Un parámetro que establece el índice de se- veridad de una grieta es el factor de intensidad de esfuerzos que al utilizarse en los criterios de falla de la mecánica de la fractura linealmente elástica (González, 1998) indican la gravedad de ésta. Levy et al. (2003), han realizado estudios del factor de intensidad de esfuerzos en cilindros erosionados sometidos a presión interna.
Debido al interés del personal de la Escuela de Ingenieros de la Armada de México en conocer los esfuerzos y la peligrosidad de ciertos tipos de grietas en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre, se presenta el siguiente trabajo en donde se realizaron los análisis de esfuerzos y de fractura para este modelo de cañón, considerando cierto tipo de grietas en el inicio del rayado, las cuales fueron sometidas a una presión interna de 95 MPa. En este tipo de cañones las municiones son del tipo fijo, diseñadas para desarrollar una velocidad inicial de 822.96 m/s, con un alcance máximo horizontal de 10,972.8 m y una altura máxima de 6400.8 m aproximadamente (Bache, 1996). En la figura 1 se muestra la ubicación del proyectil en el ánima de un cañón.
Figura 1. Proyectil en el ánima de un cañón
1 ? K1 ? ? ? (1-2v)2(1+cos?) + sin2 ? ? Para establecer qué teoría de la mecánica de fractura se debe utilizar, es necesario encontrar el diámetro de la zona plástica ( r p) que para el modo de carga I (Anderson, 1995), está definido por: r p(?) = 3 2
4p ?sy ? ? 2 ? (3) ? donde sy es el esfuerzo de fluencia y? es el ángulo de orientación.
Para que la teoría de la mecánica de la fractura linealmente elástica sea válida, es necesario que la razón del diámetro de la zona plástica y la pro- fundidad de la grieta (a) sea menor a 0.02. Cuando no se cumple esta condición se debe utilizar la teoría de la mecánica de la fractura elastoplástica, la cual incluye otros criterios de falla que describen mejor el estado de los esfuerzos y deformaciones en la punta de la grieta. Estos criterios son: aper- tura de la grieta (CTOD) y la J-integral. Modelo de prueba
Con el objetivo de validar el análisis de la fractura del cañón con las simulaciones mecánicas, se rea- lizó el estudio analítico del FIE en un recipiente cilíndrico con una grieta interna longitudinal y se comparó con los resultados obtenidos de las ecuaciones de Perl (Levyet al., 1998).
El recipiente cilíndrico con una grieta interna a lo largo de su longitud y sometido a una presión interna se muestra en la figura 2. Debido a la simetría del recipiente sólo se utilizó la mitad del modelo en la simulación (Figura 3).
Las propiedades mecánicas del acero utilizado para el recipiente cilíndrico fueron las siguientes: un esfuerzo de fluencia de 413.7 MPa, módulo de elasticidad de 206.85 MPa y una relación de Poisson de 0.3. En la tabla 1 se muestran los parámetros utilizados para este modelo geométrico. 219 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez Figura 3. Modelo geométrico en 2-D de un recipiente cilíndrico sometido a presión interna con grieta interna a lo largo de la longitud
Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006 Figura 2. Recipiente cilíndrico a presión interna con grieta interna a lo largo de la longitud
Ib K = s(pa) K IP / K 0, s = 2 i 02 1/2 2P R2 i Ia K =2.66P(pa)1/2 KIP / K 0 (4) i (5) R0 – R
