Ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos

¨ No basta saber, se debe también aplicar.

No es suficiente querer, se debe también hacer.¨

RESUMEN

El objetivo de este trabajo consiste en establecer las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos (Ecuaciones de Navier – Stokes), las cuales resultan ser también de suma importancia tanto para la ingeniería como para la medicina.

En efecto, sin ellas resultaría matemáticamente imposible describir, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria.

INTRODUCCIÓN

Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina.

Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes.

El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente.

A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar.

Los modelos basados en la teoría de dinámica de fluidos han sido desarrollados desde los 1950's y se han utilizado en la ciencia de tránsito con un éxito considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con enfoque macroscópico sobre el flujo de tránsito de autos se puede desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a derecha.

DESARROLLO

I.1 Ecuaciones de Navier – Stokes

I.1.1 Ecuaciones fundamentales de la Mecánica (movimiento de fluidos)

Establezcamos las ecuaciones del movimiento de un fluido compresible y viscoso. Para el caso general de un movimiento tridimensional, el campo de corrientes está determinado por el vector velocidad

con las tres componentes rectangulares además de la presión y la densidad Para la determinación de estas cinco magnitudes disponemos de la ecuación de continuidad (conservación de la masa), las tres ecuaciones del movimiento (conservación de la cantidad de movimiento) y la ecuación termodinámica de estado , es decir, cinco ecuaciones también.

La ecuación de continuidad expresa que la suma de las masas entrante y saliente por unidad de volumen en la unidad de tiempo es igual a la variación de la densidad por unidad de tiempo (véase ). Luego, para el movimiento no estacionario de un fluido compresible ella podrá escribirse como:

(I.1)

mientras que para un fluido incompresible toma la forma simplificada

(I.1a)

Para establecer las ecuaciones fundamentales del movimiento partimos de las leyes fundamentales de la Mecánica, según las cuales, el producto de la masa por la aceleración es igual a la suma de las fuerzas. Las fuerzas que actúan, son fuerzas de masa (peso) y fuerzas de superficies (fuerzas de presión y de rozamiento).

Sean la fuerza másica por unidad de volumen (vector del campo gravitatorio terrestre) y la fuerza de superficie por unidad de volumen, luego, las ecuaciones del movimiento en notación vectorial vendrán dadas por:

(I.2)

siendo

la fuerza de masa, la fuerza superficial y la aceleración sustancial respectivamente.

Las fuerzas másicas se consideran fuerzas exteriores, mientras que las fuerzas superficiales dependen del estado de deformación (estado de movimiento) del fluido.

El conjunto de fuerzas superficiales determinan un estado de tensión. Nuestro objetivo es ahora, obtener la relación entre el estado de tensión y el estado de deformación.

I.1.2 Campo general de tensiones de un cuerpo deformable

Para formular las fuerzas de superficie, imaginemos un elemento de volumen de forma cúbica con su vértice inferior izquierdo en el punto .

Es conocido de la Mecánica que la fuerza total procedente de las fuerzas de superficie, por unidad de volumen es,

(I.3)

con

donde denota las tensiones normales y sus índices las direcciones normales, mientras que representa las tensiones tangenciales y en doble índice, el primero indica la dirección a la cual es perpendicular el elemento de superficie y el segundo la dirección en la que apunta la tensión .

La tensión puede ser determinada mediante nueve magnitudes escalares, que forman un tensor de tensiones. El conjunto de las nueve componentes del tensor se llaman también matriz del tensor

Se puede demostrar, que las tensiones tangenciales con iguales índices pero en orden inverso, deben ser iguales, o sea , y . Esto resulta de la igualdad de momentos alrededor de un eje arbitrario para cuerpos elásticos en equilibrio (véase ). Por tanto, la matriz del tensor que tendrá solo seis componentes distintas y será simétrica se puede escribir como

(I.5)

De las ecuaciones (I.3), (I.4) y la simetría de las tensiones tangenciales expresadas en (I.5) tendremos que, la fuerza de superficie por unidad de volumen será

(I.5a)

Luego, si consideramos la ecuación de movimiento (I.2) escrita para la fuerza total procedente de las fuerzas de superficie , ésta expresada por componentes tomará la forma

(I.6)

Para un fluido sin rozamiento, todas las tensiones tangenciales son nulas, solo quedan las tensiones normales, que además son iguales entre sí y cuyo valor cambiado de signo, se llama presión del fluido :

De ahí que, la presión del fluido es también igual a la media aritmética de las tensiones normales cambiada de signo, o sea:

(I.7)

El sistema de las ecuaciones (I.6) contiene las seis componentes de la tensión El paso siguiente debe ser poner en relación estas seis componentes con las deformaciones, y de aquí con las tres componentes de la velocidad

Según se conoce de la Mecánica, la ley general de Hooke para un cuerpo sólido elástico escrita en forma matricial viene dada por

(I.8)

donde son las tres componentes del desplazamiento el módulo de rigidez y como habíamos dicho, la media aritmética de las tensiones normales.

