Fig. 1: Circunferencia (línea) y círculo (región interior)
2. Elementos de una circunferencia y de un círculo
2.1. Puntos y líneas (rectas y curvas)
a) Centro de la circunferencia, punto ?jo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia; en la ?gura 2, el punto O.
b) Radio r, segmento que une el cen- tro con cualquier punto de la circunferen- cia; en la ?gura 2, los segmentos OE, OD; también, OA, OH, OB. Toda circunferencia queda determinada al conocerse su centro y su radio.
c) Arco, porción de circunferencia limi- tada por dos puntos de la misma, que son los extremos del arco; en la ?gura 2, el arco AB. Obsérvese que al ?jar estos puntos A y B, quedan determinados dos arcos, según se proceda de A hacia B en el sentido de las agujas del reloj, o en sentido opuesto. Por ello, si hay dudas, se puede colocar otra letra mayúscula que designe un punto in- termedio del arco (H, en el arco AHB, por ejemplo).
d) Cuerda, segmento que une dos pun- tos de la circunferencia; en la ?gura 2, el segmento AB. A esta cuerda le corresponde el arco AB y se dice que la cuerda subtien- de (se tiende por debajo de) el arco corres- pondiente.
d) Diámetro (dia [a través] + metron [medida] = medida a través), cuerda que pasa por el centro de la circunferencia; en la ?gura 2, el segmento DE. Todo diámetro subtiende una semicircunferencia.
e) Sagita (del latín: sagitta [?echa]), seg- mento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el del arco correspondien- te; en la ?gura 2, el segmento MH. La sagita siempre forma parte de un radio. El nombre le viene porque el arco y la cuerda, juntos, componen la ?gura de un arco (arma), den- tro del cual la sagita sería la ?echa lista para ser disparada.
Fig. 2: Centro, radio, arco, cuerda, diámetro y sagita de una circunferencia Una propiedad característica de toda cuerda de una circunferencia es que es perpendicular al radio que pasa por su punto medio.
En la ?gura, M es el punto medio de la cuerda AB. El ? AOB es isósceles, ya que sus lados OA y OB son congruentes por ser radios de la circunferencia. OM es la me- diana correspondiente a la “base” AB. Pero en el Cuaderno 13 vimos que en un triángu- lo isósceles, la mediana de la base coincide con la altura de este mismo lado; por con- siguiente, OM es perpendicular a AB en su punto medio M.
2.2. Rectas relacionadas con una circunferencia
Una recta puede tener una de estas po- siciones con respecto a una circunferencia:
a) Recta secante, cuando corta a la cir- cunferencia en dos puntos; en la ?gura 3, la recta s. 7
b) Recta tangente, cuando comparte un solo punto con la circunferencia (el punto de tangencia); en la ?gura 3, la recta t.
c) Recta exterior, cuando no posee ningún punto en común con la circunferencia; en la ?gura 3, la recta e. 2. Si ahora trazamos dos rectas tangen- tes a una circunferencia en los puntos extre- mos de dos radios perpendiculares entre sí, ¿cuál es la relación que existe entre ambas rectas tangentes? 3. Si dos rectas tangentes a una circun- ferencia son paralelas entre sí, ¿qué po- demos decir acerca de los dos puntos de tangencia? 2.3. Circunferencias relacionadas con una circunferencia
Dos circunferencias pueden tener una de estas posiciones relativas entre sí:
a) Circunferencias exteriores, cuan- do la distancia entre los centros de am- bas es mayor que la suma de sus radios respectivos; en la ?gura 4, C2 y C4, C4 y C7, C6 y C5, por ejemplo.
b) Circunferencias tangentes ex- teriores, cuando la distancia entre los centros de ambas es igual a la suma de sus radios respectivos; en la ?gura 4, C2 y C3.
c) Circunferencias secantes, cuando la distancia entre los centros de ambas es menor que la suma y mayor que la diferencia de sus radios respectivos; en la ?gura 4, C4 y C5.
d) Circunferencias tangentes in- teriores, cuando la distancia entre los centros de ambas es igual a la diferencia de sus radios respectivos; en la ?gura 4, C6 con respecto a C4. s t e Fig. 3: Rectas secante, tangente y exterior a una circunferencia
Una propiedad característica de toda recta o segmento tangente a una circunferencia en un punto es que tal recta o segmento es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia. M
o T
N En la ?gura, la recta MN es tangente a la circunferencia en el punto T; esto signi?ca que el radio OT es perpendicular a MN en T. La razón de esta propiedad radica en que, si MN es tangente a la circunferencia, la distancia más corta desde O a MN viene dada jus- tamente por la longitud del segmento OT. Pero sabemos que la distancia más corta desde un punto a una recta se consigue precisamente sobre el segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. Así, pues, OT debe ser perpendicular a MN en T.
Recíprocamente, toda recta que es perpendicular a un radio de una circunferencia en su punto extremo, es tangente a la circunferencia en ese punto.
1. Si trazamos dos rectas tangentes a una circunferencia en los puntos extremos de una diagonal, ¿cuál es la relación que existe entre ambas rectas tangentes? 8
J M R S Fig. 6: Ángulos interiores y exteriores a una circunferencia Fig. 4: Posiciones relativas entre circunferencias
4. ¿Pueden dos circunferencias cortarse en más de dos puntos? Y si dos circunfe- rencias comparten tres puntos, ¿cuál es la posición relativa entre ambas?
5. Si dibujo dos circunferencias y tres rectas, ¿cuál es el mayor número de puntos de intersección que puedo obtener entre esas cinco ?guras? e) Circunferencias interiores, cuan- do la distancia entre los centros de am- bas es menor que la diferencia de sus radios respectivos; en la ?gura 4, C7 con respecto a C5.
f) Circunferencias concéntricas, cuando ambas poseen el mismo centro, es decir, cuando la distancia entre los centros de ambas es nula; en la ?gura 4, C1 y C2. 2.4. Ángulos en una circunferencia
En una circunferencia podemos considerar diversos tipos de ángulos, de acuerdo con la ubicación de su vértice y la naturaleza (o posición relativa con respecto a la circunfe- rencia) de sus lados:
a) Ángulo central, ángulo cuyo vértice se halla en el centro de la circunferencia y cu- yos lados contienen sendos radios o, simplemente, son dos radios; en la ?gura 5, < AOB.
b) Ángulo inscrito en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se halla en la circun- ferencia y cuyos lados contienen sendas cuerdas o, simplemente, son dos cuerdas; en la ?gura 5, < KJL.
