Compilado de problemas de ingenio

La suegra

"Un astronauta se enfada con su suegra, la arroja a un pozo sin fondo (que atraviesa toda la Tierra) y seguidamente monta en su nave espacial para orbitar nuestro planeta. ¿Volverá a ver a su madre política?". Asúmase que el satélite órbita la Tierra a una distancia despreciable y que tira a la suegra al pozo a la vez que inicia el viaje.

Solución: suponiendo que la suegra no se quema en el núcleo de la tierra, debería oscilar con una amplitud máxima de onda igual al diámetro de la tierra. Suponiendo que no hay roce la suegra debería estar yendo y viniendo todo el tiempo, por lo que nuestro amigo astronauta ni siquiera debería partir. Bastaría con esperarla en el mismo lugar. Sin embargo y en virtud del enunciado también nuestro astronauta podría alcanzarla al otro lado si su nave pudiera viajar a una determinada velocidad, veamos;

La suegra comenzará a aumentar su velocidad con aceleración igual a la fuerza de gravedad g hasta alcanzar una velocidad máxima en el centro de la tierra, desde donde comenzará a disminuir su velocidad como consecuencia de la atracción de la tierra, hasta llegar al otro extremo de la superficie terrestre nuevamente con velocidad cero. Suponemos que no hay roce con el aire y que la tierra es una esfera sólida perfecta, atravesada sólo por el agujero que pasa por su centro.

Sean V1 la velocidad con que arranca la suegra (en este caso cero) y V2 la velocidad con que la suegra alcanza el centro de la tierra, y sea r el radio de la tierra

Velocidad promedio = 1/2 (V2-V1) = r/t

Aceleración promedio = (V2-V1)/t = g

De ambas ecuaciones se encuentra que r = 1/2gt2 o equivalentemente, t = (2r/g)1/2 y de aquí se obtiene el tiempo que tarda la suegra en llegar al centro de la tierra. La suegra tardará entonces en llegar al otro extremo de la tierra (en donde llegará con velocidad cero) un tiempo igual a 2t. Entonces, si nuestro astronauta desea alcanzarla allí, justo a tiempo, deberá recorrer la mitad del perímetro de la tierra en un tiempo igual a 2t. Obtenemos la siguiente velocidad requerida:

Velocidad de la nave = (r/[2*(2r/g)1/2]= 1/4((2gr)1/2

Una sola pesada

Me llamó la atención una novedosa atracción. Había un feriante, que tenía una pesa (Ojo: una pesa, no una balanza) y junto a él, había 5 sacos rellenos, cada uno con 25 bolas. Ahora, cada una de bolas de cada saco pesaba exactamente 1 Kg, excepto las bolas de uno de los sacos, cuyas bolas pesaban sólo 900 gr cada una. El desafío consistía en averiguar, ocupando sólo una vez la pesa (es decir con un único intento), cual de los 5 sacos era el que contenía las bolas de menor peso.

Solución: Se toma una bola del primer saco, dos bolas del segundo saco, tres bolas del tercer saco y así hasta tomar cinco bolas del quinto saco. Se pesan todas juntas una sola vez. Si todas las bolas pesarán exactamente 1 kilo, el peso total sería exactamente 1+2+3+4+5=15 Kg. que es múltiplo de 1Kg. Sin embargo, como sabemos que en uno de los sacos hay bolas que pesan menos de 1Kg. el resultado será menor que este valor. Supongamos que el resultado es menor en exactamente 100 grs. Esto significaría que entre las bolas que fueron pesadas sólo hay una única bola de 900 grs de entre las bolas que fueron pesadas, por lo que el saco que contiene las bolas de menor peso es el primero, ya que de él sacamos sólo una bola. Supongamos, por el contrario, que el resultado fuera menor en 200 grs., esto significaría que habrían dos bolas de 900 kg. entre las bolas que fueron pesadas, por lo que el saco que contiene las bolas de menor peso es el segundo, puesto que es el único saco del cual sacamos dos bolas. En forma análoga, y dependiendo de la diferencia respecto de los 15 kilos, podemos determinar fehacientemente y con una sola pesada, cual es la bolsa que contiene las bolas con menor peso.