donde K es el factor de intensidad de esfuerzos, Pi es la presión interna, a es la profundidad de la grieta, K IP es el factor de intensidad de esfuerzos, debidaalapresión,yKIP/K 0seobtienedelafigura4. Para la simulación del recipiente se utilizaron 1873 elementos plane82. Se realizó un mallado fino en la región de la grieta con la finalidad de obtener una mejor respuesta en los esfuerzos. Además fue necesario que la punta de la grieta coincidiera con el origen del sistema de coordenadas, que la lon- gitud de los elementos (plane82) cercanos a la grieta fuera aproximadamente un octavo de la profundidad de éste y con la forma de triángulo isósceles alrededor del extremo de la grieta (ANSYS, 2005). Se aplicó presión interna dentro de un rango de 10MPa a 70MPa, y por simetría se consideró la mitad del recipiente cilíndrico como se muestra en la figura 5. En la tabla 2, se muestran los resultados del FIE alcanzados con las ecuaciones de Perl, comparados con los obtenidos numéricamente. La diferencia de los resultados alcanzados son menores a un 1 %, lo cual es una buena aproximación e indica que la satisfacción de las condiciones en el mallado del modelo geométrico arriba mencionadas producirá resultados aceptables. 220 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM Análisis de los esfuerzos y fractura en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre Tabla 1. Parámetros de un recipiente cilíndrico con una grieta interna sometido a una presión interna Parámetro Profundidad de la grieta ( a) Espesor del recipiente (t) Radioexterior(R0) Magnitud 2 mm 10 cm 20 cm Presión interna (Pi) 10–70 MPa
Para el estudio analítico se utilizaron las ecua- ciones de Perl: Figura 5. Condiciones de carga y desplazamiento en un recipiente cilíndrico a presión interna. Figura 4. FIEs normalizados, debido a la presión interna en un cilindro agrietado para 5% de erosión y no erosionado (Levy et al., 1998)
El equipo utilizado en la simulación fue una laptop con procesador Pentium 4 con 1.60 GHz, 480 MB en RAM y 60 GB en disco duro.
Primero se consideró el modelo geométrico en 2-D de un sector del ánima del cañón (Figura 6), aprovechando la simetría del ánima y con la finalidad de optimizar el tiempo de cómputo. En este caso, se despreció el efecto de las grietas internas con la intención de conocer los esfuerzos en los filetes del rayado a una presión interna de 95MPa y posteriormente, se compararon con los resultados de un segundo caso que incluye grietas internas alrededor del filete. En ambos casos, las dimensiones en el ánima del cañón de 3”/50 calibre (medidos alrededor de la posición de la grieta interna) son las siguientes: radio interno de 7.62 cm, espesor de 5.66 cm, profundidad del rayado de 1 mm. Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006 221 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez
Tabla 2. FIE en la grieta de 2mm de profundidad en un recipiente cilíndrico a una presión interna de 50MPa Presión Interna (MPa) 10 20 30 40 50 60 70 Ecuación Perl Ia MPa(m) 1/2 2.2982 4.5965 6.8947 9.1930 11.4912 13.7894 16.0877 Ecuación Perl Ib MPa(m)1/2 2.3039 4.6080 6.9119 9.2159 11.5199 13.8239 16.1279 Simulación MPa(m) 1/2 2.3185 4.6370 6.9555 9.2740 11.5920 13.9110 16.2290 Diferencia en % entre Simulación y Perl Ib 0.634 0.629 0.631 0.630 0.625 0.630 0.627 Análisis del ánima de un cañón en 2-D
Posteriormente, se realizó un análisis de la dis- tribución de los esfuerzos en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre, con un acero ASTM A723 (Koh, 1996), cuyas propiedades se indican en la tabla 3.
Tabla 3. Propiedades mecánicas del acero ASTM A723 utilizadas en la simulación mecánica Módulo de elasticidad Esfuerzo de fluencia Esfuerzo último Tenacidad de la fractura 200 GPa 1170 MPa 1262 MPa 148.3 MPa(m)1/2 rayado se realizó un mallado más fino con ele- mentos triangulares que formaron una trayectoria semicircular (Figura 7). Se aplicó una presión in- terna de 95 MPa y se consideraron restricciones de simetría en la parte superior e inferior del modelo geométrico.
