras min´usculas para referirnos a conjuntos, de modo que ?xf(x) = ?X(X es un conjunto ? f(X)),
?xf(x) = ?X(X es un conjunto ? f(X)). La inclusi´on de clases se de?ne como X ? Y = ?u(u ? X ? u ? Y ). El primer axioma es el de extensionalidad: ?XY (?u(u ? X ? u ? Y ) ? X = Y ). Este axioma a?rma que si dos clases tienen los mismos conjuntos como elementos entonces son iguales. La diferencia fundamental de MK (o NBG) frente a ZF es que nos permite dar un esquema de formaci´on de clases mucho m´as parecido al original de Frege, y, desde luego, mucho menos restrictivo que el esquema de especi?caci´on: Para toda f´ormula f(X), la f´ormula siguiente es un axioma de MK: ?Y ?x(x ? Y ? f(x)). ´ En otras palabras, para toda propiedad, existe una clase cuyos elementos son los conjuntos que cumplen la propiedad. Esta clase Y es unica, pues dos clases que cumplan esto tienen los mismos elementos. Por lo tanto podemos de?nir el t´ermino {x | f(x)} = Y | ?x(x ? Y ? f(x)). Es crucial observar que {x | f(x)} es la clase de todos los conjuntos que cumplen f(x), es decir, para que un X est´e en esta clase no basta con que cumpla f(X), sino que adem´as ha de ser un conjunto. A partir de aqu´i podemos de?nir: 1. Ø = {x | x = x} (la clase vac´ia), 2. V = {x | x = x} (la clase universal), / 3. X n Y = {u | u ? X ? u ? Y } (intersecci´on de clases), 4. X ? Y = {u | u ? X ? u ? Y } (uni´on de clases), 5. X = {u | u ? X} (clase complementaria), / 6. X Y = {u | u ? X ? u ? Y } (diferencia de clases), 7. PX = {u | u ? X} (clase de partes), 15
/ / / / / 8. {X1,…,Xn} = {u | u = X1 ? ··· ? u = Xn}.
Es f´acil probar que estos conceptos tienen las propiedades habituales, salvo los pro- blemas que pueden ocasionarse porque una clase dada no sea un conjunto. Para entender esto consideremos la clase R = {x | x ? x}. Esta clase no es un conjunto, pues si R fuera un conjunto y R ? R, entonces deber´ia ser R ? R, y viceversa. Puesto que no es un conjunto, se cumple que R ? R, y esto no obliga a que R ? R, pues para que algo pertenezca a R no basta con que cumpla x ? x, sino que adem´as ha de ser un conjunto. Esto hace que {R} = Ø, pues para pertenecer a {R} se han de cumplir dos condiciones: ser igual a R y ser un conjunto, y no pueden darse las dos a la vez. Otro ejemplo: obviamente R ? V , pero R ? PV , ya que para pertenecer a PV no basta estar contenido en V , sino que hace falta ser un conjunto. Ahora necesitamos axiomas que garanticen que existen conjuntos. Con lo que sabemos hasta ahora podr´ia ocurrir que V = Ø. Para el axioma de la uni´on de?nimos la clase v = {u | ?v ? X u ? v}. v?X 1. Ø es un conjunto. (Axioma del conjunto vac´io.) 2. ?xy {x,y} es un conjunto. (Axioma del par.) 3. ?x v?x v es un conjunto. (Axioma de la uni´on.) 4. ?x Px es un conjunto. (Axioma de partes.) El axioma del par a?rma que el par {x,y} formado por dos conjuntos es de nuevo un conjunto, lo que permite de?nir el par ordenado (x,y) = {{x},{x,y}} y demostrar el teorema ?xyzw((x,y) = (z,w) ? x = z ?y = w). Esto no vale para pares ordenados con componentes que no sean conjuntos. Por ejemplo,
(R,R) = {{R},{R,R}} = {Ø,Ø,} = {Ø} y, en general, siempre que X e Y no sean conjuntos se cumple que (X,Y ) = {Ø}. De?nimos el producto cartesiano de clases como
X × Y = {u | ?vw(v ? X ? w ? Y ? u = (v,w))}.
A su vez de?nimos
F : A -? B = F ? A × B ? ?x ? A?!y ? B(x,y) ? F.
As´i, tiene sentido hablar de que una clase F sea una aplicaci´on entre dos clases. Podemos de?nir los conceptos usuales de dominio, rango, imagen, aplicaci´on inyectiva,
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´ ´ suprayectiva, etc., todos ellos para clases arbitrarias. Esto nos permite enunciar el axioma del reemplazo (que aqu´ies un axioma, no un esquema axiom´atico) de forma especialmente simple:
?FXY (F : X -? Y suprayectiva ? X es un conjunto ? Y es un conjunto.)