I.1.3 Relación entre las tensiones y la deformación para líquidos y gases

La ecuación matricial (I.8) expresa también inmediatamente la ley de la resistencia de Stokes, con la única diferencia de que las tensiones, según la ley de Stokes, son proporcionales a las velocidades de la deformación. De aquí resulta que el tensor de las tensiones para un fluido en movimiento se obtiene sustituyendo en la ecuación (I.8) el desplazamiento

por la velocidad de desplazamiento

que se identifica con el vector velocidad usual. En lugar del módulo de rigidez , aparece el coeficiente de viscosidad . Además sustituiremos la media aritmética de las tensiones normales por la presión del fluido cambiada de signo , de acuerdo con la ecuación (I.7). Con estas modificaciones, la fórmula de Stokes para la matriz de las tensiones de un fluido, análoga a la expresión (I.8), será:

(I.9)

Luego, si separamos de las tensiones normales la presión, poniendo

(I.10)

obtendremos las siguientes expresiones para las componentes de la resistencia o viscosidad:

Para fluidos viscosos incompresibles desaparece el último término de la ecuación (I.9) por ser , mientras que para fluidos no viscosos () e incompresibles dicha ecuación se reduce a ; ; al igual que para fluidos compresibles y no viscosos.

I.1.4 Ecuaciones de Navier – Stokes

Las ecuaciones del movimiento (I.6) una vez separada la componente de la presión independiente de la resistencia según (I.10), toman la forma

Con estas expresiones de Stokes obtendremos la fuerza superficial resultante en función de las componentes de la velocidad, por ejemplo, para la dirección la ecuación (I.5a) nos da

y según (I.11)

Para y se obtienen expresiones análogas.

Si sustituimos estas expresiones fundamentales en (I.6), obtendremos el sistema de ecuaciones:

(I.12a,b,c)

conocido con el nombre de ecuaciones de Navier – Stokes las cuales constituyen el fundamento de toda la Mecánica de Fluidos . A ellas hay que añadir la ecuación de continuidad, que para fluidos compresibles, según la ecuación (I.1) es

(I.13)

Para flujo incompresible todavía se simplifica más este sistema de ecuaciones, aun en el caso de no ser constante la temperatura.

En primer lugar, según la ecuación (I.1a) se tiene . Además, por ser pequeña la variación del coeficiente de viscosidad con la temperatura, se le puede considerar como constante. Véase Cap. I de :

Luego, las ecuaciones (I.12a,b,c) y (I.13) desarrollando las aceleraciones, se convertirán en:

(I.15)

Estas ecuaciones de Navier – Stokes dadas en (I.14a,b,c) para fluidos incompresibles, se pueden escribir en forma vectorial, así:

(I.16)

donde representa el operador de Laplace

Ellas, se diferencian de las ecuaciones eulerianas del movimiento para fluidos no viscosos por la presencia del término de la resistencia .

Puesto que la fórmula de Stokes para la fuerza del rozamiento es puramente empírica, no es seguro, a priori, que las ecuaciones de Navier – Stokes describan correctamente el movimiento de un fluido. Por eso es necesario una demostración a posteriori, que solo es posible por vía experimental.

A pesar de las grandes dificultades matemáticas que ofrecen estas ecuaciones, son conocidas algunas soluciones particulares que resultan ser interesantes, como por ejemplo, el flujo por tubos (cilindros), así como el flujo correspondiente a la capa límite, las cuales concuerdan perfectamente con los resultados experimentales, no permitiendo dudas sobre la validez general de las ecuaciones de Navier – Stokes.

Veamos a continuación que forma presentan las ecuaciones de Navier – Stokes y de continuidad en coordenadas cilíndricas.

Si designamos por las coordenadas axial, radial y angular, y por las componentes de la velocidad en las direcciones de dichas coordenadas, obtenemos estas ecuaciones en coordenadas cilíndricas para fluidos incompresibles que de las ecuaciones (I.15) y (I.16) se escriben como sigue

Particularmente podemos destacar que, en el modelo de hemodinámica en arterias de Antanovskii – Ramkissoon , las ecuaciones de continuidad y de Navier – Stokes toman la forma

(I.17)

(I.18)

(1.19)

puesto que allí, el fluido es compresible y viscoso, no actúan fuerzas másicas por unidad de volumen (fuerzas externas), y no se considera la componente angular de la velocidad, o sea,

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Espero que este pequeño trabajo, donde se labora el camino para establecer las ecuaciones fundamentales de la Dinámica de Fluidos, tribute y estimule a investigaciones más profundas sobre este importante e interesante tema que nos ayuda a describir, con cierta elegancia matemática, la dinámica presente en infinidad de situaciones en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Por citar sólo algunos.

REFERENCIAS

ANTANOVSKII, L. K. A. R., H. Long – wave peristaltic transport of a compressible viscous fluid in a finite pipe subject to a time – dependent pressure drop. Fluid Dynamics Research, 1997, 19: 115-123. SCHLICHTING, H. Teoría de la Capa Límite. Madrid, 1979.

Autor:

Yoisell Rodríguez Núñez

Lic. Matemática; Prof. Instructor

UNIVERSIDAD DE LA HABANA

Facultad de Matemática y Computación

Ciudad de la Habana

Enero 2006