Software Fatiga 1.0. Cálculo de los coeficientes necesarios para su diseño (página 2)

En la figura se observa que para un valor elevado de tensión, se necesitan una cantidad relativamente baja de ciclos de carga para producir la rotura de la probeta, y a medida que se reduce la tensión el número de ciclos necesarios para provocar la rotura aumenta. Para un valor determinado la tensión permanece prácticamente constante para un número ilimitado de ciclos de carga, el cual se conoce como límite de resistencia a la fatiga y se denota por s -1, en el caso del acero CT4 este es igual a 190 MPa. Para los aceros de bajo contenido de carbono este valor es aproximadamente la mitad del valor del límite de rotura s r.

Para materiales no ferrosos, como por ejemplo el aluminio y el cobre la tensión a la que ocurre la rotura continúa decreciendo a medida que se aumenta el número de ciclos de carga. Para tales metales, es posible definir el límite de resistencia a la fatiga como el valor de tensión correspondiente a la rotura después de un número determinado de ciclos de cargas, por ejemplo 500 millones.

En el caso de ciclos asimétricos de carga los ensayos se efectúan con diferentes combinaciones de los valores de la tensión media del ciclo s media y de la amplitud del mismo s a. En estos casos se obtiene un diagrama como el que se muestra en la figura 2.

Al ensayar varias probetas se obtienen una serie de puntos, cuyo ajuste sería una curva. Según los ensayos esta curva se puede sustituir por la recta AB. Esto contribuye a aumentar la reserva de resistencia al disminuir el área de trabajo. El punto A del diagrama corresponde al límite de resistencia a la fatiga para el ciclo simétrico; mientras que el punto B es el límite de resistencia a la tracción. Ubicando el punto de trabajo, mediante las coordenadas (s media ; s a) del elemento estudiado es posible conocer su reserva de resistencia; o sea el coeficiente de seguridad con que trabaja.

Al examinar una probeta, un árbol, un eje u otro elemento de máquina o estructura que haya fallado por fatiga se observa que el fallo comenzó en una grieta microscópica o en otro defecto similar. En cada ciclo de carga, la grieta va en aumento. Durante las cargas sucesivas, la grieta se va propagando por toda la sección y el material no dañado resulta insuficiente para soportar las cargas máximas, entonces de forma abrupta ocurre la rotura frágil del elemento debido a la sobrecarga estática. Debido a que el fallo por fatiga puede ser iniciado en una grieta u otra imperfección el estado de la superficie de una probeta tiene un efecto importante en el valor del límite de resistencia a la fatiga obtenido en un ensayo. El límite de resistencia a la fatiga para probetas maquinadas y pulidas es superior que para componentes laminados o forjados, o para otros que se encuentren corroídos. En condiciones de trabajo cercanas al mar, o en otras aplicaciones donde exista alta probabilidad de que se acentúe el fenómeno de la corrosión, debe preveerse una reducción del límite de resistencia a la fatiga incluso superior al 50%.

Software Fatiga 1.0. Sistema para la comprobación a la fatiga de árboles y ejes

Fatiga.exe Versión 1.0: es un programa para el cálculo del coeficiente de seguridad a la fatiga en árboles escalonados y con chaveteros y la evaluación de los conocimientos que poseen los estudiantes del tema Fatiga. Aunque fue diseñado con el propósito fundamental de ser utilizado con fines docentes puede utilizarse en el diseño y comprobación de los árboles.

El programa permite escoger entre diferentes regímenes de carga y diferentes ciclos de carga. También es posible considerar diferentes estados de la superficie del elemento analizado.

Con Fatiga.exe 1.0 es posible obtener el coeficiente de seguridad a la fatiga en árboles sometidos a la acción de cargas cíclicas considerando que los concentradores son escalones o chaveteros. Al finalizar la aplicación el programa valora el nivel de conocimientos que tiene el usuario sobre el tema tratado.

Cálculo del coeficiente de seguridad a la fatiga

Es necesario determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga y el coeficiente de seguridad a las deformaciones plásticas. Posteriormente ambos deben ser comparados con el coeficiente de seguridad recomendado.

Este coeficiente se calcula en función de determinados parámetros que influyen en la resistencia a la fatiga de un elemento.

Coeficiente de seguridad a la fatiga para tensiones normales.

………………………………………………………………………………………………………(1)

Coeficiente de seguridad a la fatiga para tensiones tangenciales.

…………………………………………………………………………………………………………(2)

Coeficiente de seguridad a la fatiga para casos combinados de tensiones.