c) Ángulo semiinscrito en una circunferencia, ángulo cuyo vértice se halla en la cir- cunferencia y cuyos lados son una tangente y una semirrecta que contiene a una cuerda, o, simplemente, una tangente y una cuerda; en la ?gura 5, < MNQ. A K Q N B L Fig. 5: Ángulos central, inscrito y semiinscrito en una circunferencia O d) Angulo interior a una circunferencia, ángulo formado por dos secantes (o dos cuerdas) que se intersectan dentro de la circunferencia; en la ?gura 6, los ángulos < AOB y < AOC (y sus respectivos opuestos por el vértice).
e) Ángulo exterior a una circunferencia, ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y cuyos lados pueden ser dos semirrectas secantes, o una secante y otra tangente, o dos tangentes a la circunferencia; en la ?gura 6, los ángulos < HJL y < RST, respectivamente. En el último caso, se dice que el ángulo (< RST en la ?gura 6) está circunscrito a (trazado alrededor de) la circunferencia. M A B H O N J C L T P D
9
L H c) 3. Construcción de circunferencias 3.1. Condiciones su?cientes para construir una circunferencia
Existen varios procedimientos para construir circunferencias, apoyados cada uno de ellos en determinadas condiciones:
a) Conocidos el centro y el radio. Basta ?jar el punto que servirá de centro y hacer girar el compás 360o con una abertura correspondiente a la longitud del radio. Este pro- cedimiento se ajusta a la formulación b) del concepto de circunferencia: “Línea trazada por el extremo de un segmento que gira un ángulo de 360o alrededor del otro extremo ?jo”. Y el resultado corresponde a la formulación a) del concepto de circunferencia: “Línea formada por todos los puntos de un plano que equidistan de uno dado”.
b) Conocidos el centro y un punto de la circunferencia. El radio se obtiene con el compás midiendo la distancia entre ambos puntos, y así volvemos al caso a).
c) Conocido el diámetro. Trazado el diámetro en un plano, basta obtener su punto medio (Cuaderno 12), tomar como radio el segmento que une el centro con uno de los extremos del diámetro, y trazar la circunferencia con el compás.
d) Conocidos tres puntos no alineados por los que pasa (o debe pasar) la circunfe- rencia. Necesitamos conocer el centro y el radio de la circunferencia; de estos dos reque- rimientos, el fundamental es el centro, ya que conocida su ubicación, el radio se obtiene con el compás midiendo la distancia entre el mismo y cualquiera de los tres puntos.
¿Cómo se obtiene grá?camente un punto? Sencillamente, por la intersección de dos líneas, rectas o curvas. Ahora bien, si conocemos tres pun- tos de la circunferencia, ¿podemos construir dos líneas que pasen por el centro? Sí: anteriormente hemos visto que una cuerda es perpendicular al radio que pasa por su punto medio. Si le “damos la vuelta” a esta a?rmación podemos concluir que dada una cuerda, su mediatriz pasa por el centro de la circunferencia. Y si tenemos dos cuerdas, sus mediatrices se cortarán exactamente en el centro de la circunferencia, ya que ambas tienen que pasar por él. 2.5. Subconjuntos o regiones de un círculo
a) Sector circular, porción del círculo limitada por dos radios y el arco de circun- ferencia correspondiente a los puntos ex- tremos de ambos radios; en la ?gura 7, la región OAHB de la sección a).
b) Segmento circular, porción del círcu- lo limitada por una cuerda y el arco corres- pondiente; en la ?gura 7, la región FLG de la sección b).
c) Corona circular, porción del círculo comprendida entre dos circunferencias con- céntricas; en la ?gura 7, la región coloreada de la sección c).
d) Trapecio circular, porción de una co- rona circular limitada por dos radios; en la ?gura 7, el trapecio cuya base mayor curva es el arco MN. B F A G
a) b)
N M d) Fig. 7: Regiones de un círculo: sector, seg- mento, corona y trapecio circulares 10
Todas ellas tienen el mismo radio, pero sus r centros pueden variar, ya que están ubica- dado. t En la ?gura, A, B y C son los tres pun- tos de la circunferencia; se han trazado las cuerdas AB y BC y se han construido sus mediatrices. El punto de intersección O es justamente el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.
Evidentemente, hay otros procedimien- tos para construir circunferencias sin utilizar las herramientas geométricas fundamenta- les, regla y compás. Por ejemplo:
• Recorrer con un lápiz o una tiza el borde redondo de ciertos objetos: una mo- neda, un vaso, una rueda, un botón, una tapa de envase…, al tiempo que el instru- mento de escribir se aplica sobre un papel, el suelo u otra super?cie plana. • Promover una línea de curvatura constante, tal como la abuela y sus arepas redonditas, o el trazado de las vueltas que da un carro con el volante girado y ?jo, o un triciclo con el manillar girado y ?jo… • Sustituir el compás por un hilo o una cuerda tensos, o por cualquier otro objeto rígido, con un extremo ?jo y con un lápiz o tiza en el extremo opuesto. • ¿Se le ocurre alguna otra forma prác- tica de hacerlo?