La propina

Eran tres amigos que fueron al bar Liguria a tomar unos tragos. El camarero, que se llamaba Álvaro, les dijo que la cuenta ascendía a 25 lucas. Pagaron, como es la usanza, 10 lucas cada uno. Al devolverles el cambio, sobraban cinco lucas, entonces, el camarero les devolvió una luca a cada uno y las dos lucas restantes, al no poderlas repartir, se las quedó de propina. Entonces, al salir del Liguria, haciendo cuentas, los tres amigos habían pagado nueve lucas cada uno (10 lucas dadas menos una que les había devuelto el camarero a cada uno). Por lo que en total son: nueve lucas cada amigo, por tres, igual 27 lucas, más dos que se quedó el camarero son 29 lucas. Si en total tenían 10 lucas cada amigo, es decir 30 lucas ¿Dónde está la luca que falta?

Solución: El enunciado de la pregunta es algo capcioso, pues resulta que el costo total desembolsado por los amigos fue; la cuenta propiamente tal (25) más la propina (2), es decir, 27 lucas, propina incluida, lo que a su vez es igual a las 10 lucas pagadas por cada uno menos las 3 que les fueron devueltas. El error está en el enunciado de la pregunta, pues suma las 2 lucas de propina a los 27 del costo total, lo cual es incorrecto puesto que en las 27 de costo total ya fue previamente incluida la propina.

Los monjes elegidos

En un monasterio hay más de 50 monjes, todos ellos son expertos en lógica. Están todo el día cada uno en su celda, para la cena se reúnen en una mesa redonda donde se pueden ver las caras, cenan y vuelven a sus celdas, este es el único momento del día en que se ven. Han hecho voto de silencio, no pueden gesticular ni comunicarse de ningún modo y no hay espejos en el monasterio ni forma alguna de verse reflejado. Un día, llega el padre prior y antes de empezar a cenar les dice: uno o mas de ustedes han sido señalados por un ángel que les ha hecho una marca roja en la frente. Aquellos que tengan la marca deben salir en peregrinación en cuanto lo sepan. Luego el padre prior se marchó sin indicar quienes eran los elegidos. Tras 7 días, todos los monjes con la marca roja se dieron cuenta de que estaban señalados y solo ellos salieron en peregrinación. ¿Cuántos eran los monjes elegidos? ¿Cómo se dieron cuenta de ello?.

La solución

La Respuesta es que serán 7 los monjes que saldrán en peregrinación.

(1) Para llegar a esta conclusión, realizaremos el siguiente razonamiento: Si fuera uno solo el monje marcado, el primer día, durante la cena, aquél que hubiere sido marcado, vería que nadie está marcado, luego si el padre prior dijo que uno o más estaban marcados, es decir, al menos uno de los monjes de monasterio está marcado, deduce que él debe ser el único elegido y se marcha al primer día.

(2) Por otro lado, si fuesen 2 los monjes marcados, entonces, el primer día, durante la cena, cada uno de ellos vería otro monje marcado, por lo que no podría saber si él mismo lo está o no, así que no se puede marchar. Al segundo día, cuando ve que el monje marcado que vio la cena de ayer continúa allí, deduce que aquel también ve a su vez, a otro monje con la marca, puesto que de lo contrario ya se hubiese marchado el primer día, aplicando la deducción (1). Dado que cada uno de los dos monjes marcados ve que en la mesa hay un único monje con la marca, deduce que él debe tener la otra y se marchan ambos al segundo día.

(3) Si los monjes marcados fuesen 3, el primer día, cada uno vería otros dos monjes con una marca. Cada uno de ellos aplicaría el razonamiento (2) y deduciría que, si sólo los otros dos monjes tuvieran marca, cada uno de ellos vería un solo monje marcado, por lo cual tardarían sólo dos días en darse cuenta de que tienen la marca y por lo tanto se marcharían ambos al segundo día. Pero dado que son tres los monjes marcados, al tercer día, se verán todavía en la cena, lo cual significa que los otros dos monjes marcados también ven a su vez a dos monjes marcados y por eso no se han podido marchar aún, por lo tanto, cada uno deduce que hay un tercer monje marcado, que debe ser él mismo, y los tres pueden marcharse al tercer día.

Extrapolando este resultado, y dado que todos se encuentran al séptimo día, el número de monjes elegidos es siete.