Figura 7. Mallado fino alrededor de un filete del rayado del ánima de un cañón 3”/50 calibre Figura 6. Modelo geométrico en 2-D del ánima de un cañón 3”/50 calibre
Se utilizó un mallado con 1713 elementos plane82 y 5222 nodos. Alrededor del filete del
La distribución de los esfuerzos (Von Mises) ob- tenidos en este sector del ánima del cañón se indican en la figura 8. En ella, se observa que existe una gran concentración de esfuerzos en las cercanías de los filetes (Figura 9), alcanzando un esfuerzo máximo de 496 MPa. Aunque es un valor muy grande, no supera el esfuerzo de fluencia del material, por lo que bajo esta condición de carga y sin considerar grietas internas no producirá falla en el material. En un segundo análisis del sector del ánima, se consideraron dos grietas internas de 0.4 mm de profundidad cerca del rayado con la misma con- dición de presión (95 MPa) del caso anterior. En este caso, se utilizó un mallado de 1889 elementos con 5740 nodos, obteniendo una densidad de malla fina en la cercanía de las grietas como se muestra en la figura 10, en donde además se visua- lizan los vectores de presión aplicados en la cara transversal y sobre la grieta superior. 222 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM Análisis de los esfuerzos y fractura en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre Figura 9. Esfuerzos de Von Mises (Pa) en el filete supe rior en un sector del ánima de un cañón de 3”/50 calibre sin grietas Figura 8. Distribución de los esfuerzos de Von Mises (Pa) en un sector del ánima de un cañón de 3”/50 calibre sin grietas
Los resultados obtenidos en la distribución de los esfuerzos (Figura 11) indicaron un valor máximo de 835 MPa en las puntas de las dos grietas (nodos 3769 y 1165). En comparación con el sector del ánima sin grieta, se obtiene un incremento del 68.35% en los esfuerzos de Von Mises. A pesar de ello, el esfuerzo máximo aún no supera el esfuerzo de fluencia del material. En las figuras 12-13 se observó que la distribución de los esfuerzos alrededor de las grietas tiene la forma de ala de mariposa, la cual es común para este tipo de grieta con dicha condición de carga (modo I). 223 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez Figura 10. Mallado alrededor de la grieta interna supe rior en un sector del ánima del cañón 3”/50 calibre Figura 11. Distribución de los esfuerzos de Von Mises (Pa) en un sector del ánima de un cañón 3”/50 calibre con dos grietas internas de 0.4 mm de profundidad
Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006
Para encontrar el FIE en la punta de la grieta superior, se consideró una trayectoria de nodos perfectamente alineados en dirección del eje “x”, con lo cual se obtuvo un valor de 9.534 MPa(m)1/2 para el modo I.
Con la finalidad de poder establecer la validez de la teoría de la fractura linealmente elástica, se obtuvo el diámetro de la zona plástica (Figura 14) en la punta de la grieta, utilizando la ecuación 3. Su diámetro máximo para este caso fue de 0.0075 mm, con lo cual se encontró una razón rp/a=0.019, lo que garantiza la validez de la teoría de la fractura linealmente elástica.