3.2. Condiciones insu?cientes para construir una circunferencia
Veamos estos otros casos en los que se dan ciertas condiciones para construir una circunferencia: • Se conoce un solo punto de la circun- ferencia. • Se conoce un punto de la circunferen- cia y su radio • Se conocen dos puntos de la circun- c) Conocidos dos puntos de la circun- ferencia ferencia. También hay in?nitas circunferen- • Se conocen dos puntos de la circunfe- cias que pasan por dos puntos dados del rencia y el radio plano. Sus centros están ubicados en la me- diatriz del segmento que une ambos puntos Evalúe cada caso: Si puede construir- y, como se ve, sus radios pueden variar. se una sola circunferencia, explique a sus compañeros(as) cómo lo haría. Si pueden d) Conocidos dos puntos de la circun- construirse varias, trate de visualizar la si- ferencia y el radio. Es una restricción del tuación y exprese las condiciones o restric- caso anterior. En estas condiciones se pue- ciones que deberían veri?car los radios o den construir dos circunferencias, ya que los centros de tales circunferencias. Y si no hay dos puntos en la mediatriz del segmen- puede construirse ninguna, explique por to que une ambos puntos (uno a cada lado qué. del segmento) cuya distancia a los mismos es igual al radio. Trate de analizar y resolver cada caso por su cuenta o con sus compañeros(as), ¿Cuántas circunferencias pueden pasar antes de seguir leyendo. Después, contras- por 4 puntos dados? Puede ocurrir que pase te su argumentación con la que se expone una sola; en este caso, para construirla hay de seguido. que seguir el procedimiento expuesto para el caso de tres puntos no alineados y espe- En los casos anteriores, las condiciones rar que el cuarto punto quede incluido en la son insu?cientes y no es posible precisar circunferencia así trazada. Si no se cumple una sola circunferencia. Así: esto último, no existe tal circunferencia. De modo que, a partir de tres puntos, no se ne- a) Conocido un solo punto de la circun- cesitan otros adicionales; más bien puede ferencia. Evidentemente, hay in?nitas cir- complicarse la situación si se agregan otros cunferencias que pasan por un punto dado, posibles puntos de la circunferencia. circunferencias cuyo centro y cuyo radio no están sometidos a ninguna restricción. 3.3. Algunos casos particulares de construcción de circunferencias b) Conocidos un punto de la circunfe- rencia y su radio. Hay in?nitas circunferen- Construya circunferencias tangentes a cias que cumplen este par de condiciones. una recta en un punto. Como puede apreciarse, pue- den construirse in?nitas circunfe- dos sobre la circunferencia que tiene como rencias a ambos lados de la recta centro el punto dado, y como radio, el radio r; sus radios pueden variar, pero sus centros se hallan todos sobre la recta t, perpendicular a r en el punto de tangencia. 11
desglosarse en otras tres: el centro de la cir- cunferencia debe equidistar de cada par de lados, lo que equivale a a?rmar que debe estar situado en la bisectriz de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
Así, pues, para trazar esta circunferen- cia hay que construir las tres bisectrices del triángulo (en realidad, basta trazar dos de ellas). Ese punto de intersección es el centro de tal circunferencia; el radio viene dado por el segmento que va desde el centro a cada uno de los puntos de tangencia con los lados.
En el Cuaderno 13 se hizo ver que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, al que denominamos incentro. Ahora podemos aclarar que este nombre le viene dado por ser el centro de la circunfe- rencia inscrita en el triángulo.
Construya una circunferencia que pase por los tres vértices de un triángulo (circun- ferencia circunscrita a un triángulo).
El problema se reduce a uno de los ca- sos de construcción propuestos anterior- mente (conocidos tres puntos no alineados de la circunferencia). Hay que trazar las mediatrices de los segmentos que unen los puntos dos a dos, es decir, de los tres la- dos del triángulo (en realidad, basta trazar dos de ellas). Ese punto de intersección es el centro de tal circunferencia; el radio vie- ne dado por el segmento que une el centro con cualquiera de los tres vértices.
En el Cuaderno 13 se hizo ver que las tres mediatrices de un triángulo se cortan Construya una circunferencia de radio dado y tangente a una recta en un punto.
El problema agrega una restricción al caso anterior. Trazada la perpendicular t a r por el punto de tangencia, con el compás se hace centro en este punto y con la abertura del radio se marcan dos puntos, uno en cada lado de t. Estos puntos son los centros de las dos circunferencias que responden al enunciado del problema.
Construya circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan. A B
P
C
D
Como puede apreciarse en la ?gura, al cortarse las rectas AC y DB se forman cuatro ángulos. Pueden construirse in?nitas circunferencias en cada uno de esos ángulos, todas ellas tangentes a ambas rectas. Pero presentan una regularidad: en cada circunferencia, el segmento que une el centro con cada uno de los dos puntos de tangencia es un radio; es decir, el centro equidista de ambas rectas; dicho de otra manera, el centro equidista de los lados del ángulo correspondiente (< APD, por ejemplo). Esto signi?ca que el centro de cada circunferencia se ubica en alguna de las bisectrices de los ángulos que se forman al intersectarse ambas rectas.
Así, pues, para trazar las circunferencias pedidas, basta con construir las bisectrices del caso, hacer centro en cualquier punto de ellas y abrir el compás adecuadamente para lograr la tangencia solicitada.
Construya una circunferencia que sea tangente a los tres lados de un triángulo (circun- ferencia inscrita en un triángulo).
El problema presenta una restricción con respecto al que acabamos de resolver: hay que agregar una tercera recta que cierre un triángulo. Pero el razonamiento es análogo: el centro de la circunferencia debe equidistar de los tres lados. Esta condición puede 12
Lo que ocurre, como se muestra en la ?gura, es que las tres bisectrices concurren en un solo punto. Esto signi?ca que ese punto equidista de las semirrectas AE y AD, así como del segmento BC. Es decir, que puede considerarse como el centro de una circun- ferencia que es tangente a las dos semirrectas y al segmento mencionado.
Esta circunferencia recibe el nombre de exinscrita en el triángulo (es decir, inscrita pero en el exterior del triángulo). Observe que se pueden construir tres de estas circun- ferencias en todo triángulo. en un punto, al que denominamos circuncentro. Ahora podemos aclarar que este nom- bre le viene dado por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Dadas tres rectas distintas que se cortan de manera no concurrente (no se cortan las tres en el mismo punto), construya una circunferencia tangente a ellas. C A B
Evidentemente, el problema se reduce a la construcción del incentro en el triángulo ? ABC.
El problema 31. del Cuaderno 13 proponía:“Dada la ?gura anexa, trace las bisectri- ces de los ángulos < DAE, < DBC y < ECB. Observe qué ocurre”. Ahora agregamos: ¿Qué conclusión puede extraer en este caso? A B D C E A B Q La circunferencia debe ser tangente a las rectas r y s, y tener su centro en la recta t. Tenemos que hallar este último punto. Ahora bien, para ser tangente a r y s, el centro debe equidistar de ambas rectas, es decir, de los lados del ángulo 
del diámetro es el doble de la del radio r (d = 2 x r), podemos escribir:
l = 2 x p x r
Resulta conveniente adquirir un sentido práctico en referencia a esta relación. Por ejemplo, toda circunferencia mide algo más que el triple de la longitud de su diámetro, y algo más que seis veces la longitud de su radio. Esta referencia nos permite obtener un estimado de la longitud de cualquier circunferencia una vez que conozcamos la medida de su diámetro o de su radio.
Cuando se persigue tener el valor real de dicha longitud, p se maneja como 3,14 ó 3,1416 según la necesidad de precisión en el cálculo. En los demás casos, la ex- presión de la longitud de la circunferencia puede darse en términos de p; por ejemplo, puede decirse que una circunferencia mide 8p unidades de longitud, sin necesidad de efectuar la multiplicación.