De aqu´i deducimos el ultimo teorema importante de formaci´on de conjuntos:
Teorema Toda subclase de un conjunto es un conjunto. Demostracion: Sea x un conjunto y supongamos que una clase Y cumple Y ? x. Distinguimos dos casos: si Y = Ø, entonces Y es un conjunto por el axioma del conjunto vac´io. Si Y = Ø tomamos un u ? Y y de?nimos la aplicaci´on F : X -? Y dada por F(t) = / t si t ? Y , u si t ? Y . Claramente F es suprayectiva, luego por el axioma del reemplazo Y es un conjunto. En particular, si x e y son conjuntos tambi´en lo es x n y, pues x n y ? x. Para la uni´on observamos que {x,y} es un conjunto por el axioma del par y entonces x ? y = v ´ v?{x,y}
es un conjunto por el axioma de la uni´on.
Teorema ?xy x × y es un conjunto. Demostracion: Basta observar que x × y ? PP(x ? y) (ver la introducci´on del producto cartesiano en la teor´ia de Zermelo). Hemos visto que x?y es un conjunto. Por el axioma de partes PP(x?y) es un conjunto y por el teorema anterior x×y tambi´en lo es. A partir de aqu´i ya es f´acil probar que cualquier cosa que deber´ia ser un conjunto lo es realmente. Por el contrario, la clase universal V no es un conjunto, ya que R ? V y R no es un conjunto. Si x es un conjunto, la clase complementaria x no es un conjunto, pues si lo fuera V = x ? x tambi´en ser´ia un conjunto. Podemos de?nir
N = {x | ?Y (Y es una clase inductiva ? x ? Y )}.
Es f´acil probar que N es una clase inductiva contenida en cualquier otra clase inductiva, as´i como que cumple los axiomas de Peano. No obstante, no podemos demostrar que N sea un conjunto. Esto es precisamente lo que a?rma el axioma de in?nitud. Con esto completamos la axiom´atica de Morse-Kelley (en realidad faltar´ian los axiomas de regularidad y elecci´on, pero ´estos no presentan diferencias frente a ZF).
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´ ´ La unica diferencia de MK respecto a la teor´ia NBG de von Neumann-Bernays-G¨odel es que ´esta ultima restringe el esquema de formaci´on de clases a f´ormulas f(X) en las que todos los cuanti?cadores ?X, ?X est´en restringidos a conjuntos, es decir, sean de hecho de la forma ?x, ?x. Esto hace que NBG sea equivalente a MK en el sentido siguiente:
Todo teorema de ZF puede probarse en NBG y, rec´iprocamente, todo teorema de MK en cuyo enunciado s´olo aparezcan conjuntos puede demostrarse en ZF (aunque la demostraci´on haga referencia a clases que no sean conjuntos).
Por el contrario, en MK pueden demostrarse teoremas sobre conjuntos que no pueden demostrarse ni en NBG ni en ZF. Otra caracter´istica de NBG que no tiene MK es que es ?nitamente axiomatizable, es decir, el esquema de formaci´on de clases (restringido en la forma indicada) puede sustituirse por un n´umero ?nito de casos particulares, a partir de los cuales pueden demostrarse todos los dem´as (esto lo prob´o G¨odel). 7 Observaciones ?nales ´ Las teor´ias axiom´aticas que hemos visto son intentos de evitar las paradojas de la teor´ia de conjuntos, pero no existe ninguna garant´ia de que lo consigan. Los teoremas de incompletitud de G¨odel tienen como consecuencia que si cualquiera de estas teor´ias es consistente no es posible dar un argumento que lo pruebe. Deber´ia estar claro que los axiomas de la teor´ia de conjuntos no son de ning´un modo “verdades b´asicas” de la matem´atica. Los matem´aticos aceptan en sus razonamientos decenas de hechos igualmente b´asicos. Los axiomas de la teor´ia de conjuntos son sim- plemente una selecci´on arbitraria de unos pocos de estos hechos b´asicos que bastan para demostrar todos los dem´as. Por ejemplo, la existencia de la uni´on es tan b´asica como la existencia de la intersecci´on, pero en ZF la primera es un axioma y la segunda un teorema. En cambio, en NBG ambas son consecuencias de un mismo axioma general, pero luego el hecho de que la uni´on de conjuntos es un conjunto es un axioma y el hecho an´alogo para la intersecci´on es consecuencia del axioma del reemplazo. Todo esto son convenios utiles que en absoluto pueden interpretarse como que la uni´on sea m´as o menos b´asica que la intersecci´on. 18
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