Resolución de problemas mediante búsqueda (Presentación PowerPoint) (página 2)

Resolución mediante búsqueda

Ejercicio Problema del 8-puzzle Estados? Operadores? Coste del camino? Objetivo? Puzzle con 8 piezas, hay que llegar del estado inicial al objetivo, moviendo el hueco. Estado inicial?

Ejercicio Problema de las N reinas Estados? Operadores? Coste del camino? Tablero con N reinas o damas. Encontrar configuración de las damas no enfrentadas entre si Objetivo? Es esto una solución? No, se amenazan Estado inicial?

Ejemplos, I Problema del 8-puzzle Estados: posiciones de las piezas y hueco (setf *estado0* ‘((0 5)(1 4)(2 nil) (3 6)(4 1)(5 8) (6 7) (7 3) (8 2)) Operadores: HuecoA: Dcha – Izda – Arriba – Abajo Objetivo: (ver gráfico anterior) Coste operadores: 1 Problema de las 8 reinas (en general de las N reinas/damas): Coste operadores: 1 (el camino solución siempre tiene coste 8). Posible representación (1): estado: N reinas en el tablero operadores: añadir una reina a una posición vacía. Posible representación (2): estado: N reinas en el tablero (no atacándose). Operadores: añadir una reina en la columna vacía más a la izquierda tal que no sea atacada por ninguna de las ya existentes. Menos operadores que en la representación (1)

Ejemplos, II Problemas de Criptoaritmética

Estados: algunas letras sustituidas por dígitos. Operadores: sustituir una letra por un dígito que no aparece ya dentro del estado. La solución se encuentra a profundidad conocida. Todas las soluciones son igualmente válidas luego el coste del camino es 0

FORTY + TEN TEN —— SIXTY

29786 + 850 850 —— 31486

Ejemplos, III Misioneros y caníbales Hay 3 misioneros y 3 caníbales en la orilla izquierda de un río. Un bote puede transportar a 1 ó 2 personas de una orilla a otra. Objetivo: pasar a todos a la otra orilla. Condición: No puede ocurrir nunca que si en una orilla hay algún misionero haya a la vez un número mayor de caníbales (se los comerían). Estados: Parámetros: número misioneros lado izquierdo, número caníbales lado izquierdo, posición bote (izquierda o derecha). Se debe verificar la Condición. Operadores: Transportar 1 misionero. Transportar 1 caníbal. Transportar 2 misioneros. Transportar 2 caníbales. Transportar 1 misionero y 1 caníbal. Coste operador: 1

Ejemplos, IV Otros ejemplos (más reales): Problema de mapa de carreteras. Viajar de una ciudad a otra recorriendo la menor distancia posible. Problema del viajante de comercio Un viajante debe viajar recorriendo un conjunto de ciudades. Debe partir de una ciudad inicial y, tras recorrer todas las ciudades, volver a la ciudad de inicio. Problema clásico: debe visitar exactamente 1 vez todas las ciudades (excepto la de inicio que la visita 2 veces). Problemas de Diseño de circuitos. Navegación de robots. Montaje mecánico de robots. Planificación de toma de imágenes (telescopio Hubble).

Búsqueda en árboles, I Representación de un nodo: Estado: elemento del espacio de estados que corresponde con el nodo. Nodo padre: el nodo en el árbol de búsqueda que ha generado este nodo. Acción/Operador: operador que se aplicó al padre para generar este nodo. Coste del camino: el coste desde el nodo inicial. Denotado por g(n). Profundidad en el árbol de búsqueda: número de pasos a lo largo del camino desde el nodo inicial. Distinguir los conceptos: Espacio de estados: Finito Árbol de nodos: se genera Finito o infinito Ejemplo: mapa de carreteras

Búsqueda en árboles, II Algoritmo de búsqueda en árboles (descripción informal):

funcion búsqueda-árboles (problema, estrategia) devuelve una solución o fallo inicializa árbol de búsqueda con estado inicial bucle hacer si no hay candidatos para expandir, entonces devolver fallo en otro caso escoger, según estrategia, nodo para expandir si el nodo es objetivo (contiene estado objetivo) entonces devolver solución en otro caso expandir nodo añadir nodos resultantes al árbol

Búsqueda no informada vs búsqueda informada Búsqueda no informada o ciega: Sólo usan la información de la definición del problema.

Estrategias: Búsqueda primero en anchura. Búsqueda primero en profundidad. Búsqueda limitada en profundidad. Búsqueda iterativa en profundidad. Búsqueda bidireccional. Búsqueda informada o heurística: Usan la información de definición del problema y el coste del estado actual al objetivo. Estrategias: Best first Búsqueda Avara A* IDA* Mejora iterativa

Estrategias de búsqueda ciega, I Criterios de evaluación de estrategias: Completitud (encontrar solución) Optimización (encontrar la mejor solución) Complejidad espacial (memoria necesaria) Complejidad temporal (tiempo necesario) Estrategias de búsqueda: Hipótesis: Todos los operadores tienen el mismo coste (por ejemplo 1). El factor de ramificación es siempre finito. Las complejidades temporal y espacial se miden en términos de: m = profundidad máxima del árbol de búsqueda (puede ser infinito) d = profundidad de la mejor solución (de la de menor coste) b = factor de ramificación (máximo nº de sucesores de cualquier nodo del árbol de búsqueda)

Estrategias de búsqueda ciega, II Búsqueda en anchura: Completo y óptimo Complejidad espacial = Complejidad temporal = número de nodos expandidos =

Número de nodos generados Para b=10, 1000 nodos/segundo, 100 bytes/nodo: d=2, 111 nodos, 0.1 seg., 11 Kb d=6, 1.000.000 nodos, 18 minutos, 111 Mb d=12, nodos, 35 años, 111 Tb Ejemplo: viajante de comercio