………………………………………………………………………………………………………………(3)

En las expresiones anteriores:

s -1; t -1: es el límite de resistencia a la fatiga que se obtiene de forma experimental.

s a; t a: es la tensión amplitud del ciclo.

s m; t m: es la tensión media del ciclo.

El resto de los coeficientes que aparecen en las expresiones se denominarán durante el desarrollo del trabajo.

Si el coeficiente de seguridad a la fatiga calculado (ncal) es mayor que cierto valor recomendado (nrec) entonces esta garantizada la resistencia a la fatiga. O sea:

Si: ncal ≥ nrec; resiste a la fatiga.

Si: ncal < nrec; no resiste a la fatiga.

Nota: En el caso que se cumpla la primera condición pero la diferencia entre los coeficientes calculado y recomendado sea mayor del 15% debe hacerse un reanálisis del cálculo para valorar el factor económico, pues se estaría sobredimensionando la pieza; es decir, debe cumplirse la relación:

……………………………………………………………………………………………………………….(4)

El coeficiente de seguridad recomendado puede determinarse como la multiplicación de tres coeficientes parciales de seguridad:

nrec = n1*n2*n3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………(5)

Donde:

• n1: es el coeficiente que considera el error posible al determinar las cargas y las tensiones. Cuando las tensiones se calculan con gran precisión, este coeficiente se puede señalar igual a 1,2 ÷ 1,5. En el caso de menor exactitud, igual a 2 ÷ 3.
• n2: es el coeficiente que tiene en cuenta la heterogeneidad del material, su sensibilidad a los posibles defectos en el maquinado de la pieza. En los cálculos por fatiga se considera igual a 1,5 ÷ 2. Este coeficiente se aumenta para materiales de poca homogeneidad (sobre todo en el caso de fundición) y en el de piezas de gran tamaño hasta 3 y más.
• n3: es el coeficiente de las condiciones de trabajo que tiene en cuenta el grado de responsabilidad de la pieza. Su valor se admite entre 1 y 1,5.

Cálculo de los coeficientes necesarios para realizar la comprobación a la fatiga mediante el software Fatiga 1.0.

Influencia de la concentración de tensiones.

La variación súbita de la forma de la pieza influye sobre el límite de resistencia a la fatiga. Esta influencia viene dada por el coeficiente efectivo de concentración de las tensiones.

Coeficiente de concentración de tensiones (ks ; kt ) para cambio de sección.

Se determina en función de s r y de r/d:

si D/d = 2

D: diámetro mayor en el cambio de sección. d: diámetro menor en el cambio de sección.

r: radio de acuerdo en el cambio de sección.

En el caso de la flexión es el coeficiente ks . La siguiente gráfica muestra el comportamiento de este coeficiente.

Figura 5. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la flexión de árboles escalonados.

La curva inferior corresponde a los aceros de límite de resistencia 500 MPa, mientras la segunda corresponde a los aceros de límite de resistencia 1200 MPa.

La gráfica anterior se obtuvo de la siguiente tabla:

Tabla 1. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la flexión de árboles escalonados.

En el caso que el valor del coeficiente que se desea determinar se encuentre en un valor intermedio, debe interpolarse mediante la siguiente expresión:

…………………………………………………………………………………………..(6)

Donde:

Cx: Valor del coeficiente buscado.

C1 y C2: Límites menor y mayor respectivamente de los coeficientes en el intervalo que se busca.

Px: Valor del parámetro de entrada para el coeficiente que se busca.

P1 y P2: Límites menor y mayor respectivamente de los parámetros de entrada en el intervalo que se busca.

Ejemplo: En la tabla anterior se desea obtener el valor de kpara una relación de r/d = 0.24 con una. r=500 MPa.

Luego:

Px = 0.24

Este valor se encuentra entre P1= 0.23 y P2=0.25 y los coeficientes tomarán el valor de C1 = 1.304 y C2= 1.26, sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene que para una relación de r/d = 0.24, entonces kvale 1.282.

De forma análoga se procede con el resto de los coeficientes que se exponen aquí.

Las siguientes ecuaciones también permiten la determinación de los coeficientes ks .

Para s r =500 MPa:

ks =24490(r/d)6-33737(r/d)5+18323(r/d)4-4995,7(r/d)3+727,65(r/d)2-57,165(r/d) +3,5277 ……………………………(7)

Para s r =1200 MPa:

ks =28738(r/d)6 -40428(r/d)5 +22581(r/d)4 -6388,8(r/d)3 +973,01(r/d)2 -79,173(r/d) +4,3899 ……………………….(8)

En el caso de la torsión es el coeficiente k. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de este coeficiente.

