Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Se considera una viga en el plano. Esta toma esfuerzos de Corte, Axiles y Momentos, todas consideradas en el plano. Cada Nodo posee tres Grados de Libertad (u, v, q). Un elemento que toma estas cargas, tiene asociado para el calculo a E, J, l y A. El sistema se compone de: • • • • • Dos Nodos: Modulo de Elasticidad Área de la Sección Transversal Longitud del Elemento Momento de Inercia i, j E A L I El mismo esta sometido: • • Fuerzas en los Nodos: Momento en los Nodos: Fi, Fj, Vi, Vj Mi, Mj Habrá tres grados de libertad por cada nodo • • Cuatro desplazamientos: Dos Giros: ui, uj, vi, vj ?i, ?j Para crear la Matriz Rigidez se suponen casos con desplazamientos unitarios, que luego mediante Superposición se ensamblan y dan forma a dicha matriz. Se adoptan giros en sentido horario y desplazamientos positivos. Se supone ui=1 uj, vi, vj, ?i, ?j=0 Página 13/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Aplicando la Ley de Hooke, tal como se hace con elemento barra, tenemos que: EA l Hi = ·ui Por lo tanto, EA
l Hi = Realizando un equilibrio de fuerzas, EA
l Hj =- Se supone vi=1 ui, uj, vj, ?i, ?j= 0 Se puede demostrar calculando por Método de las Fuerzas que para un Desplazamiento Transversal en el extremo i, los esfuerzos en el sistema son: 12EJ l3 i V = 6EJ l2 Mi = 12EJ l3 Vj = – 6EJ l 2 M j = H i = 0 H j = 0 Se supone ?i=1 Página 14/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos ui, uj, vi, vj,?j= 0 De la misma manera que en el caso anterior, tenemos que: 6EJ l2 Vi = – 4EJ
l M i = 6EJ l2 Vj = 2EJ
l M j = H i = 0 H j = 0 Procediendo de forma análoga para los desplazamientos del Nodo j , obtendremos los restantes coeficientes de la Matriz Rigidez del Elemento. 5- Ejemplos Prácticos Página 15/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos 5-1-Elemento Resorte
Sea un sistema de resortes en serie, con una carga P aplicada: Datos: Se pide:
a) Encontrar la matriz rigidez del sistema. b) Desplazamientos en los Nodos 2 y 3. c) Las fuerzas en los empotramientos (Nodos 1 y 4). d) La fuerza en el resorte 2.
Solución
a) La matriz rigidez de cada elemento es: Aplicando el principio de superposición se obtiene la matriz rigidez del sistema completo:
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Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos o bien, La Ecuación Matricial de Equilibrio quedara de la siguiente manera: b) Aplicando las Condiciones de Borde:
en la Ecuación Matricial de Equilibrio y tachando la primera y cuarta fila y columna, tenemos que: Cuya solución es: Página 17/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos c) Con la primera y cuarta fila de la Ecuación de Equilibrio, y con los datos de los desplazamientos ya calculados, tenemos que: d) La ecuación de equilibrio del elemento 2 es: donde, Por lo tanto se puede calcular, la fuerza como: 5-2- Sistema de Resortes
Sea un sistema de resortes en serie-paralelo con cargas aplicadas: Página 18/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Se pide:
Para el Sistema de Resortes de la figura, cuyos nodos fueron numerados de forma arbitraria, encontrar la Matriz Rigidez Global.
Solución:
Se construye una Tabla de Conectividad de Elementos: La matriz rigidez de cada elemento: Por lo tanto, aplicando el Principio de Superposición, obtendremos la Matriz Rigidez Global del Sistema: Página 19/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos 5-3-Elemento Barra
Sean dos barras de igual Longitud, igual Modulo de Elasticidad y el Área de una es dos veces la de la otra: Se pide:
Hallar el desplazamiento en el Nodo 2.
Solución:
La Matriz Rigidez de cada elemento:
Elemento 1 Elemento 2 Aplicando el Principio de Superposición, obtenemos la Matriz Rigidez Global, y así, obtenemos la Ecuación de Equilibrio. Aplicando las Condiciones de Borde: Página 20/26
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y reemplazando, se obtiene: Para hallar el desplazamiento en el Nodo 2, utilizamos solo la segunda fila: Por lo tanto, 5-4-Elemento Barra en Dos Dimensiones
Sean dos barras idénticas que poseen el mismo Modulo de Elasticidad, la misma Área Transversal y la misma Longitud: Página 21/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Se pide:
Hallar el desplazamiento del Nodo 2.
Solución:
En el sistema Local de Coordenadas, la matriz rigidez de los elementos es:
Estas matrices no pueden ser ensambladas juntas, ya que cada una esta en diferentes Sistemas Coordinados. Por esta razón se debe trabajar con un Sistema Coordenado Global. Trabajaremos con cada elemento por separado:
Elemento 1: La matriz rigidez del elemento 1 respecto a la Terna Global es: Elemento 2: La matriz rigidez del elemento 1 respecto a la Terna Global es: Página 22/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Aplicando el Principio de Superposición, podemos armar la Ecuación de Equilibrio: Utilizando las Condiciones de Borde:
Consideramos solo la tercer y cuarta fila, junto a la tercer y cuarta columna, y obtenemos: Resolviendo: 5-5-Elemento Viga
Sea una viga empotrada-empotrada, con una carga P aplicada en L/2 y un Momento actuando en el mismo punto: Página 23/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Se pide:
a) Hallar la Rotación y Deflexión del Nodo 2. b) Hallar las Reacciones de Vinculo en los Empotramientos.
Nota: Para este ejemplo, se tomo como convención que el momento antihorario es positivo. No solo como condición de borde, sino en el análisis matricial, y es por eso que la matriz rigidez difiere en signos con la de la explicación de la pagina 15.
Solución:
a) La Matriz Rigidez de cada Elemento es: La Ecuación de Equilibrio Global es: Página 24/26
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Aplicando las Condiciones de Borde:
Reemplazamos y obtenemos: Por lo tanto, resolviendo: b) Reemplazando en la Matriz Global, tenemos: Resolviendo tenemos, Página 25/26
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6- Referencias •
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• ¨Análisis de Estructuras mediante el Método de los Elementos Finitos¨. Ing. Ruben Lopez Triaca. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires.
¨Introduction to Finite Element Method¨. Yijun Liu. University of Cincinnati.
¨Finite Elements in Solids and Structures¨. Astley.
¨Resistencia de Materiales¨. Stiopin Página 26/26
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