Por la simetría en la forma de las dos grietas y con la influencia de la misma condición de carga, se observó que ambas mantienen la misma magnitud de los esfuerzos y FIE en sus puntas. 224 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM Análisis de los esfuerzos y fractura en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre Figura 12. Esfuerzos de Von Mises (Pa) en la grieta supe rior de 0.4 mm en un sector del ánima de un cañón de 3”/50 calibre Figura 13. Esfuerzos de Von Mises (Pa) en la grieta superior de 0.4 mm en sector del ánima de un cañón de 3”/50 calibre
Los modelos geométricos anteriores en 2-D son muy útiles para conocer la distribución de los esfuerzos y el FIE en la sección más crítica del ánima de un cañón (inicio del rayado). Además, tienen la ventaja que no se necesita un mallado demasiado grande para sus análisis, pero está limitado a grietas simétricas y longitudinales. Para el caso de grietas que no cumplan con este re- quisito, se necesita un análisis en un modelo geo- métrico en 3-D. Análisis del ánima de un cañón en 3-D
Con el objetivo de considerar el efecto que pro- ducen las grietas semicirculares en el ánima del cañón de 3”/50 calibre, se realizó un modelo en 3-Dconlosmismosradios,profundidadderayado y material del caso en 2-D. La grieta tiene una forma semicircular de 0.4 mm de radio, la cual está localizada a la mitad de los dos extremos del rayado. El mallado (Figura 15) del sector del ánima, está compuesto de 19003 elementos del tipo solid95 con 30276 nodos. Este mallado es muy denso porque alrededor de la grieta se realizó un mallado muy fino (Figura 16), para obtener una forma semicircular alrededor de ésta y con elementos triangulares muy pequeños alrededor de ella, que garanticen una solución confiable. Como condición de carga se aplicó una presión interna de 95 MPa (Figura 17), con lo cual se obtuvo una distribución de los esfuerzos (Von Mises) del sector como se muestra en la figura 18. Alrededor de los filetes del rayado se encontraron magnitudes de esfuerzos cercanos a 484 MPa como se observa en la figura 19. Los esfuerzos máximos se encuentran localizados alrededor de la grieta semicircular (Figura 20), siendo 865 MPa el valor máximo y ubicado en el extremo frontal de la grieta (nodo 25392). Este esfuerzo no supera el límite de fluencia del material, por lo que no fallará por fluencia para esta condición de carga. Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006 225 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez Fig. 14. Región plástica en la punta de la grieta supe rior de 0.4 mm de profundidad en un sector del ánima de un cañón 3”/50 calibre, modelo en 2D Con base a la magnitud del FIE obtenido en la grieta interna superior, se encontraron los valores de la razón de energía liberada G y la mínima densidad de energía de deformación S, así como los valores críticos para que la grieta empiece a propagarse (Tabla 4). Los resultados obtenidos indican que el ánima del cañón puede seguir operando bajo condiciones estables para esta condición de carga.
Tabla 4. Criterios de falla para el modo I de carga en la grieta interna de 0.4mm del ánima de un cañón de 3”/50 calibre Razón de Energía Liberada (G) 2 (G I) (G IC) 413.58 J/m 100,067.65 J/m2 2 Mínima Densidad de (S I) Energía de Deformación (S) (S IC) 118.17 J/m 28,590.76 J/m2
226 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM Análisis de los esfuerzos y fractura en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre Figura 15. Mallado del sector del ánima en 3-D, con grieta semi cir cular de 0.4 mm de radio, de un cañón de 3”/50 calibre Figura 16. Mallado fino alrededor de la grieta semi cir cular del sector del ánima en 3-D de un cañón de 3”/50 calibre
227 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez Figura 18. Esfuerzos de Von Mises (Pa) en el sector del ánima en 3-D de un cañón 3”/50 calibre
Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006 Figura 17. Presión interna de 95 MPa en el sector del ánima en 3-D de un cañón de 3”/50 calibre
228 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM Análisis de los esfuerzos y fractura en el ánima de un cañón de 3”/50 calibre Figura 19. Esfuerzos de Von Mises (Pa) en la parte interna del sector del ánima en 3-D de un cañón 3”/50 calibre Figura 20. Esfuerzos de Von Mises (Pa) alrededor de la grieta semi cir cular del sector del ánima de un cañón de 3”/50 calibre