En cuanto a medir la longitud de un arco, el procedimiento a aplicar se deriva de otra observación: esta longitud depen- de de la amplitud del ángulo central que corresponde a dicho arco. Por ejemplo, si medimos la longitud de un arco para un determinado ángulo central y después tra- zamos otros ángulos centrales cuya ampli- tud sea el doble, el triple, la mitad, etc. del inicial, veremos que la longitud de los arcos correspondientes es el doble, el triple, la mitad, etc., respectivamente, de la longitud del primero. En consecuencia, dentro de cada cir- cunferencia existe una proporcionalidad 4. La medición en circunferencias y círculos
Son diversos los elementos que pueden ser medidos en una circunferencia y en un círculo. Vamos a agruparlos en los siguientes tipos de magnitudes: • longitudes de líneas curvas • longitudes de segmentos • amplitudes de ángulos • áreas de regiones planas
4.1. Longitud de la circunferencia y de un arco
En principio, la única manera de medir la longitud de una circunferencia consiste en “recti?carla”, es decir, transformarla en un segmento rectilíneo y aplicar ahí la regla o la escuadra para dar su medida exacta. O bien, abarcar con un hilo ?exible una circunferen- cia (por ejemplo, la de una rueda) y medir luego la longitud del hilo estirado.
A estos procedimientos iniciales podemos agregar una observación: la longitud de la circunferencia depende de la longitud de su diámetro; por ejemplo, a mayor diámetro, ma- yor longitud. Más aún, si medimos la longitud de una circunferencia de determinado diá- metro y después hacemos lo mismo con otra circunferencia cuyo diámetro sea el doble, el triple, la mitad, etc. de la inicial, veremos que la longitud de la segunda circunferencia es el doble, el triple, la mitad, etc., respectivamente, de la longitud de la primera.
Por consiguiente, hay algo que permanece constante en todas estas mediciones; no es la longitud de los diámetros o de las circunferencias, que varían de una a otra, sino la relación multiplicativa entre ambas magnitudes: la longitud de la circunferencia se obtie- ne siempre multiplicando la longitud de su diámetro por una cantidad constante. Esta cantidad constante se obtiene, pues, dividiendo la longitud de la circunferencia entre la longitud l del diámetro correspondiente; se trata de una razón.
Esta razón tiene un valor no exacto: 3,141592… y se designa con una letra griega: p (pi) [de él hablamos al ?nal del Cuaderno 11]. De modo que se establece la siguiente relación entre la longitud l de la circunferencia y la longitud d de su diámetro:
l = p x d
Conviene observar que p tiene in?nitas cifras decimales que no forman ningún perío- do, por lo que se considera como un número irracional. Por otro lado, como la longitud 14
2 rn p r p 2 = r = ? 360 360 360r 2pr 2p entre las medidas de los ángulos centrales y de los arcos correspondientes. Ahora bien, conocemos uno de estos pares de medidas correspondientes: A un ángulo central de 360o (un giro completo) le corresponde un arco cuya medida es la longitud de la cir- cunferencia, 2 x p x r.
A partir de aquí podemos recurrir a la técnica de la regla de tres para hallar la lon- gitud de un arco, conocido el ángulo cen- tral correspondiente; o para hallar la ampli- tud de este ángulo, conocida la longitud del arco correspondiente:
Longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de amplitud no:
l = 360 Amplitud de un ángulo central corres- pondiente a un arco de longitud l:
n = 360l 2pr Radio de una circunferencia, conoci- das la longitud l de un arco y la amplitud no del ángulo central correspondiente: 360l 360l n 2pn ¿Cuál es la longitud de la curva de la ?gura?
Como puede apreciarse se trata de tres semicircunferencias de un mismo radio. El diámetro mide 12 cm : 3 = 4 cm. La longi- tud de una semicircunferencia es de p x r = 2p cm. Por consiguiente, la curva mide 3 x 2p cm = 6p cm.
6. Calcule: a) la longitud de una circunferencia de 7 cm de diámetro b) el radio de una circunferencia cuya longitud es de 9p dm c) la longitud de un arco correspon- diente a un cuadrante en una circunferen- cia de 12 cm de diámetro d)laamplituddelángulocentralcorres- pondiente a un arco de p cm de longitud en una circunferencia de 4 cm de radio e) la longitud del radio de una circunfe- rencia si en ésta, a un arco de 2p/3 cm de longitud le corresponde un ángulo central de 60o En cualquier circunferencia, un arco muy singular es aquel cuya longitud coin- cide con la del radio correspondiente; un arco así se denomina radián. En seguida surgen varias preguntas:
¿Cuántas veces está contenido un ra- dián en una circunferencia? Para contes- tarla, basta dividir la longitud de la circun- ferencia entre la de su radio: 2 x p x r / r = 2p veces. La longitud de cualquier circun- ferencia contiene 2p radianes.
¿Cuántos grados sexagesimales mide un radián, es decir, el ángulo central co- rrespondiente a un arco de medida equi- valente a la del radio de la circunferencia? Para averiguarlo establecemos una regla de tres sencilla:
de donde: x= = = = 57,3o 6,2832… aproximadamente.
Finalmente, puede establecerse el si- guiente cuadro de pares de valores de las amplitudes de algunos ángulos centrales (en grados) y las longitudes (en radianes) de los arcos correspondientes:
15
B 4.2. Longitudes de segmentos en una circunferencia
Como acabamos de ver, la longitud del radio (y, por consiguiente, del diámetro) de una circunferencia puede obtenerse a partir de la longitud de ésta; y también de la re- lación entre la longitud de un arco y la am- plitud del ángulo central correspondiente. Pero también puede relacionarse con otros elementos presentes en una circunferencia, como comprobaremos a continuación.
Puede resultar de interés calcular la lon- gitud de una cuerda. Para ello necesitamos ubicarla dentro de alguna ?gura con ele- mentos conocidos. Por ejemplo, en la ?gura de la izquierda se presenta acompañada de los dos radios que llegan a sus extremos A y 16 B. El triángulo ? AOB es isósceles, pero aun conocido el valor del radio, nada nos dice de cómo obtener la longitud de la cuerda.
Por otro lado, si conocemos el radio y la medida del ángulo central, es posible hallar la longitud de la cuerda, pero este cálculo se apoya en conocimientos (trigonometría) que no están todavía a nuestro alcance. Lo que sí se presenta como sugerente es el triángulo rectángulo ? MOB en la ?gura de la derecha. Este triángulo aparece cuan- do se traza el radio OD perpendicular a la cuerda AB en su punto medio M. Observa- mos que el segmento MD es la sagita co- rrespondiente a la cuerda AB.