La prisa de los caballeros

Tres caballeros de la mesa redonda se dirigen con urgencia a una reunión con el rey Arturo. Durante el largo viaje, deciden parar en una posada para reponer fuerzas. Cada uno de ellos pide un filete al posadero y le apremian para que tenga la comida lista en treinta minutos. Al posadero se le plantea un problema, ya que únicamente puede cocinar dos filetes simultáneamente y cada uno debe cocinarse durante 10 minutos por cada lado, de manera que en 20 minutos tendría cocinados dos de ellos pero necesitaría 20 minutos más para cocinar el tercero. ¿Cómo conseguirá el posadero cocinar los tres filetes en 30 minutos con las limitaciones citadas anteriormente?

La solución: El posadero coloca los dos primeros filetes (digamos 1 y 2) y los cocina por uno de sus lados. Pasados 10 minutos saca uno de los filetes (el filete 1) le da la vuelta al segundo y coloca el tercero a cocer. Pasados 10 minutos más, el filete 2 está cocinado por completo y los filetes 1 y 3 están cocinados por uno de sus lados de forma que en 10 minutos más podrá cocinarlos por el otro lado y tenerlos todos listos en 30 minutos.

Calcetines

En un cajón hay 12 pares de calcetines negros y doce pares blancos. No habiendo luz en la habitación, usted quiere coger el mínimo número de calcetines que le asegure que obtendrá al menos un par del mismo color. ¿Cuantos calcetines deberá tomar del cajón?

Solución: Al sacar el primer calcetín, este puede ser negro o blanco. Supongamos que sacamos el primer calcetín, y resulta ser blanco. Entonces, en el segundo intento podríamos obtener igualmente un calcetín negro o bien blanco, si resultase blanco, ya tendríamos el par y el número mínimo de intentos sería sólo dos. Sin embargo, dado que puede salir negro, dos intentos no aseguran que obtendremos un par. Es necesario un tercer intento. Ahora, dado que ya tenemos dos calcetines de distinto color (que es el peor de los casos hasta el momento) no importa de que color resulte ser el tercer calcetín escogido, con un tercer intento siempre podremos obtener al menos un par de calcetines de un mismo color, pues en el interior del cajón hay tanto calcetines negros como blancos y del color que salga siempre podremos hacer un par con alguno de los dos escogidos previamente. El número mínimo de intentos que asegure obtener al menos un par es entonces tres.

Amebas

Una determinada especie de amebas se reproduce dividiéndose en dos cada día. Entonces, si hoy tenemos una ameba, mañana tendremos dos, pasado mañana cuatro, etc. Cuando comenzamos con una ameba, se tarda 30 días en llenar una cierta superficie con amebas. ¿Cuánto se tarda en cubrir la misma superficie si comenzamos con dos amebas?

Solución: La pregunta es equivalente a comenzar el experimento el segundo día, en el cual ya hay dos amebas, por lo que la respuesta es que, al partir con dos amebas, tardarán exactamente un día menos en relación con el primer experimento, esto es 29 días.

Polinomio

¿Cuál es el producto de la siguiente serie?

(x-a)(x-b)(x-c)…….(x-z)

Solución: Debe observarse que la serie contiene el término (x-x) que es igual cero, como cero por cualquier cosa es siempre cero, el producto de la serie es cero.

El bote en el lago

En un estanque, un día de calma absoluta, hay una barca. Un pescador, en un gesto de romántico desprendimiento, saca una moneda y la arroja al estanque, al tiempo que formula un deseo. ¿El nivel del agua subirá o bajará? Nota: La respuesta no tiene ninguna relación con el deseo formulado por el pescador.

Solución: Primero, el barco flota porque su densidad conjunta promedio es menor que la densidad del agua. (El hombre, la moneda, la caña de pescar y todo lo que está al interior del bote tiene en realidad densidades específicas distintas y pueden ser mayores que la del agua). Entonces, el bote flota porque la fuerza de empuje del agua, que es igual al peso del agua desplazada, es igual al peso combinado del bote, esto es