Estrategias de búsqueda ciega, III Búsqueda en profundidad: No es óptimo Puede encontrar un camino peor No es completo Puede no acabar Complejidad temporal = Complejidad espacial = número de nodos necesarios = un camino hasta una hoja y los hermanos de cada nodo del camino =

Ejemplo: viajante de comercio

Estrategias de búsqueda ciega, IV Búsqueda limitada en profundidad: Caso particular de Búsqueda en profundidad. Se utiliza un límite de profundidad (l) No es óptimo Puede encontrar un camino peor No es completo, en general, aunque: sí es completo cuando

Complejidad temporal =

Complejidad espacial = número de nodos necesarios = un camino hasta una hoja y los hermanos de cada nodo del camino =

Estrategias de búsqueda ciega,V Búsqueda iterativa en profundidad: Son búsquedas en profundidad con límites: 0, 1, 2, 3, 4, … Es óptimo y completo Complejidad espacial = Complejidad temporal número total de expansiones (los nodos con la profundidad de la mejor solución se expanden 1 vez; los siguientes 2 veces, los siguientes 3 veces, …) =

Método preferido cuando no se conoce la profundidad de la solución.

Búsqueda iterativa en profundidad (abstracción gráfica) Estrategias de búsqueda ciega, VI

Estrategias de búsqueda ciega, VII Búsqueda bidireccional: Buscar simultáneamente desde estado inicial hasta objetivo y viceversa hasta que ambas búsquedas “se encuentren”. Optimo y completo. Complejidad espacial y temporal:

Dificultades Cálculo de predecesores. Varios estados objetivo. Significado de “encontrarse las búsquedas”. Determinación del tipo de búsqueda en cada dirección. Ejemplo: viajante de comercio

Estrategias de búsqueda ciega, VIII Búsqueda de coste uniforme: Los resultados anteriores pueden no verificarse cuando los costes de los arcos son variables ? tener en cuenta costes Costes variables para los arcos pero:

Para un nodo n se define: g(n) = coste desde nodo inicial Se expande el nodo con menor valor de g Completo y óptimo Si todos los arcos tienen el mismo coste, se tiene búsqueda en anchura. Si todos los arcos tienen el mismo coste, g(n)=profundidad(n) Complejidad espacial y temporal =

Ejemplo: viajante de comercio

Estrategias de búsqueda ciega, IX Cuadro resumen:

Eliminación de estados repetidos, I La repetición de estados incrementa la complejidad de la estrategia de búsqueda Si la estrategia no los detecta (comparar el nodo a expandir con los ya expandidos), un problema resoluble puede llegar a ser irresoluble. Situación habitual en problemas de rutas y acciones reversibles Ejemplo: espacio con d+1 estados Para los d+1 estados (d es la profundidad máxima) El árbol de búsqueda contendrá 2d ramas. Poda.

Eliminación de estados repetidos, II Para evitar que se repitan estados, se pueden considerar tres métodos: No generar un nodo hijo de un nodo si los dos pertenecen al mismo estado Evitar ramas con ciclos (en un camino desde el nodo inicial, hay dos nodos que pertenecen el mismo estado) El método 2) incluye al 1) Si al generar un nodo, su estado asociado, ya ha sido generado por otro nodo, eliminar el nodo peor (y sus descendientes) del árbol de búsqueda El método 3) incluye al 2) y, por tanto, al 1) Este método es el más caro (hay que mantener todos los nodos en memoria). Estructuras de datos Listas cerradas (nodos expandidos) Listas abiertas (frontera de nodos no expandidos) Algoritmo general de búsqueda en grafos (Russell, 2nd. Ed., sec. 3.5)

Ejemplo Realizar búsqueda en anchura (eliminando estados repetidos) (suponemos costes=1):

Estado inicial: A estados objetivo: {G}

(Gp:) A (Gp:) B (Gp:) D (Gp:) C (Gp:) F (Gp:) G (Gp:) E

(Gp:) A (Gp:) B (Gp:) D (Gp:) C (Gp:) F (Gp:) G (Gp:) E (Gp:) 4 (Gp:) 3 (Gp:) 6 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 1 (Gp:) SOLUCIÓN

Problemas de satisfacción de restricciones, I Constraint Satisfaction Problems (CSP) Problema definido por: Un conjunto de variables cuyos valores están definidos en un dominio (finitos o infinito) Un conjunto de restricciones que involucran una o más variables del problema (ecuaciones lineales/no lineales) Los estados del problema que se definen mediante asignaciones variable – valor Una función objetivo que optimice la solución del CSP Estrategia de backtracking Búsqueda en profundidad Asigna valores a variables (una cada vez) Retrocede en el árbol cuando el dominio de asignación de una variable en el árbol es vacío Ejemplos Problema 8 damas. Criptoaritmética.

Problemas de satisfacción de restricciones, II Los problemas discretos (dominio finito) se pueden resolver utilizando búsqueda: Estado inicial: todas las variables sin asignar Profundidad máxima=número de variables=profundidad de todas las soluciones Se puede utilizar, por tanto, búsqueda en profundidad. Cardinal espacio búsqueda=producto de cardinales de los dominios de las variables Se puede hacer: Eliminación de ramas en donde alguna restricción no se satisface (backtracking) Propagación de restricciones, para reducir los posibles valores de las variables por asignar.

Otros ejemplos Problema del viajante de comercio NLP Problemas de análisis sintáctico Ejercicios de la hoja 3 Localización de una moneda falsa. Reconocimiento de cadenas de caracteres para una expresión regular. Etc.