En este triángulo, si designamos con s a la sagita, con c a la semicuerda MB, y con r al radio OB, vemos que el segmento OM equivale a r – s y podemos aplicar la relación pitagórica: c2 = r2 – (r – s)2, que puede resultar de interés en algún proble- ma particular. Lo que sí queda claro es que existe una relación entre las longitudes de una cuerda, de la sagita correspondiente y del radio de la circunferencia. Conocidos dos de esos valores, es posible hallar el ter- cero.
Determine la longitud de la sagita de una circunferencia cuya longitud mide 10p cm, si la cuerda correspondiente a la sagita mide 6 cm.
Si la longitud de la circunferencia es de 10p cm, el radio mide 5 cm. Ahora estamos en condiciones de aplicar la relación c2 = r2 – (r – s)2, de donde deducimos (r – s)2 = r2 – c2; conocemos r = 5 cm y la semicuerda c = 3 cm. Por consiguiente, (5 – s)2 = 25 – 9 = 16 cm2. De aquí, 5 – s = 4 cm, lo que nos lleva a s = 1 cm.
En la ?gura, BC es una cuerda que está contenida en la mediatriz del radio OA. Si el radio mide 2 cm, ¿cuánto mide la cuerda BC?
A
C El segmento que va desde O al pun- to medio M del radio OA mide 1 cm; y el segmento (radio) OB mide 2 cm. Se forma
17 así un triángulo rectángulo de hipotenusa OB y catetos OM y BM, en el que podemos aplicar la relación pitagórica: BM2 = OB2 – OM2, es decir, BM2 = 4 – 1 = 3. De aquí, BM = 3 cm y BC = 2 3 cm.
En la ?gura, C es el punto medio del radio DM, que mide 10 cm. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC del rectángulo ABCD?
Se observa que la diagonal AC forma parte del triángulo rectángulo ADC. Pero en este triángulo sólo conocemos uno de los lados, DC, y así no podemos utilizar la relación pitagórica.
Lo que sí podemos es observar que la diagonal AC es congruente con la diagonal BD, que es un radio de la circunferencia. Por consiguiente, AC mide 10 cm.
4.3. Medidas de ángulos en una circunferencia
En la sección 2.4. presentamos la variedad de ángulos que pueden considerarse en una circunferencia; ahora vamos a establecer su medida.
La medida de un ángulo central puede obtenerse directamente con un transportador; también hemos visto que puede deducirse de la medida de la longitud de un arco, si ésta es conocida. A veces suele darse la medida de un arco en grados; cuando esto ocurre se quiere decir que esa es realmente la medida del ángulo central que abarca ese arco. B C Vamos a sustituir en esta igualdad los valo- res de los dos últimos ángulos: 360o = 
B semicircunferen- A E D A A cir, la medida P Como su- respectivamente. Pero la suma de estos dos arcos nos da la circunferencia completa, es decir, 360o. Por consiguiente, la suma de las medidas de los ángulos < DCB, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco DB; < DCB, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco DB; < DCB, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco DB; < ABC, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco AC.
Por consiguiente, se establece una re- lación de proporcionalidad entre sus lados correspondientes: AO = OD . Y aplicando CO OB la relación fundamental de las proporcio- nes (Cuaderno 11), llegamos a: AO x OB = CO x OD.
Demuestre que la medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la semi- diferencia de las medidas de los arcos (en grados) que las secantes que forman los la- dos del ángulo determinan en la circunfe- rencia. Es de- B del < DCB, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco DB; < ABC, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco AC.
Por consiguiente, se establece una re- lación de proporcionalidad entre sus lados correspondientes: AO = OD . Y aplicando CO OB la relación fundamental de las proporcio- nes (Cuaderno 11), llegamos a: AO x OB = CO x OD.
Demuestre que la medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la semi- diferencia de las medidas de los arcos (en grados) que las secantes que forman los la- dos del ángulo determinan en la circunfe- rencia. Es de- B del < ABC, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco AC.
Por consiguiente, se establece una re- lación de proporcionalidad entre sus lados correspondientes: AO = OD . Y aplicando CO OB la relación fundamental de las proporcio- nes (Cuaderno 11), llegamos a: AO x OB = CO x OD.
Demuestre que la medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la semi- diferencia de las medidas de los arcos (en grados) que las secantes que forman los la- dos del ángulo determinan en la circunfe- rencia. Es de- B del < ABC, porque están inscritos en la circunferencia y abarcan el mismo arco AC.
Por consiguiente, se establece una re- lación de proporcionalidad entre sus lados correspondientes: AO = OD . Y aplicando CO OB la relación fundamental de las proporcio- nes (Cuaderno 11), llegamos a: AO x OB = CO x OD.
Demuestre que la medida de un ángulo exterior a una circunferencia es la semi- diferencia de las medidas de los arcos (en grados) que las secantes que forman los la- dos del ángulo determinan en la circunfe- rencia. Es de- B del
P A las cuerdas AD y BC y proceda de una ma- nera similar a la de la demostración referen- te a la medida de un ángulo interior a una circunferencia.
Con referencia a la misma ?gura del pro- blema anterior, si AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que al prolongarse se cortan externamente en un punto P, de- muestre la siguiente igualdad de productos de longitudes de segmentos: PA x PB = PC x PD. Puede seguir las sugerencias propues- tas en los dos problemas anteriores; en par- ticular, trate de establecer la semejanza de los triángulos ? PAD y ? PBC.
En la ?gura, AB es un diámetro que mide 10 cm. Si CB mide 5 cm, ¿cuánto mide el
360 A p x r2 A r A r A 360 360 360 2 = ? = ? = 360 2 2 rl l r n r p p 2 r p A x = = = fórmula n = . r p 2n r p dos, tenemos: = 40o. n= Amplitud de un ángulo central co- rrespondiente a un sector circular de área A: n = pr 2
Radio de una circunferencia, conoci- dos el área A de un sector circular y la amplitud no del ángulo central corres- pondiente:
n np np
Hay otra fórmula que nos permite hallar el área de un sector circular en función de la longitud del arco que abarca; para ello, sustituimos en la fórmula anterior de A el valor de n obtenido en el punto 4.1., con lo que llegamos a:
360 360 2 Así, la fórmula del área de un sector cir- cular es similar a la del área de un triángulo: es la mitad del producto de su “base” (el arco de circunferencia) por su “altura” (el radio).