Luego, cuando el pescador lanza la moneda, se produce una disminución en el peso combinado del bote. Como consecuencia, el bote desplazará menos agua que antes y por lo tanto el nivel de la laguna sube. Mantengamos por un segundo la moneda congelada en el aire y en esta situación, calculemos el aumento en el nivel del agua, por medio del cálculo del volumen de agua que el bote dejó de desplazar en relación con el caso anterior en que la moneda estaba dentro del bote. Llamemos (m la reducción de masa combinada al interior del bote (la que a su vez es obviamente igual a la masa de la moneda). Puesto que el bote sigue flotando, la fuerza de empuje (que esta vez es levemente menor al empuje anterior) y el nuevo peso combinado del bote, deben seguir siendo iguales:

Es decir, la masa de agua desplazada por el bote cuando la moneda esta en el aire, es igual a la masa que desplazaba el bote cuando la moneda estaba en su interior, menos la masa de la moneda. También sabemos que la densidad es igual a la masa dividida por el volumen, por lo que la igualdad anterior se puede rescribir como sigue:

Podemos concluir que el estanque descendió su nivel en una cantidad mayor que la que luego subió debido al ingreso de la moneda. El nivel desciende.

El oso

Un cazador camina 3 kilómetros hacia el sur, después 1 kilómetro hacia el este y ve un oso. Asustado, corre 3 kilómetros hacia el norte volviendo al punto de partida. ¿De qué color es el oso?

Solución: La situación descrita sólo puede producirse en el polo norte o en sus proximidades, y en el polo norte todos los osos son blancos.

Alteración del orden

En una hilera hay 6 vasos. Los 3 primeros están llenos de vino y los 3 siguientes, vacíos. Se trata de conseguir, moviendo un solo vaso, que los vasos vacíos se alternen en la fila con los llenos.

Solución: Hay que vaciar el segundo vaso en el quinto.

La escala

Un barco, fondeado en un puerto, tiene desplegada una escala para poder desembarcar en los botes. La escala, desde la cubierta hasta el agua, tiene 22 escalones de 20 cm. de altura cada uno. Si la marea sube a razón de 10 cm por hora, ¿cuántos escalones cubrirá al cabo de 10 horas?

Solución: Ninguno porque el barco subirá con la marea manteniendo la distancia constante.

La señalética

Un automóvil va por la carretera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de una señalización con el número de kilómetros recorridos desde su lugar de origen, el que resulta ser de dos dígitos. Al cabo de una hora, pasa por delante de otra señalización que indica los kilómetros recorridos hasta ese minuto, y resultan ser las mismas dos cifras, pero en orden inverso. Una hora más tarde, pasa por delante de una tercera señalización que indica los kilómetros que ha recorrido hasta ese instante, y nuevamente resultan ser las mismas cifras iniciales, pero esta vez separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el automóvil?

Solución: Llamaremos "x" a la cifra de las decenas e "y" a la de las unidades en el primer letrero; el número que aparece en la primera señalética será 10x + y. En el número de la segunda señalética, las cifras están en orden inverso, luego el número será 10y + x. Es evidente que "y" es mayor que "x", ya que el número que aparece en la segunda señalética es mayor que el que aparece en la primera. Ahora, el número que aparece en la tercera señalética será 100x + y, ya que según el enunciado, las decenas son cero. Además, "x" tiene que ser igual a 1, pues de lo contrario la diferencia entre el tercer y segundo letrero sería mayor que la diferencia entre el segundo y el primero (estos últimos son evidentemente menores que 100, ya que se trata de números de dos cifras), y el coche no iría a velocidad constante.

Tenemos, pues, la siguiente igualdad: "Si la velocidad permanece constante, la diferencia entre los kilómetros de la tercera y segunda señalética debe ser la misma que la que existe entre la segunda y primera señalética", es decir:

(100x + y) – (10y + x) = (10y + x) – (10x + y),

como sabemos que x debe ser 1, se tiene:

(100 + y) – (10y + 1) = (10y + 1) – (10 + y)

y =6

Por tanto las señaléticas llevan los números 16, 61 y 106, y el automóvil marcha a 45 Km. por hora.

Juan y Pedro

Juan le dice a dice a Pedro: "Si me das una oveja tengo yo el doble que tú." Pedro le contesta: " No seas tan listo, dámela tú a mí, y así tenemos los dos igual." ¿Cuantas ovejas tiene cada uno?

Solución: Juan tiene 7 ovejas y Pedro tiene 5.

