Caracterización y estudio de difusores R.P.G

Caracterización y estudio de difusores R.P.G

1. Introducción

Se aborda el estudio de los difusores R.P.G.® ( Reflection Phase Grating ) Éstos elementos son dispositivos capaces, gracias a su forma y construcción, de provocar reflexiones difusas de las ondas acústicas que inciden sobre ellos aumentando con ello el grado de difusión de una sala, siendo éste uno de los parámetros más importantes a tener en cuenta en el diseño acústico de un recinto.

Se abordarán de forma sucinta los principales parámetros de diseño, los diferentes tipos de difusores que se construyen y se realizará a modo de ejemplo una simulación de difusión mediante un programa en Matlab.

2. Introducción a la teoría de difusores R.P.G®

Los difusores R.P.G.® son dispositivos que consisten en un grupo periódico de hendiduras de igual amplitud pero de diferentes profundidades, separadas por paredes rígidas pero muy estrechas.

Las profundidades de las rendijas se determinan a partir de secuencias matemáticas que tienen la propiedad de que la transformada de Fourier del factor de reflexión es constante.

El principio de funcionamiento de éste tipo de difusores está basado en el fenómeno de interferencia entre ondas sonoras. Cuando dos ondas se superponen, las presiones sonoras instantáneas respectivas se suman, si las ondas son iguales ( misma amplitud) y están en el mismo estado de vibración en cada instante de tiempo, la presión sonora se dobla, pero si ambas ondas tienen misma amplitud y signo diferente se cancelan, produciéndose una interferencia destructiva

Cuando una onda incide sobre una de las ranuras, ésta se propaga por su interior siguiendo un camino paralelo a las paredes de la ranura hasta alcanzar el fondo de la misma, en dicho instante, la onda se refleja y viaja en sentido contrario hasta alcanzar nuevamente el extremo superior. La fase de dicha onda depende del camino total recorrido por la misma en el interior de la ranura. Debido a que las ranuras tienen distintas profundidades, la fase de la señal asociada a cada una en el instante de la

reradiación será diferente, lo cual dará lugar a un fenómeno de interferencia entre todas las ondas que intervienen.

La distribución de la energía reflejada por el difusor en las diferentes direcciones del espacio dependerá del tipo de interferencia que tenga lugar, es decir, de la secuencia de valores de las profundidades de las ranuras.

3. Principales tipos de difusores R.P.G.®

Los tipos de difusores R.P.G. ® más relevantes son los siguientes:

Difusores MLS
Difusores QRD ®
Difusores anidados
Difusores PRD ®

3.1. Los difusores MLS.

Basados en unas secuencias pseudoaleatorias periódicas, denominadas de longitud máxima, que sólo pueden adquirir dos valores diferentes: -1 y +1.

Se crea partiendo de una superficie lisa y reflectante, la cual se subdivide en tramos de igual anchura. A cada tramo se le asigna un valor de la secuencia pseudoaleatoria, de acuerdo con el siguiente procedimiento:

Si el valor es -1, el tramo queda inalterado.
Si el valor es +1, se crea una ranura en el espacio ocupado por el tramo.

W= λ/2 → Anchura de cada tramo

D= λ/4 → Profundidad de cada tramo

Donde " λ “ es la longitud de onda correspondiente a la frecuencia de diseño del difusor.

El margen de frecuencias para la cual la difusión es óptima es únicamente del orden de una octava.

Este tipo de difusores presenta una menor absorción a bajas frecuencias que los difusores QRD ® y PRD ®.

3.2. Los difusores QRD ®.

Existen dos tipos de difusores de residuos cuadrados, los unidimensionales y los bidimensionales.

Unidimensionales

Son los más utilizados a nivel práctico, consisten en una serie de ranuras paralelas de forma rectangular, de igual anchura y de diferente profundidad. Por lo general, dichas ranuras están separadas por unos divisores delgados y rígidos.

La profundidad de cada ranura se obtiene a partir de una secuencia matemática prefijada dando lugar a estructuras repetitivas ( periódicas), que producen en un

determinado margen de frecuencias una dispersión del sonido o difusión en planos perpendiculares a dicha ranura.

La secuencia se obtiene a partir de la siguiente expresión:

Donde:

p: nº primo

n: nº entero que va desde 0 a p-1

mod: indica que cada valor de se obtiene como el resto del cociente entre y p.

Parámetros de diseño:

:Máxima frecuencia para la cual se desea una óptima difusión.
: Frecuencia de diseño y mínima para la cual se desea óptima difusión.
: Orden de difusión, nº entero.
: nº de direcciones para las cuales la energía reflejada tiene el mismo valor.

: Anchura de las ranuras

Cuanto mayor sea el valor de , más estrechas deberán hacerse las ranuras.

En cuanto al valor de T ( espesor de los divisores en mm), debe ser lo menor posible.

: Para que la difusión sea óptima para una incidencia rasante.