El área de un sector circular es 4p u2. Si el radio mide 6 u, ¿cuánto mide el ángulo central correspondiente? Podemos aplicar directamente la 360 A 2 Sustituyendo en ella los valores conoci- 360 x4p 36p 4.4. Área del círculo y de algunas de sus regiones
Para aproximarnos al cálculo del área de un círculo, podemos seguir de nuevo el camino de los griegos. En la sección 1 habíamos de?nido la circunferencia como la “línea obtenida como límite de la sucesión de polígonos regulares, cuando el número de lados de estos últimos tiende a in?nito”. El área del círculo será “el límite de las áreas de los polígonos regulares, cuando el número de lados de estos últimos tiende a in?nito”.
Pero en el Cuaderno 14 establecimos que el área de un polígono regular viene dada por el producto del semiperímetro por la apotema. Llevando estos polígonos al límite, el semiperímetro se convierte en la mitad de la longitud de la circunferencia (p x r), y la apo- tema, en el radio r de esta última. Así, el área del círculo será: A = p x r x r; es decir:
A = p x r2
Uno de los problemas matemáticos más famosos de la antigüedad fue el de la cua- dratura del círculo, es decir, el intento de encontrar, utilizando sólo regla y compás, el lado de un cuadrado cuya área fuera exactamente la misma que la del círculo. Sólo a ?- nales del siglo XIX se llegó a la convicción de que este problema no se podía resolver de la manera en que fue planteado, es decir, usando sólo regla y compás. En este sentido, el círculo no se puede “cuadrar”; hay metros “cuadrados”, no metros “redondos”…
Nos queda solamente el vuelo de la imaginación para preguntar con Neruda, “¿qué distancia en metros redondos hay entre el sol y las naranjas?”.
Para obtener el área de un sector circular, podemos razonar de la misma manera a como lo hicimos para calcular la longitud de un arco de circunferencia: existe una rela- ción de proporcionalidad directa entre la amplitud del ángulo central que de?ne el sector y el área de éste. Y como disponemos de una referencia conocida (a un ángulo central de 360o le corresponde el área del círculo), podemos establecer una regla de tres:
Amplitud ángulo central Área del sector circular 360o p x r2 no A
Área de un sector circular correspondiente a un ángulo central de amplitud no:
A = 360
20
9. En un círculo de radio 9 cm, halle el área de un sector circular cuyo ángulo cen- tral mide 60o.
Si dividimos un círculo en seis sectores circulares congruentes, podemos reacomo- darlos de la siguiente forma (el área no va- ría…):
Se obtiene una “especie” de rectángulo, cuya base curva mide p x r (la longitud de una semicircunferencia) y cuya altura mide permanentemente r. El área de esta ?gura, como “rectángulo”, sería: A = p x r2.
Y si lográramos “enderezar” la línea de la circunferencia, podríamos construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran r y 2 x p x r, respectivamente. El área del cír- culo coincidiría con la de este triángulo: p x r2. He aquí dos visualizaciones del cálculo del área de un círculo.
Por su parte, el área de un segmento circular se obtiene como diferencia de las áreas del sector circular correspondiente y del triángulo isósceles formado por los dos radios que limitan el sector, y la cuerda que limita el segmento. El área de una corona circular se ob- tiene también como diferencia de las áreas de los círculos que la constituyen. Si deno- minamos R al radio del círculo externo, y r al del círculo interno, el área de la corona será: Ac = p x R2 – p x r2 = p x (R2 – r2).
En la fórmula anterior aparece el factor R2 – r2. Si nos remitimos al Cuaderno 6, ve- mos que esta expresión puede descompo- nerse en un producto: R2 – r2 = (R + r) x (R – r). De esta forma, nos queda: Ac = p x (R2 – r2) = p x (R + r) x (R – r); y de aquí: Ac = (p x R + p x r) x (R – r); y multiplicando y dividiendo por 2 el primer paréntesis: Ac = 1/2 x 2 x (p x R + p x r) x (R – r). Con lo que llegamos a esta expresión del área de una corona circular:
Ac = ½ x (2 x p x R + 2 x p x r) x (R – r).
Si comparamos esta expresión con la del área de un trapecio: A = ½ x (B + b) x h, podemos percibir que ambas tienen la mis- ma forma; así descubrimos que una corona circular “funciona” como un trapecio cuya base mayor es la circunferencia externa, su base menor es la circunferencia interna, y su altura es la distancia entre ambas circun- ferencias.
Dos circunferencias concéntricas miden 10p y 16p cm, respectivamente. Halle el área de la corona circular correspondiente.
Los radios de ambas circunferencias son, respectivamente, 5 y 8 cm. Por consi- guiente, el área de la corona será: A = p x (64 – 25) cm2, es decir, 39p cm2. Finalmente, el área de un trapecio cir- cular correspondiente a un ángulo central de amplitud no se obtiene aplicando al caso de la corona circular el criterio de propor- cionalidad considerado al hallar la longitud de un arco y el área de un sector circular (plantee la regla de tres correspondiente).
Si la longitud del radio de un círculo aumenta en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
Supongamos que el radio mide 5 cm; un aumento del 100% signi?ca que su longi- tud se incrementa en 5 cm, con lo que pasa a medir 10 cm (el doble). Si el área al co- mienzo era de 25p cm2, ahora será de 100p cm2, es decir, se habrá cuadruplicado y su incremento será de 75p cm2 (el triple de lo que era antes); en otras palabras, habrá ex- perimentado un incremento del 300%. Este resultado es válido para cualquier valor del radio.
Halle el área de la región comprendida entre el cuadrado de lado 4a cm y la circun- ferencia cuyo radio mide a cm.
El área solicitada se obtiene por la dife- rencia de las áreas del cuadrado y del círcu- lodados.Esdecir, A = (4a)2 – p x a2 = 16a2 – p x a2 = (16 – p) x a2 cm2. En este resulta- do no in?uye la ubicación de la circunferencia en el interior del cuadrado. 21
Halle el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 8 cm.
Este es un caso parecido al del proble- ma anterior; el área solicitada se obtiene también por la diferencia de las áreas del cuadrado de 8 cm de lado y de un círculo de 4 cm de radio. Así, A = 64 cm2 – 16p cm2, es decir, A = (64 – 16p) cm2.
Halle el área de la región sombreada, si el ángulo central
11. A partir de la ?gura, calcule la ra- zón entre las áreas del cuadrado y del círculo, sabiendo que el radio de éste mide 20 cm. 12. Halle el área de la región som- breada, si el lado del triángulo equilátero mide 4 cm. 13. Determine si son iguales las áreas de las regiones sombreadas, en cada uno de los casos: a) b) 5. Otras construcciones en la circunferencia
Los polígonos regulares pueden considerarse inscritos en una circunferencia. El centro de ésta coincide con el del polígono regular, y su radio, con el segmento que va desde el centro del polígono a cualquiera de sus vértices.
