FIG. MUESTREADOR MEDIANTE IMPULSOS
EQUIVALENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO
En el esquema del sistema digital de control dado en la fig. , vemos que el sistema digital de control contiene ambos partes discretas y. Al diseñar un sistema digital de control, necesitamos encontrar el equivalente discreto de la parte continua a fin de que sólo necesitamos ocuparnos de funciones discretas.
Para esta técnica, consideraremos la siguiente parte del sistema digital de control y reacomodaremos como sigue.
REACOMODO DE LA PARTE CONTINUA
El reloj conectado a los convertidores d/a y a/d suministra un pulso cada t segundos y cada d/a y a/d envía una señal sólo cuando el pulso llega. El propósito de tener este pulso es requerir a ese hzoh (z) tiene sólo datos u(k) para trabajar y produzca sólo datos de salida y(k); así, hzoh (z) puede ser realizado como una función discreta.
La filosofía del diseño es la siguiente. Queremos encontrar una función discreta hzoh (z) tal que para una entrada constante al sistema continuo h(s), la salida probada del sistema continuo corresponde a la salida discreta. Supongamos que la señal u(k) representa una porción de la señal de entrada. Hay técnicas para tomar esta muestra u(k) y hacerla producir una señal continua uhat(t). El boceto debajo muestra que la uhat(t) es mantenida constante en u(k) sobre el intervalo kt a (k + 1) T. Esta operación de mantener constante uhat(t) sobre el tiempo de muestreo es llamado RETENEDOR DE ORDEN CERO.
El retenedor de orden cero aplica la señal uhat(t) que va a través de H2(s) y A/D para producir la salida y(k) que será la misma señal como si la señal continua u(t) pase a través de H(s) para producir la salida continua y(t).
SEÑALES DIGITALES Y CONTINUAS
Ahora volveremos a dibujar el esquemática, considerando Hzoh (z) en lugar de la porción continua.
DIAGRAMA DE BLOQUES CON UN RETENEDOR DE ORDEN CERO
Colocando a Hzoh (z), podemos diseñar sistemas digitales de control ocupándose sólo funciones discretas.
NOTA: hay ciertos casos donde la respuesta discreta no hace juego con la respuesta continua debido a un circuito de agarre implementado en los sistemas digitales de control.
UNIDAD II
Análisis de sistemas de control en tiempo discreto (basado en el plano z).
2.1.-TIPOS DE MUESTREO
Tipos de operaciones de muestreo
1.- MUESTREO PERIODICO:
Es el que tine instantes de muestreo espaciados de manera uniforme O tk= KT ( K= 0, 1, 2, 3, 4……) es el mas convencional.
2.-MUESTREO DE ORDEN MULTIPLE:
Es el patron de los tk se repite periodicamente, esto es tktr-tk es contante para toda k.
3.-MUESTREO DE TAZA MULTIPLE:
Se emplea en los sistemas de control en lazos multiples que tienen constantes de tiempo diferentes. Es recomendable tener diferentes periodos de muestreos en diferentes trayectorias de realimentacion.
2.2.- RECONSTRUCCION DE SEÑALES ORIGINALES A PARTIR DE SEÑALES MUESTREADAS.
Teorema de muestreo: si la frecuencia de muestreo es suficientemente alta, comparada con la componente de mas alta frecuencia que se incluye en la señal en tiempo continuo, las caracteristicas de amplitud de la señal en tiempo continuo se pueden preservar en la envolvente de la señal muestreada.
Para reconstruir la señal original a partir de una señal muestreada, existe una frecuencia minima que la operación de muestreo debe satisfacer. Dicha frecuencia minima se especifica en el teorema de muestreo.
Como se vio anteriormente, en el tema de muestreo mediante impulso
2.3.- FUNCION DE TRANSFERENCIA.
2.3.1.- DE IMPULSO.
La funcion de tranferencia del retenedor de orden cero, involucra al muestreador de impulso unitario.
Nos interesa la relacion que existe entre la señal h(t) con x(t).
Consideremos al muestreador y retenedor de orden cero como se vio en las graficas y supongase que la señal x(t) es 0 para t < 0 entonces la salida h(t) esta relacionada como sigue:
Sabemos que la transformada de laplace de una funcion impulso es
A) ELEMENTOS DE CASCADA
Son señales que se observan en un sistema de control muestreado.
Considere el sistema que se muestra
A partir del diagrama se obtiene
U(s) =G(s) X*(s) Y(s) = H(s) U*(s)
Al tomar la transformada de laplace asterisco de cada una de las funciones se obtiene:
U*(s) =G*(s) X*(s)
Y* (s) = H* (s) U*(s)
Entonces:
Y* (s) = H* (s) [G*(s) X*(s)]
Acomodando la funcion queda:
Y* (s) = G*(s) H* (s) X*(s)
En terminos de la notacion de la transformada Z se tiene:
B) SISTEMAS DE LAZO CERRADO
En un sistema de lazo cerrado la existencia o no de un muestreador de salida en el lazo, hace que el comportamiento del sistema sea diferente
Observe que en el sistema, el error actuante esta muestreado.
2.3.2.-SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO EN LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL
En la fig. A se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital. Aquí el muestreador, el convertidor a/d, el controlador digital, el retenedor de orden cero y el convertidor d/a producen una señal de control u(t) en tiempo continuo (constante por pedazos) para ser alimentada la planta. En la b se muestran las funciones de transferencia de los bloques involucrados en el sistema.