Demostración de que 2 es igual a 1

Supongamos que a y b son dos números iguales a 1, tenemos

a=b=1

Multiplicamos toda la igualdad por a, entonces tenemos que:

a2=ab

le restamos a toda la igualdad b2, tenemos que

a2-b2=ab- b2

obtenemos del lado izquierdo una diferencia de cuadrados y del lado derecho una resta donde podemos factorizar b:

(a+b)(a-b)=b(a-b)

dividimos toda la igualdad entre (a-b):

(a+b)=b

ahora recordemos los valores reales de a y b:

1+1=1 o sea, 2=1 !!??

¿Dónde está el error? ¿o no lo hay?

Solución: Observar que al dividir toda la igualdad entre (a-b) se está dividiendo por cero, y esta división no está definida en los números reales.

Población

Burlington es un pueblo en parte francés y en parte inglés. Si el 70% de la población habla inglés y el 60% de la habla francés, qué porcentaje de la población habla los dos idiomas?

Solución: Si el 70% habla inglés, entonces el 30 % no lo habla, por otro lado, si el 60% habla francés, entonces el 40 % no lo habla. Podemos decir, que el 70% (o sea 30+40) de la población habla un sólo idioma. Entonces el 30% de la población (100-70), habla los dos idiomas.

La laguna

En una laguna, dos patos están delante de un pato, dos patos están detrás de un pato y un pato está en el medio. ¿Cuántos patos hay en total?

Respuesta: un fila con tres patos.

Los osos del hospital

A los niños de un hospital les gustaba tanto jugar con los ositos de peluche, que se los llevaban a sus casas. El costo de los ositos de reposición implicaba un gasto mensual que el Hospital no podía solventar. Era necesario buscar el modo de que los ositos se quedasen en el hospital, para que pudieran servir así a otros niños. ¿Cómo resolvió el problema el Hospital?

Respuesta: Los ositos tienen vendas. Se les dice a los niños que los ositos no pueden dejar al hospital hasta sanarse.

El conejo y la coliflor

Un conejo hambriento encuentra un agujero a través de la reja de un huerto. Es un agujero pequeño, y aunque el conejo está flaco, consigue pasar apenas a través de él. Se lanza sobre la primera coliflor que encuentra, dispuesto a comérsela. La coliflor es, al menos, el doble de grande que él. Si se la come, no podrá volver a pasar por el agujero de la reja, puesto que ya no será tan flaco como antes! La coliflor es demasiado grande como para pasar por el agujero. ¿Cómo hace entonces el conejo para comer la coliflor y no quedar atrapado en el huerto?

Respuesta: El conejo empujará la coliflor hasta el borde del huerto y se la comerá a través de la reja.

Platos y Tasas

En una fábrica de tasas y platos de cerámica, los productos son envueltos en papel de diario antes de ser embalados para su exportación. Los gerentes descubrieron que los trabajadores del área de empaquetado perdían bastante tiempo productivo porque se ponían a leer las hojas de los diarios con las que debían envolver los productos. Intentaron varios incentivos y bonos de productividad, pero el problema sólo mejoró parcialmente para luego volver a los anteriores niveles de improductivos. En un Brainstorming para buscar soluciones a esta problemática y mejorar la productividad, uno de los gerentes propuso cambiar el idioma de los diarios, pero ¿de dónde obtener suficiente papel de diario en otro idioma? Otro de los gerentes propuso comprar papel de embalaje sin imprimir, pero esto suponía un costo adicional ya que los papeles de diario se obtenían gratis. ¿Se le ocurre a Usted la forma en que el gerente logró obtener una solución ingeniosa y definitiva para mejorar la productividad en el área de empaquetado?

Respuesta: El Gerente contrató y capacitó a trabajadores no videntes, eliminando los improductivos y realizando de paso una gran contribución a la integración laboral de los discapacitados.

