Haciendo equilibrio de fuerzas internas en los Nodos:
Nodo i:
Nodo j:
Expresado matricialmente: O bien,
Donde: • • • k.u =f
k: es la matriz rigidez u: es la vector desplazamiento f: es la vector de fuerzas internas Página 5/26
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4-2-Sistema de Resortes
Considerando un par de resortes en serie: Para el Elemento 1: Para el Elemento 2: Donde es la fuerza interna local del Nodo i actuando en el Elemento m (i=1,2). Considerando la condición de equilibrio estático de fuerzas: F externas = F internas
Nodo 1:
Nodo 2:
Nodo 3:
Desarrollando con los valores de las fuerzas internas en función de la rigidez de cada elemento: Página 6/26
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De forma Matricial: O bien,
Donde: K.U=F
K: es la matriz rigidez del sistema completo de resortes Se puede plantear por separado y luego plantear superposición: Planteando superposición se obtiene: A modo de ejemplo si consideramos un sistema que posee las siguientes condiciones:
Reemplazando: Se reduce a: Página 7/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Y,
Como incógnita tenemos:
Resolviendo, Reemplazando se obtiene la fuerza de reacción: Como conclusión, para un sistema de “n” nodos, el método de elementos finitos permite generar “n” ecuaciones, las cuales deberán tener “n” incógnitas para ser un sistema definido. Las incógnitas podrán ser parte del vector desplazamiento o ser parte del vector fuerza. Cada nodo deberá tener su desplazamiento o su fuerza actuante como condición de borde impuesta. Este sistema permite, cómo veremos más adelante resolver sistemas isoestáticos e hiperestáticos sin necesidad de cambiar el método. Página 8/26
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4-3-Elemento Barra en Una Dimensión
Consideremos una barra de sección constante: El sistema se compone de: • • • • Dos Nodos: Modulo de Elasticidad Área de la Sección Transversal Longitud del Elemento i, j E A L El mismo esta sometido: • Fuerzas en los Nodos: fi, fj El elemento tiene dos grados de libertad, en el sentido longitudinal del elemento, cualquier desplazamiento de los nodos en el sentido normal al elemento no generara esfuerzos internos: • Dos desplazamientos: ui, uj Sabiendo que la rigidez a tracción / compresión de una barra es:
Y haciendo una analogía con el elemento resorte, tenemos que:
Por lo tanto, O bien, Página 9/26
Estructuras III Introducción a los Elementos Finitos Por lo tanto, la ecuación de equilibrio del Elemento será: Para la resolución de este sistema se procede de la misma manera que en el elemento resorte.
4-4-Elemento Barra en Dos Dimensiones Nota: El desplazamiento lateral vi´ no contribuye a la deformación de la barra. La idea es trabajar con las coordenadas globales, por lo tanto se deben hacer las siguientes transformaciones: Donde: Página 10/26
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Escrito en forma matricial: O bien,
Donde la matriz transformación: Donde la relación con la matriz ortogonal:
A modo de ejemplo, se puede decir que para un sistema de elemento barra con dos nodos tenemos que: O bien,
Con, Las fuerzas nodales son transformadas de la misma manera:
Para obtener la matriz rigidez en dos dimensiones:
En el sistema local de coordenadas tenemos que: Página 11/26
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Esto se puede escribir en su totalidad como: O bien,
Utilizando las transformaciones
Obtenemos:
Multiplicando ambos lados por TT y como TT*T=I , obtenemos:
La matriz rigidez en el sistema global quedara de la siguiente manera:
La cual es una matriz simétrica de 4X4. Escrita de manera explicita tenemos que: Donde los cosenos directores l y m son: 4-5-Elemento Viga Página 12/26
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