Figura 6. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la torsión de árboles escalonados.

La curva inferior corresponde a los aceros de límite de resistencia 500 MPa, mientras la segunda corresponde a los aceros de límite de resistencia 1200 MPa.

La gráfica anterior se obtuvo de la tabla 2:

Tabla 2. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la torsión de árboles escalonados.

El coeficiente kt se obtiene de las siguientes ecuaciones en función de r/d:

Para s r =500 MPa

kt =-12605(r/d)6+12811(r/d)5 -4546,5(r/d)4 +551,46(r/d)3 +36,305(r/d)2 -14,179(r/d) +2,0423 …………………..(9)

Para s r =1200 MPa

kt = 5686,4(r/d)6-8906,1(r/d)5+5478,6(r/d)4 -1716,5(r/d)3 +297,71(r/d)2 -28,804(r/d) +2,5119 …………………..(10)

Ya se planteó antes que estas ecuaciones pueden utilizarse cuando el diámetro mayor en el cambio de sección es el doble del diámetro menor. Si la relación D/d es distinta de 2 es necesario determinar el coeficiente de corrección (Figura 5). en función de la relación D/d y del tipo de solicitación. (Curva 1 para la flexión, curva 2 para la torsión).

………………………………………………………………………………………………….(11)

donde:

(ks )0 ó (kt )0: es el coeficiente efectivo determinado mediante los gráficos de las figuras 3 ó 4; tablas 1 ó 2; o a través de las ecuaciones (7), (8), (9), (10).

Para la torsión se procede de igual manera pero se determina entonces el k.

Figura 7. Coeficiente de corrección.

En la siguiente tabla se muestra el comportamiento del coeficiente de corrección:

Tabla 3. Coeficiente de corrección.

Las ecuaciones que permiten determinar el coeficiente son:

Para la flexión:

e =-1535,6(D/d)6+12117(D/d)5-39678(D/d)4+69015(D/d)3-67255(D/d)2+34819(D/d)- 7482,3 …………………(12)

Para la torsión:

e = -670,5(D/d)6+5424,5(D/d)5-18244(D/d)4+32651(D/d)3-32799(D/d)2 + 17538(D/d)-3900,1 …………………(13)

En el caso de árboles escalonados sometidos a tracción – compresión también se expresa la influencia de la concentración de tensiones mediante el coeficiente k. La gráfica que muestra el comportamiento de este se muestra en la figura 6 como función de la relación r/d y el límite de resistencia del material.

Figura 8. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la tracción – compresión de árboles escalonados

Tabla 4. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones en la tracción – compresión de árboles escalonados.

Mediante las ecuaciones (8), (9) y (10) es posible obtener también los valores de este coeficiente.

Para s r =400 MPa.

ks = 53,788(r/d)6-127,27(r/d)5+117,79(r/d)4-52,942(r/d)3+12,09(r/d)2-2,076(r/d)+1,5279 …………………………(14)

R2 = 0,9988

Para s r =800 MPa.

ks =76,192(r/d)6-158,67(r/d)5+123,56(r/d)4-43,312(r/d)3+6,7267(r/d)2-1,5285(r/d)+1,8251 ………………….(15)

R2 = 0,9987

Para s r =1200 MPa.

ks =191,8(r/d)6-478,37(r/d)5+471,26(r/d)4-231,67(r/d)3+60,27(r/d)2-9,519(r/d) + 2,5651 ……………………..(16)

R2 = 0,9998

Para los árboles donde los concentradores de tensión sean chaveteros los coeficientes k y k se determinan de las tablas 5 y 6 respectivamente.

Tabla 5. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones normales en árboles con chaveteros

Tabla 6. Coeficiente efectivo de la concentración de tensiones tangenciales en árboles con chaveteros.

Influencia de las dimensiones absolutas de las piezas.

Los ensayos demuestran que cuanto mayores sean las dimensiones absolutas de las piezas, tanto menor será el límite de resistencia a la fatiga de las mismas. La influencia de este factor se expresa a través del coeficiente de influencia de las dimensiones absolutas de la sección (factor de escala). El mismo se determina del gráfico de la figura 7 en función del límite de resistencia de la pieza y las dimensiones de la misma:

Figura 9. Factor de escala.

La curva superior corresponde a los aceros de límite de resistencia 400 – 500 MPa y la inferior a los aceros de límite de resistencia 1200 – 1400 MPa. Para valores intermedios del límite de resistencia se debe interpolar entre las dos curvas. Por falta de datos experimentales se toma = = .