: nº de ranuras por periodo

Para un determinado margen de frecuencias, el hecho de aumentar " p " produce un aumento del grado de difusión .

Por otro lado, p debe ser un nº primo, si su valor no coincidiese, el valor elegido de p deberá ser el del nº primo más próximo y superior.

: profundidad de las ranuras

: máxima profundidad.

Se logra una óptima difusión del sonido dentro de un determinado margen de frecuencias. La frecuencia más elevada para la cual se produce difusión del sonido aumenta a medida que la anchura de las ranuras disminuye, en tanto que la mínima frecuencia disminuye a medida que aumenta la máxima profundidad.

Margen útil de frecuencias:

De todas formas existe un límite al valor máximo de dicha relación, puesto que las ranuras estrechas y muy profundas producen un exceso de absorción acústica. Dicho límite lleva a que, en la práctica, el margen útil de frecuencias quede restringido a prácticamente 3 octavas, es decir:

Fuera de dicho margen, el difusor tiende a comportarse como una superficie plana, dando lugar a reflexiones prácticamente planas.

En la siguiente figura podemos observar un modelo de difusor QRD ® , presentado por la casa R.P.G Diffusor Systems, Inc.

Fig.1. Modelo QRD® 734

Bidimensionales

Aparecen con el objetivo de obtener una óptima difusión del sonido incidente en todas las direcciones del espacio

En este tipo de difusores las ranuras son sustituidas por pozos dispuestos en paralelo, de profundidad variable, y de forma generalmente cuadrada.

Las expresiones a utilizar son iguales que las correspondientes a los difusores unidimensionales con la salvedad de que la secuencia de profundidades se obtiene a partir de la siguiente expresión:

Observemos un modelo de difusor QRD® bidimensional del catálogo de la empresa R.P.G Diffusor Systems, Inc.

Fig. 2. Modelo Omniffusor™

3.3. Difusores anidados.

El ancho de banda de los difusores QRD®, como hemos visto, está limitado en las altas frecuencias, por la anchura de las hendiduras practicadas y en las bajas frecuencias por la profundidad máxima de las mismas. Por lo que un difusor que nos pudiese ofrecer una cobertura espectral verdaderamente amplia se hace necesario. La solución puede ser el uso de difusores anidados.

En la siguiente figura observamos el modelo Diffractal® , modelo más simple de difusores anidados. En el que podemos observar cómo en el interior de cada una de las hendiduras que forman el difusor se encuentran a escala otros difusores, cada uno de ellos diseñado para cubrir una determinada frecuencia:

Fig3. Modelo Diffractal ®

La filosofía consiste en anidar difusores a escala de manera que cada uno de ellos cubra un rango específico de frecuencias y obtener así un rango de cobertura más amplio evitando además los efectos de " lobing ". Cada difusor nos proporciona una difracción uniforme sobre un rango específico de frecuencias de manera que el ancho de banda efectivo se amplía.

En la siguiente figura podemos observar la filosofía de éste tipo de difusores y distintos modelos que la casa R.P.G Diffusor Systems, Inc. tiene en catálogo:

Observamos los modelos Diffractal ® (DFR72) ( modelo Difractal de 2ª generación ) compuesto por dos difusores QRD ® anidados y el modelo Diffractal® (DFR73) compuesto por tres, ofreciendo en éste caso una difusión espectral tanto a baja, media como a alta frecuencia, obteniendo un ancho de banda muy extenso limitado únicamente a la profundidad de las hendiduras que tengamos disponibilidad .

3.4. Los difusores PRD. ®

son análogos a los difusores unidimensionales PRD ®, con la única diferencia de que la profundidad para cada ranura se obtiene a partir de la siguiente secuencia generadora:

Donde se obtiene como el resto de la división de entre p.

A diferencia de lo que sucede con los difusores QRD ®, no existe simetría dentro de cada periodo.

La reflexión especular que producen es prácticamente nula, por lo que los hace aconsejables como canceladores de ruido.

4. Diseño de un difusor R.P.G.® ( tipo QRD® )

Para diseñar un difusor R.P.G ® unidimensional ( QRD ® ), dos procedimientos suelen ser los más usados:

Procedimiento nº 1.

Se fija la frecuencia máxima para la cual se desea una óptima difusión, , la frecuencia de diseño ( la mínima ), , y el orden o grado de difusión a la frecuencia , .
Una vez fijados éstos parámetros, se procede a determinar los restantes:
- La anchura de las ranuras, W
- El nº de renuras por periodo, p.
- La profundidad de las ranuras,

Ejemplo de diseño 1:

Determinemos = 1000 Hz. y que sea lo más pequeño posible como condiciones de diseño.

Sabemos que el margen de uso de estos difusores es de 8 octavas aproximadamente, por lo tanto es fácil deducir la siguiente expresión:

Para adecuarla al margen de uso.

Sabemos que el nº de lóbulos es:

Con un nº de 5 lóbulos ya dispersa de forma suficiente, por ello elegiremos

W+T

T suele oscilar entre 1,5 y 5 mm.