Para el análisis de la fractura se obtuvo el FIE en los dos extremos de la grieta. Para el extremo frontal de la grieta se logró un valor de 5.203 MPa(m)1/2y para el extremo lateral se encontró una magnitud de 4.782 MPa(m)1/2. Con la finalidad de poder establecer la validez de la teoría de fractura linealmente elástica, de acuerdo a la ecuación 3, se encontró la forma y tamaño de la zona plástica en los dos extremos de de la grieta (Figuras 21-22). De la gráfica anterior, se observó que el diámetro máximo de la zona plástica en el extremo r frontal es aproximadamente 0.0023 mm, obtenien- dounarazónr p/a= 0.00575 y en el extremo lateral su diámetro máximo es de 0.0019 mm produ- ciendo una razón p/a = 0.00475. Estas razones son menores de 0.02, y por ende, los criterios de falla de la teoría de la fractura linealmente elástica son válidos. Los criterios de falla son mostrados en la tabla 5 y se observa que la grieta no provocará falla por fractura para este tipo de grieta y condiciones de carga, ya que estos criterios se encuentran lejos de su valor crítico. Vol.VII No.4 -octubre-diciembre- 2006 229 A.L. Herrera-May , L.A. Aguilera-Cortés, J. Hernández-Hernández y P.J. García-Ramírez Figura 21. Región plástica en el extremo frontal de la grieta semi cir cular de 0.4 mm de radio de un cañón de 3”/50 calibre, modelo en 3D Figura 22. Región plástica en el extremo lateral de la grieta semi cir cular de 0.4 mm de radio de un cañón de 3”/50 calibre, modelo en 3D
r Conclusiones
El método del elemento finito por medio del paquete comercial ANSYS9.0© fue una herra- mienta muy útil en el análisis de los esfuerzos del ánima de un cañón de 3”/50 calibre. En los casos mostrados del ánima, los esfuerzos máximos de Von Mises no superaron el esfuerzo de fluencia del acero ASTM A723, por lo que es segura la operación del cañón bajo la condición de presión interna de 95 MPa para los tipos de grietas analizados. En el análisis se observó una con- centración mayor de los esfuerzos en las puntas y extremos de las grietas, el cuál resulta lógico. La generación de las grietas internas de 0.4 mm de longitud en el modelo geométrico en 2-D, provocó un incremento del 68.35% en los esfuerzos de Von Mises con una presión interna de 95 MPa. El mo- delo geométrico en 2-D es muy útil cuando se tienen grietas longitudinales en el ánima, ya que el mallado no es tan extenso y el tiempo de cómputo es relativamente menor.
Para incluir el efecto de una grieta semicircular se realizó un modelo geométrico en 3-D del sector del ánima del cañón, en donde se obtuvo un ma- llado muy fino alrededor de la grieta para obtener resultados confiables. Los esfuerzos máximos de Von Mises obtenidos en este modelo se concen- tran en la punta de la grieta, pero sin superar los esfuerzos de fluencia del material.
En el análisis de fractura se consideraron los criterios de falla de la mecánica de la fractura linealmente elástica (LEFM). En todos los casos, se demostró que se podían aplicar estos criterios, ya que no se superó la razón p/a = 0.02. Para el sector del ánima con una grieta de 0.4 mm, se visualizó que el factor de intensidad de esfuerzos está lejano del valor crítico, lo cual garantiza una operación segura del ánima bajo una presión interna de 95 MPa. En el análisis de 3-D, se consideró una grieta semicircular de 0.4 mm de radio, sujeta a la misma condición de carga. Bajo esta condición fue posible aplicar los criterios de falla de la LEFM, los cuáles demostraron que se encuentra lejana una posible falla por fractura para esta condición de carga. La utilización de los modelos geométricos propuestos en 2-D y 3-D del ánima de un cañón con ANSYS9.0©, reduce el tiempo de cómputo y son de fácil manejo para la obtención de los esfuerzos y el FIE que le oca- sionan grietas internas. La simulación mecánica de un modelo de prueba de un recipiente cilíndrico fue realizada para validar sus resultados com- putacionales con las ecuaciones de Perl, obte- niendo un porcentaje de error menor al 1%.
Referencias
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Tabla 5. Criterios de falla para el modo I de carga en la grieta semi cir cular interna de 0.4 mm del ánima de un cañón de 3”/50 calibre Razón de Energía Liberada (G) en J/m2 Mínima Densidad de Energía de Deformación (S) en J/m2 ) E.F.1 E.L.2 (GI) 123.17 J/m2 104.06 J/m2 (GIC 100,067.65 100,067.65 (SI) 35.19 29.73 (SIC) 28,590.76 28,590.76 1 Extremo frontal 2 Extremo lateral
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