El gráfico anterior se obtuvo de la tabla que se muestra a continuación:

Tabla 7. Factor de escala.

Las ecuaciones siguientes permiten determinar el valor de este coeficiente.

Para s r = 400 – 500 MPa

e = -4×10-15*d6+4×10-12*d5-2×10-09*d4+2×10-07*d3+10-05*d2-0,0055*d+1,0333 …………………………………………..(17)

Para s r =1200 – 1400 MPa.

e = 2×10-14*d6-2×10-11*d5+9×10-09*d4-2×10-06*d3+0,0002*d2-0,0157*d+1,0829 ………………………………………….(18)

Influencia de la calidad de la superficie y del acabado superficial: .

Se ha demostrado por los ensayos realizados que el mal tratamiento de la superficie de la pieza reduce el límite de resistencia a la fatiga.

La influencia de este factor esta expresada por el coeficiente . El siguiente nomograma expresa esta dependencia en función del límite de resistencia y del acabado superficial.

Figura 10. Influencia de la calidad de la superficie y del acabado superficial.

En la siguiente tabla también se obtienen los valores del coeficiente de influencia de la calidad de la superficie.

Tabla 8. Influencia de la calidad de la superficie y del acabado superficial.

Las ecuaciones que permiten obtener el valor del coeficiente de influencia de la calidad de la superficie son:

Para el pulido

b = 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..(19)

Para el esmerilado

b = -8×10-12*s r6+4×10-9s r5-9×10-07*s r4+0,0001*s r3-0,0069*s r2+0,2219*s r -1,8596 …………………………………(20)

Para el torneado fino:

b = 10-11*s r6-6×10-9*s r5+10-06*s r4-0,0001*s r3+0,0076*s r2-0,2289*s r+3,7114 ………………………………………(21)

Para el torneado de desbaste:

b = -5×10-12*s r6+3×10-9*s r5-5×10-07*s r4+5×10-5*s r3-0,0028*s r2+0,0664*s r+0,4196 …………………………………(22)

En presencia de escoria:

b = -2×10-12*s r6+9×10-10*s r5-2×10-7*s r4+10-5*s r3-0,0001*s r2-0,0238*s r+1,567 …………………………………….(23)

Coeficiente de sensibilidad del material a la asimetría del ciclo (j ,j ).

Se determina como función de rt de la tabla 9.

Tabla 9. Coeficiente de sensibilidad del material a la asimetría del ciclo (Tabla 12.1 página 329.)

Determinación del coeficiente de seguridad a las deformaciones plásticas.

También debe garantizarse la resistencia del material a las deformaciones plásticas. Para ello se determina el coeficiente de seguridad a estas deformaciones. O sea:

– Para tensiones normales.

………………………………………………………………………………………………………………(24)

– Para tensiones tangenciales.

………………………………………………………………………………………………………………(25)

– En el caso que existan tensiones combinadas.

………………………………………………………………………………………………………….(26)

De los coeficientes de seguridad determinados, se escoge el menor de ellos y se compara con el coeficiente de seguridad recomendado.

Conclusiones

En base a los resultados y a las observaciones realizadas se puede concluir que:

• El software Fatiga .exe 1.0 permite realizar la comprobación a fatiga en árboles y ejes cuyo concentrador sean escalones o chaveteros.
• Al realizar el ensayo de probetas sometidas a cargas cíclicas es posible construir las gráficas s – N y s media – s a. La información que brindan estas gráficas es posible considerarlas propiedades mecánicas de los materiales, porque pueden ser utilizadas para realizar el diseño y comprobación de elementos de máquinas y estructurales.
• Se muestran dichas gráficas para un acero para estructuras CT4.
• Algunos de los coeficientes que influyen sobre el límite de resistencia a la fatiga se pueden determinar de forma gráfica y analítica.

Bibliografía

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11. Almaguer, Pavel. Informatización de la asignatura Resistencia de materiales en la Universidad de Holguín./ Pavel Almaguer Zaldivar. Trabajo de Diploma. Universidad de Holguín, 2002. -82 p.

Autor:

Ing. Pavel Almaguer Zaldivar (*)

Ing. Hortensia Santiago Cuenca (*)

Ing. Lidia Pérez Vallejo (**)

(*) Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería, Universidad de Holguín.

(**)Departamento de Ingeniería Industrial, Facultad de Ingeniería Industrial, Universidad de Holguín.