Seguimos diseñando, ahora:

Determinado por nosotros por factores de construcción y diseño.

Al no ser un nº primo, buscamos el más cercano y superior a 37

Hasta 37 valores.

Por fin ya podemos averiguar los distintos valores para cada profundidad:

[ 0, 0,0371, 0,1483, ……]

De los resultados que obtenemos, extraémos el de la máxima profundidad:

Lo cual, a no ser que tengamos mucho espacio nos hace inviable el diseño.

Procedimiento nº 2.

Se fija la frecuencia máxima para la cual se desea una óptima difusión, , se obtiene la mínima frecuencia de diseño posible, y se parte de un valor prefijado de la máxima profundidad de las ranuras,.
Una vez fijados los parámetros anteriores, se determina la anchura de las ranuras, W.
En nº de ranuras por periodo, p

Ejemplo de diseño 2.

Fijemos = 0,5 m

Éste parámetro no cambia de valor.

Sabemos que

Entonces: y por tanto

Como deseamos la lo más baja posible, obligamos al factor a ser lo más reducido posible, y eso lo conseguiremos con valores de p=7 ó 23.

En este caso elegimos el valor 7 por ser el más usado normalmente y por ser más manejable para el ejemplo:

[ 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 ],

Finalmente:

Por lo que ya estamos en disposición de calcular la secuencia de profundidades:

Expresión que nos proporcionará cada una de las 7 secuencias de profundidades según

5. Simulación de difusores R.P.G ®

La aplicación informática usada en el laboratorio nos va a permitir simular distintos tipos de difusores y se ejecuta desde matlab mediante las siguientes instrucciones:

cd ( espacio)

cd ( espacio)..

dir

cd dar

dir

cd pirpg

dir

cd proy0

Una vez dentro del programa de simulación, elegimos la opción de "diseñar" y nos aparecen varias opciones según los diferentes tipos de difusores vistos antes. En principio elegimos la opción de difusores QRD ® unidimensionales.

Seguidamente en pantalla aparecen cada uno de los parámetros de diseño que podemos variar, cuyo significado físico acabamos de ver:

En principio elegimos unos valores para observar cual sería la difusión obtenida:

Frecuencia de diseño: 500 Hz

Frecuencia máxima de difusión: 4000Hz

Nº de periodos: 2

Anchura de los separadores: 0

Orden de difracción a la frecuencia de diseño: 2

El programa automáticamente calcula el nº de rendijas que van a ser necesarias para obtener una difusión a esa frecuencia y con esas características, y la anchura de cada rendija.

A continuación, para poder representar la directividad que poseerá el difusor diseñado, el programa nos pregunta qué frecuencia queremos visualizar, y a qué ángulo de incidencia. Elegimos:

F: 500Hz ( la de diseño, es decir, la que más nos interesa)

Angulo de incidencia: 0 rad.

Seguidamente el programa nos muestra el corte transversal del difusor, y su distribución espacial, lo que obtuvimos con los anteriores parámetros fue lo siguiente:

A continuación, diseñamos otro difusor con las mismas características, pero variando el orden de difracción de 2 a 4, con el fin de ver cómo afectaba éste a la difusión y a las características del difusor, obteniendo los siguientes resultados:

Se observa que al variar el índice de difracción, han variado el nº de lóbulos que aparecen según la fórmula:

Al ser el índice de difracción 4, nos aparecen 9 lóbulos

Otro parámetro que ha variado sustancialmente ha sido el nº de rendijas, para el primer caso, se necesitaban 37, y vemos que al aumentar el índice de difracción, el nº de rendijas necesario ha pasado a ser 67. Además, la anchura de cada rendija es más estrecha, siendo 4´25 cm.

Ahora probamos a simular un difusor bidireccional, con los mismos parámetros con los que diseñamos el primer R.P.G. ® Obtenemos lo siguiente:

Referencias

Jaime Ramis, Antonio Uris Martínez, Jesús Alba Fernández y J.A. Martínez Mora. "Curso experimental de acústica de salas". SPVPV-98.373.
M.R. Schroeder. " Diffuse sound reflection by maximum lenght sequences". J.A.S.A, vol 57, pp. 149-151 ( 1975 ).
Peter D’Antonio y John H. Konnert. " The reflection phase grating diffusor: Design theory and application ". J. Audio. Eng. Soc, vol. 32, nº 4, pp. 228-238 ( 1984 ).
Peter D’Antonio y John H. Konnert. " The QRD diffractal: A new one or 2-D fractal sound diffusor". J. Audio. Eng. Soc. Vol 40, nº 3, pp. 117-128 ( 1992 )
R.P.G. ® Diffusion system Inc. www.rpginc.com

Autor:

Enrique Orduña Malea

Ingeniero técnico en telecomunicaciones ( Esp. Sonido e Imagen en la intensificación de ACÚSTICA) y técnico especialista en imagen y sonido en la especialidad de imagen fílmica.