Código BCD – Binary Coded Decimal Dígitos decimales codificados en binario Ejemplo 9 8 3 2 510 = 1001 1000 0011 0010 0101BCD-natural BCD natural tiene pesos 8421 BCD Aiken tiene pesos 2421 9 8 3 2 510 = 1111 1110 0011 0010 1011BCD-Aiken 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 6/18
Representación de números enteros Es necesario la representación del signo Se utiliza una cantidad determinada de bits (n) Signo y magnitud (SM) El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1) En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0 Doble representación del 0. n = 6 1010 = 001010SM -410 = 100100SM n = 4 -710 = 1111SM -1410 = no representable 010 = 000000SM 010 = 100000SM 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 7/18
Complemento a la base menos uno Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno. Convierte las restas en sumas. Doble representación del 0. Ejemplos Base 10 -6310 = 936C9 ? 936 = 999 – 63 -1610 = 983C9 ? 983 = 999 – 16 -1610 = 9983C9 ? 9983 = 9999 – 16 n = 3 n = 4 Operación: 77 – 63 (Gp:) 14 (Gp:) 77 (Gp:) -63
+ 936C9 077C9 014C9 (1)013 + 1 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 8/18
Base 2 C1 de -100102 = 101101C1
C1 de -1001112 = no representable C1 de 0 = {000000C1 , 111111C1} n = 6 Operación: 10001112 – 100102 Se intercambian ceros por unos y unos por ceros Rango : [-2n-1 + 1, 2n-1 – 1] Ejemplos: (Gp:) 111111 (Gp:) – 010010 (Gp:) 101101
Restando en binario natural Sumando en C1 (n=8)c (Gp:) 10001112 (Gp:) – 00100102 (Gp:) 01101012
(Gp:) 01000111C1 (Gp:) (1)00110100 (Gp:) 11101101C1 (Gp:) + (Gp:) 1 (Gp:) + (Gp:) 00110101C1
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Complemento a la base Los valores positivos se representan en SM. Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno y posteriormente sumar uno a la dicha cantidad Convierte las restas en sumas. Ejemplos Base 10 -6310 = 937C10 ? 937 = (999 – 63) + 1 -1610 = 984C10 ? 984 = (999 – 16) + 1 -1610 = 9984C10 ? 9984 = (9999 – 16) + 1 n = 3 n = 4 Operación: 77 – 63 El acarreo, si existe, no se considera (Gp:) + (Gp:) 937 (Gp:) 077 (Gp:) (1)014
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Base 2 C2 de -100102 = 101110C2 n = 6 Operación: 110012 – 100102 = 1112 Se intercambian los ceros y los unos y se suma uno Rango : [-2n-1, 2n-1 – 1] Ejemplos: C2 de -11100102 = no representable El acarreo no se considera (Gp:) 111111 (Gp:) – 010010 (Gp:) 101101C1
(Gp:) + 1 (Gp:) 101101 (Gp:) 101110C2
(Gp:) 011001C2 (Gp:) 101110C2 (Gp:) (1)000111C2 (Gp:) +
Operando en C2 (n=6) 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 11/18
Representación sesgada La representación se obtiene sumando un sesgo o cantidad al valor del número El sesgo suele ser: 2n-1 Rango : [-2n-1, 2n-1 – 1] Ejemplos Base 2 n = 8 ? Sesgo = 28-1 = 12810 = 1000 00002 110102 = 10011010S – 110102 = 01100110S 02 = 1000 0000S n = 4 ? Sesgo = 24-1 = 810 = 10002 12 = 1001S -12 = 0111 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 12/18
Estándar IEEE 754 B = 2 Representación s e m n = ns + ne + nm Ejemplos: Representación de los números reales Representación en coma fija Representación en coma flotante N = (-1)s M · BE N ? Valor numérico M ? Mantisa s ? signo B ? Base E ? Exponente 1.234535 · 103 = 1234.535 · 100 = 0.1234535 · 104 = 123453.5 · 10-2 = 0.0001234535 · 107 ns : cantidad de bits para el signo ne : cantidad de bits para el exponente nm: cantidad de bits para la mantisa 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 13/18
Estándar IEEE 754 Campo de signo 0 ? + 1 ? – Representación sesgada Sesgo S = 2ne-1-1 Ejemplos: ne = 8 ? S = 2ne-1-1 = 127 = 0111 1111 Campo del exponente 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 14/18
Estándar IEEE 754 Campo de mantisa Normalización 1 ? M < 2 M = [1.m] donde m es el valor que se almacena Ejemplos de normalización N1 = 1001.1100110 · 2-5 1.0011100110 · 2-2 N2 = 0.000001101101 · 234 1.101101 · 228 Ejercicio n = 16 bits ne = 8 bits N = 1001 1111 0001 1101 s = 1 ? N< 0 e = 0011 1110 ? E = -65 m = 001 1101 ? M = 1.00111012 N = -1.2265625 · 2-65 = -3,32440346980633 · 10-20 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 15/18
Situaciones especiales e = 0 ? mantisa denormalizada Sesgo = 2ne-1-2 E = e – S = -2ne-1 + 2 (e = 0) ? (m = 0) ? N = 0 (e = 11…1) ? (m = 0) ? N = ? (e = 11…1) ? (m ? 0) ? N = NaN Redondeo Exceso, defecto, más cercano, al par 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 16/18 Ejemplo redondeo al par
Valores límite Números normalizados |b| = Mmax2Emax Mmax = 2 – 2-nm Emax = 2ne-1-1 |a| = Mmin2Emin Mmin = 1 Emin = -(2ne-1-2) Números denormalizados |a’| = M’min2E’min M’min = 2-nm E’min = -(2ne-1-2) 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 17/18
Valores límite Si |N| > |b| ? desbordamiento a infinito OVERFLOW Si |N| < |a’| ? desbordamiento a cero UNDERFLOW Precisión Simple precisión n = 32 bits, ne = 8 bits, nm = 23 bits Doble precisión n = 64 bits, ne = 11 bits, nm = 52 bits Doble precisión extendida n = 80 bits, ne = 15 bits, nm = 64 bits Consideraciones Números excesivamente pequeños Números excesivamente grandes Comparación de números 1. Sistemas numéricos Sistemas de representación y codificación de números 18/18
Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria Magnitudes Analógicas: toma valores continuos Digitales: toma un conjunto de valores discreto Ventajas sistemas digitales frente sistemas analógicos Más sencillos y económicos Más seguridad y precisión Fácil almacenamiento de la información Más resistentes al ruido e interferencias Posibilidad de tratar información no numérica Inconvenientes sistemas digitales frente sistemas analógicos La mayoría de las magnitudes físicas son de tipo analógico Necesidad de etapas CAD/CDA
Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria 2/2 Sistema digital binario Representación de las magnitudes en base 2 Estados de un interruptor [ENCENDIDO, APAGADO] Los dígitos {0, 1} corresponden con niveles de tensión eléctrica. Nivel alto Nivel bajo Niveles lógicos de la familia tecnológica TTL 0 V 0,8 V 2,4 V 5 V
Características de los espacios de representación 2. Codificación binaria Elementos que lo componen Condicionantes Cantidad de estados representables Cantidad de elementos representables Tamaños predefinidos en las unidades del computador Tamaños predefinidos en la comunicación entre unidades del computador BIT Byte = 8 bits Palabra 1 KiloByte (KB) = 210 Bytes = 1024 Bytes 1 MegaByte (MB) = 220 Bytes = 1024 KB 1 GigaByte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB 1 TeraByte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB 1 PetaByte (PB) = 250 Bytes = 1024 TB Unidades de codificación
Aspectos de los sistemas de codificación 2. Codificación binaria Coste de traducción Coste de almacenamiento Coste de procesamiento Robustez y tolerancia a fallos
Características de los códigos 3. Sistemas alfanuméricos Compuesta por caracteres Cantidad de bits dedicados a representar cada carácter Codificación de cada carácter Separación de cadenas Cadenas de longitud fija Cadenas de longitud variable
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos Código ASCII
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos Código ASCII 2/5
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos Código EBCDIC 3/5
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos Código EBCDIC 4/5
Consideración de los distintos alfabetos: griego, latín árabe, … Estándar Unicode: emplea 2 bytes por carácter. Abarca los alfabetos de los idiomas escritos de América, Europa, Oriente Medio, África, India, Asia y el Pacífico Página de códigos especial Ejemplos: 862 hebreo 1251 cirílio
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 5/5
Características de los códigos 4. Códigos redundantes Objetivo: salvaguardar la información ante posibles errores Se añade una información adicional a cada dato Tipos: Códigos detectores Códigos correctores
4. Códigos redundantes Códigos detectores Código de paridad Añade a cada dato un bit de paridad Permite detectar un error en un bit Paridad par, paridad impar
‘H’ 01001000 0 ‘O’ 01001111 1 ‘L’ 01001100 1 ‘A’ 01000001 0 Bit de paridad
4. Códigos redundantes Códigos correctores Permiten detectar errores en más de un bit El código debe ser capaz de indicar los bits erróneos Ejemplos: Códigos de paridad múltiple Código Hamming Códigos polinomiales (CRC)
4. Códigos redundantes Códigos correctores Código Hamming Distancia Hamming entre dos vectores: es el número de bits en el que toman valores diferentes. Ej. Distancia Hamming 2 c1=0101 y c2 = 1100 Distancia de un código es la mínima distancia Hamming entre todas las posibles combinaciones distintas del código. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces podemos detectar errores que afecten a d-1 bit. Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces es posible detectar y corregir los errores que afecten a t bits según la siguiente expresión: d = 2·t+1 1/4
Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit. 4. Códigos redundantes Códigos correctores Ejemplos: Distancia del código: 1 No es posible detectar ni corregir ningún error en los bit.
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2/4
4. Códigos redundantes Códigos correctores Ejemplos: Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit con bit de paridad par. Distancia del código: 2 Es posible detectar errores en un bit. No es posible corregir ningún error. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3/4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4. Códigos redundantes Códigos correctores Código Hamming de los 15 primeros números naturales Ejemplos: p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p1: paridad par de p3, p5 y p7 p2: paridad par de p3, p6 y p7 p4: paridad par de p5, p6 y p7 Distancia del código: 3 Es posible detectar errores en dos bit. Es posible corregir errores en un bit. 4/4
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