En general, para construir un polígono regular de n lados, se van adosando alrededor del centro y con ayuda de un transportador, n ángulos centrales, de medida (360/n)o cada uno. Los puntos en que los lados de estos ángulos cortan a la circunferencia son los vértices del polígono regular; basta unirlos consecutivamente para obtener el polí- gono deseado.
El método anterior puede no resultar muy exacto; si desea métodos más exactos para los polígonos regulares más usuales, puede visitar el sitio que se indica a conti- nuación: http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/poligonos/poredalacc.asp
También tienen cierto interés estético los llamados polígonos estrellados, cuya construcción, a partir de los polígonos regulares (con más de 4 lados) correspondientes, resulta más sencilla. En efecto, en lugar de unir los vértices consecutivos, se van tra- zando segmentos de dos en dos vértices, de tres en tres, etc. Si desea una visualización 23
bre K a cualquier punto próximo A’ (B’), cada. animada de esta construcción, puede visitar el sitio que se indica a continuación: http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/poligonos_estrellados/Indice.htm
Construya un triángulo rectángulo, conocida la medida de la hipotenusa.
Tomando en cuenta que todo ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia es un ángulo recto, basta con trazar una circunferencia cuyo radio mida la mitad de la longitud de la hipotenusa y trazar un diámetro cualquiera; ésta será la hipotenusa; y los segmentos que unan sus extremos con cualquier otro punto de la circunferencia, sus catetos. Eviden- temente, podemos construir in?nitos triángulos rectángulos de hipotenusa dada.
Construya un triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo y el radio de la circunferen- cia circunscrita.
De acuerdo con el resultado anterior, cualquier diámetro de la circunferencia coincide con la hipotenusa. Basta con trasladar el ángulo agudo a uno de sus extremos; el punto en que el lado del ángulo corte a la circunferencia será el vértice del ángulo recto.
Trace una tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ésta.
Sea K la circunferencia de centro O y sea P un punto exterior a ella. Una tangente desde P a K (en realidad se pueden trazar dos tangentes) tiene que ser perpendicular a un radio de K en el punto de tangencia. Para conseguir esta perpendicularidad, construi- mos el segmento OP y hallamos su punto medio C. Con centro en C y radio CO se traza una circunferencia. Si A y B son los puntos de intersección con K, los ángulos 
m : n . € El diámetro de un círculo es igual al radio de un segundo círculo. Encuentre la razón entre sus áreas.
Si el radio del primer círculo es r, el del segundo es 2 x r. El área de este cír- culo es p x (2 x r)2 = 4 x p x r2; y como el área del primer círculo es p x r2, la razón entre ambas áreas es 1 : 4. En general, si la razón entre los radios es 1: n, entre las áreas es 1 : n2; y si es a : b, la razón entre las áreas es a2 : b2. Recíprocamente, si la razón entre las áreas de dos círculos es m : n, la razón entre sus radios (y entre sus diámetros) será
Demuestre que el área de un anillo cir- cular es igual al área de un círculo cuyo diámetro es una cuerda de la circunferen- cia exterior que es tangente a la circunfe- rencia interior.
En la ?gura se muestran ambas circun- ferencias; sea R el radio de la mayor y r el de la menor. El área del anillo circular es: A = p x (R2 – r2). La cuerda AB satisface la condición exigida en el enunciado; el radio OM de la circunferencia interior, trazado hasta el punto de tangencia M, es perpendicular a AB.
El ? OMB es, pues, rectángulo. La hi- potenusa MB mide R y el cateto OM, r. Aplicando la relación pitagórica: MB2 = R2 – r2. Por otro lado, el círculo cuyo diá- metro es AB tiene como radio a MB, y su área será: A = p x MB2 = p x (R2 – r2). Y ésta es, precisamente, la medida del área del anillo circular dado.
La ?gura muestra dos circunferencias tangentes interiormente en P; la circunfe- rencia interior pasa, además, por el cen- tro O de la exterior. Demuestre que toda cuerda de la circunferencia exterior traza- da desde P mide el doble que la cuerda que se forma en la circunferencia interior.
En la ?gura se ha trazado la cuerda MP, que determina la cuerda CP en la cir- cunferencia interior. Se trata de demostrar que MP = 2 x CP. Una vía para ello puede consistir en hacer ver que MC = CP. Pero si queremos llegar a esta igualdad, tenemos que con- siderar ambos segmentos como formando parte de dos triángulos congruentes. Con ese ?n construimos los segmentos OP, OM y OC. En principio, OM y OP son radios de la circunferencia exterior, es decir, OM = OP. Pero, además (y aquí está la clave de la demostración), OP es un diámetro de la circunferencia interior (¿por qué?). Por consiguiente, el < OCP es recto.
De ahí se sigue que los ? OMC y ? OPC son congruentes, ya que: < OMP = < OPM por ser isósceles el ? OMP; < OCM = < OCP por ser ambos rectos; < COM = < COP por las congruencias anteriores; y OC es un lado común a ambos triángulos. Por consiguiente, MC = CP, de donde se sigue que MP = 2 x CP.
Una máquina posee dos ruedas engra- nadas, tales que la razón entre sus radios es 1: 3. Cuando la rueda mayor da una vuelta en sentido contrario a las agujas de un reloj, ¿cuántas vueltas, y en qué senti- do, da la rueda menor?
La razón entre los radios puede escri- birse: R = 3 x r. Una vuelta de la rueda mayor (2 x p x R) equivale a 2 x p x 3 x r, es decir, 3 veces 2 x p x r; en otras palabras, 3 vueltas completas de la rueda menor. Eso, sí, en el sentido de las agujas del reloj.
Todas las ?guras que hemos conside- rado: circunferencia y círculo, sector, seg- mento, anillo y trapecio circulares, pre- sentan simetría axial. La circunferencia, el 25
círculo y el anillo circular poseen in?nitos ejes de simetría (cualquier diámetro); las demás ?guras, uno solo.
Revise las ?guras que aparecen en los problemas resueltos y propuestos en el punto 4.4. y determine los posibles ejes de simetría de cada una de ellas.