Midiendo la circunferencia de la Tierra

Considere la siguiente situación: Imagine al planeta Tierra como un esfera perfecta, esto es, sin valles ni montañas, sino que una superficie absolutamente lisa. Ahora, piense en una cuerda de acero anclada en un punto fijo de su superficie. Usted, desde allí, comenzará a jalar la cuerda de manera tal, que no dejará usted absolutamente ninguna holgura o espacio entre la cuerda de acero y la superficie de la tierra. Como consecuencia, la cuerda y la superficie de la tierra estarán siempre en contacto directo. Comienza así usted una travesía alrededor del mundo con el fin de circunscribir el planeta, tal como si intentará usted medir la "talla" del planeta entero. Recuerde que usted debe tener la precaución de que la cuerda de acero siempre esté muy tensa y absolutamente en contacto directo, en todo punto, con la superficie de la Tierra. Suponga ahora que la cuerda de acero es lo suficientemente larga como para permitir dar una vuelta completa alrededor del mundo. De este modo, una vez su travesía haya finalizado, se encontrará usted de vuelta exactamente en el mismo punto de partida. En este momento, suponga que le ha sobrado exactamente 1 metro de cuerda de acero. Es decir, la longitud de la cuerda fue suficiente para dar una vuelta a la superficie de la Tierra (manteniéndola siempre tensa y en contacto permanente con la superficie) y, además, le sobró exactamente un metro de cuerda de acero.

Suponga ahora que usted decide unir los dos extremos de la cuerda, y redistribuir así el metro sobrante, uniformemente, a lo largo de toda la circunferencia del globo terráqueo. De esta manera, entre la cuerda de acero y la superficie perfectamente lisa de la tierra se producirá ahora una muy pequeña holgura, constante e uniforme a lo largo de la cuerda. Dicho de otro modo, dado que usted redistribuyó la cuerda de acero para evitar que le sobre ese "molesto" metro, usted alivió la tensión en la cuerda de acero y permitió que ésta se despegue levemente de la superficie de la tierra, creando así un pequeño espacio ú holgura entre la cuerda de acero y la superficie de la Tierra. Ahora, la cuerda y la Tierra ya no están en contacto en ningún punto.

La pregunta es: ¿podrá un conejo pasar por el espacio ú holgura que ahora existe entre la superficie perfectamente lisa de la Tierra y el cable de acero cuyos extremos están ahora unidos gracias a la redistribución que usted hizo del metro sobrante? Si bien la respuesta no depende de este dato, favor recuerde que el radio de la Tierra es de cerca de 6.300 kilómetros. Nota: No es una broma, se trata de un desafío teórico matemático real!

Respuesta: Observe que de la situación original, aquélla en la que usted daba la vuelta al mundo con la cuerda de acero muy tirante y en contacto con la superficie de la tierra y le sobraba un metro al volver al punto de partida, es posible deducir que largo total del cable de acero es igual al perímetro de la tierra más un metro. De este modo, si R es el radio de la tierra, podemos decir que:

Largo de la cuerda (en metros) = perímetro de la tierra + 1 metro

L = 2pR+ 1 metros

Considere ahora la segunda situación, aquélla en que usted distribuía el metro sobrante a lo largo de toda la cuerda, de modo total que lograba unir los dos extremos de la cuerda de acero, creando así una pequeña holgura entre ésta y la superficie perfectamente lisa de la tierra. Llamaremos h a la holgura o espacio generado entre la superficie de la tierra y la cuerda, tal como muestra la figura. De aquí, es posible deducir que el largo de la cuerda es igual al perímetro del círculo puntuado de la figura. El radio de este círculo punteado es igual al radio de la tierra R más la pequeña holgura h. De este modo se tiene que:

Largo de la cuerda (en metros) = perímetro de la línea puntuada.

L = 2p(R+h)

Como la cuerda de acero ha sido siempre la misma, entonces el largo de la cuerda no ha variado en lo absoluto. Esto es, dado que el largo de la cuerda en la situación inicial es igual largo de la cuerda en la segunda situación (la cuerda es siempre la misma) podemos decir que:

Largo de la cuerda (en la primera situación) = Largo de la cuerda (en la segunda situación)

2pR+ 1 metro = 2p(R+h) metros

h = 1/(2p) metros.

h = 0,16 metros.

h ~ 16 centímetros!

Contrario a lo que podría obtenerse con la simple intuición, sorprende que la holgura de redistribuir un único metro entre toda la longitud de la cuerda sea de aproximadamente dieciséis centímetros, suficiente para que pueda pasar un conejo. Sorprende también, el hecho de que este resultado sea el mismo, independiente del radio de la esfera. Este resultado ha sido comprobado muchas veces con diversas esferas (de menor tamaño que la tierra por su puesto).

Autor:

Dennis Quezada