Nuestro Guerrero del cuento se cansó de nadar (cinco problemas atrás). Ahora tiene que atravesar, desde la orilla A a la B y sin mojarse, este río de 10 m de ancho, y sólo dispone de dos tablas de 9 m de largo cada una. ¿Se le ocurre alguna sugerencia al respecto? Construya un triángulo rectángulo co- nocida la medida de un ángulo agudo y del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Inscriba un cuadrilátero cualquiera en una circunferencia. Trace las mediatrices de sus cuatro lados y de sus dos diagona- les, y observe qué ocurre. 26 Construya una circunferencia tan- gente a dos rectas (paralelas o secantes), dado un punto de tangencia en una de las dos rectas. 14. La Tierra se encuentra aproximadamente a 149 millones de kilómetros del Sol. Suponga que la órbita de la Tierra, en su movimiento de traslación, es circular. En estas condiciones, ¿cuánto avanza la Tierra, aproximadamente, a lo largo de su órbita en cada segundo? [Considere p = 3,1416 y el año de 365 días].
7. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
Construya una circunferencia concéntrica a otra dada, cuyo radio mida la mitad del de la circunferencia dada.
15. ¿Qué ?gura sigue en la siguiente 16. En la ?gura, P y Q son los cen- secuencia? tros de dos circunferencias tangentes. El rectángulo ABCD es tangente a la cir- cunferencia mayor en B y T. Si el área del rectángulo mide 15 cm2, ¿cuánto mide el área del ? PQT? Construya una circunferencia tangente a dos rectas secantes, dado su radio.
Construya una circunferencia tangente interiormente a otra en un punto dado y
27 21. Se ha trazado en un círculo de ra- dio r un sector circular con un ángulo cen- tral de no. En otro círculo de radio 2r se quiere construir otro sector circular de la misma área que el anterior; ¿qué amplitud tendrá el ángulo central de este segundo sector circular?
Construya un triángulo rectángulo isósceles conocida la medida del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Construya un triángulo rectángulo co- nocida la medida de un cateto y del radio de la circunferencia inscrita en el triángu- lo.
22. Dadas dos circunferencias con- céntricas, tales que el radio de la externa mide 12 cm, ¿cuánto medirá el radio de la circunferencia interna si el área de la coro- na circular mide las tres cuartas partes del área del círculo mayor? A B que pase por el centro de la circunferen- cia externa.
Dadas las medidas de la hipotenusa y de un cateto, construya el triángulo rec- tángulo correspondiente.
17. Halle la longitud de una cuerda en una circunferencia cuyo diámetro mide 12 cm, si la sagita correspondiente a la cuer- da mide la mitad del radio.
18. ¿Qué es mayor, el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 1,5 dm, o la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 1 dm? 19. Si el 
28 Referencias electrónicas
– López L., B. (2004). Construcciones de polígonos regulares dada la circunferencia circunscrita. Disponible en: http://www.dibujotecnico.com/salade- estudios/teoria/gplana/poligonos/poreda- lacc.asp
– Muñoz N., A. (2001). Polígonos estre- llados y algoritmos. Madrid: MEC. Dispo- nible en: http://descartes.cnice.mecd.es/taller_ de_matematicas/poligonos_estrellados/In- dice.htm 
29 Respuestas de los ejercicios propuestos
1. Son paralelas 2. Son perpendiculares 3. Son los extremos de una diagonal 4. No. Ambas circunferencias coinciden 5. 17 puntos 6. a) 7p cm; b) 4,5 dm; c) 3p cm; d) 45o; e) 2 cm 7. 40o 8. 27o 9. (27/2) p cm 10. a) 36p cm2; b) (8p – 16) cm2 11. 1 : 2p 12. (4
3 – 2p) cm2 13. a) Si; b) si 14. Casi 30 km 15. De afuera hacia dentro: un triángulo equilá- tero, un cuadrado, un rombo, una circunferencia 18. La longitud 19. 80o 20. 16. 15/4 cm2 17. 2 27 cm de la circunferencia (6,28 dm) 160o 21. (n/4)o 22. 6 cm 
30 Postdata: El número p, otro fenómeno Nos hemos encontrado con el número p como la razón de la longitud de la circunfe- rencia y la de su diámetro. Podemos hacer dos acotaciones en torno a p. La primera se re?ere a su valor; la segunda, a las posibles vías para hallar este último.
El valor asignado a este extraño número ha variado con el pasar del tiempo. Así, en la 1 8 antigua Babilonia se le asignaba el valor 3 entre los egipcios (unos 2.000 años a. C.), 4 – (8/9)2. En la Biblia (500 años a. C.), el valor 3; también 500 años a. C., un astrónomo chino, Tsu Chung Chi, aproximó su valor a 355/113; dos siglos más tarde, Arquímedes 10 71 estableció que se encontraba entre 3 + 1 7 y 3 + . La serie de aproximaciones es muy larga y la preocupación siempre fue la de dar el mayor número de decimales exactos. Pues bien, en 1995, en la Universidad de Tokio y con ayuda de una computadora lograron calcular el valor de p con… 4.294.960.000 deci- males exactos. ¿No nos suena esto como algo parecido a la búsqueda del mayor número primo de la que hablamos en el Cuaderno 8?
La segunda cuestión es cómo se halla el valor de este número. Evidentemente, no se procede a dividir la longitud de una circunferencia entre la de su diámetro… Hay otras vías, porque el número p aparece sorpresivamente en muchos rincones de la matemática.
3 5 7 9 11 13 agregando términos a esta suma; y si vamos haciendo los cálculos paso a paso obtene- mos: 
31 Y así inde?nidamente. Ya en esos primeros términos de la serie de la derecha se ob- serva que los valores obtenidos están unos por encima (los impares) y otros por debajo (los pares) de algún valor intermedio, que debe valer algo más que 3. ¿Preparados para la sorpresa? Ese valor intermedio al que nos vamos acercando poco a poco es ¡p! Y si vamos avanzando en los cálculos anteriores, agregando las fracciones sucesivas, llegaremos a ver que tanto los resultados que van disminuyendo (los impares: 4; 3,46; etc.) como los que van aumentando 2,6; 2,8952380; etc.), a partir de cierto momento empiezan a tener los primeros decimales iguales: 141592…
Pues bien, esta es una manera de ir obteniendo decimales “exactos” de p: los que com- parten los términos que van aumentando con los que van disminuyendo. Y esta manera se la debemos al matemático alemán Leibniz (1646-1716), quien estableció la igualdad:
– + – + 4 3 5 7 9 11 13 Claro que después se han establecido otras formas de obtener p, más “rápidas” que la de Leibniz que, en rigor, es muy lenta. Si algún(a) lector(a) siente curiosidad por el tema, puede entrar en cualquier buscador de Internet y preguntar por la “historia del número pi”…
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