La función de transferencia del controlador digital se muestra como g*d(s). En el sistema real la computadora (controlador digital) resuelve una ecuación en diferencias cuya relación entrada-salida está dada mediante la función de transferencia pulso GD(z).
FIGURA A) DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL; B) DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE QUE MUESTRA LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS BLOQUES
En el presente sistema la señal de salid a c(t) se alimenta de regreso para ser comparada con la señal de entrada r(t).
La señal de error e(t) = r(t) – c(t) se muestrea, y la señal analógica se convierte en digital a través de un dispositivo a/d. La señal digital e(kt) se alimenta al controlador digital, el cual opera sobre la secuencia muestreada e(kt) de una manera adecuada para producir la señal m(kt).
Esta relación conveniente entre las secuencias m(kt) Y e(kt) se especifica mediante la función de transferencia pulso GD(z) del controlador digital. [mediante la selección adecuada de los polos y ceros de GD(z), se puede generar un buen número de características de entrada-salida.]
A) DE LAZO CERRADO
REDUCCION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES.
El objetivo es hallar la funcion de transferencia de datos muestreados en lazo cerrado de un grupo de subsistemas que tienen una computadora en el lazo.
Para manipular diagramas a bloques para sistemas de datos muestreados tomese en cuenta que:+
Las funciones del dominio s tienen que multiplicarse antes de tomar la transformada Z.
Empleamos la notacion G1G2(s) para denotar una sola funcion, que es G1(s) G2(s), despues de evaluar el producto, en consecuencia :
FORMAS BASICAS DE DATOS MUESTREADOS (SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS Y SUS TRANSFORMADAS Z).
Con el uso de las formas basicas, podemos encontrar la transformada z de los sistemas de control realimentados. Se ha mostrado que cualquier sistema g(s), con entrada muestreada y salida muestreada, como los que se vieron anteriormente, se pueden representar como una funcion de transferencia de datos muestreados g(z), entonces se busca efectuar manipulaciones de diagramas de bloques que de por resultado subsitemas, asi como todo el sistema con realimentacion que tenga entradas muestreadas y salidas muestreadas. Entonces podemos hacer la transformacion a funciones de transferencia de datos muestreados.
Ejemplo: encuentre la transformada z del siguiente sistema
Una operación que se puede hacer es poner un muestreador ¨ fantasma¨ a la salida de cualquier subsistema que tenga una entrada muestreada, siempre que la naturaleza de la señal enviada a cualquier otro subsistema no cambie.
B)
Como podemos ver, colocamos un muestreador fantasma s4, la justificacion para esto, desde luego, es que la salida del sistema de datos muestreados solo se puede encontrar en los instantes de muestreo de todos modos, y la señal no es entrada a ningun otro bloque.
Otra operación que se puede efectuar, es sumar los muetreadores ficticios s2 y s3 a la entrada a un punto suma, cuya salida es muestreada. La justificacion para esta operación es que la suma muestreada es equivalente a la suma de entradas muestreadas, siempre que todos los muestreadores esten sincronizados
C)
A continuacion mueva el muestreador S1 Y G(s) a la derecha del punto de la union. El motivo para este movimiento es obtener un muestreador a la entrada de G(s) H(s) para compararse con b) del mismo modo, se compara el G(s) con el muestreador s1 a la entrada y el muestreador s4 a la salida con la figura a). El sistema en lazo cerrado tiene ahora una entrada muestreada y una salida muestreada.
La G(s) H(s) son los muestreadores S1 y S3 se convierte en GH(z) Y G(s) con los muestreadores S1 Y S4 , se convierte en G(z).
D)
TAMBIEN CONVIRTIENDO R*(s) EN R(z) Y C*(s) EN C(z), TENEMOS AHORA EL SISTEMA REPRESENTADO TOTALMENTE EN EL DOMINIO DE Z
PODEMOS APLICAR LOS MODELOS BASICOS DE S PARA Z NOS QUEDA:
CONFIGURACIONES TÍPICAS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO EN LAZO CERRADO
B) CONTROLADOR PID DIGITAL
El esquema de control pid analógico ha sido usado de manera exitosa en muchos sistemas de control industrial por más de medio siglo. El principio básico del esquema de control pid es que actúa sobre la variable a ser manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de control: acción de control proporcional (donde la acción de control es proporcional a la señal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de realimentación); la acción de control integral (donde la acción de control es proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción de control derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de error actuante).
En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una sola computadora digital (como un esquema de control en el que se controlan desde unos cuantos lazos hasta cientos de éstos mediante un solo controlador digital), la mayoría de los lazos de control se pueden manipular mediante esquemas de control pid.
La acción de control pid en controladores analógicos está dada por
Donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida del controlador (señal manipulada), K es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de adelanto).
La función de transferencia pulso para el controlador pid digital está dada por:
Nótese que la ganancia proporcional Kp para el controlador pid digital es más pequeña que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de KI /2.
FIGURA DIAGRAMA DE BLOQUES DE LA REALIZACIÓN DEL ESQUEMA DE CONTROL PID EN LA FORMA DE VELOCIDAD.
Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control pid, son básicas en controles digitales debido a que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos de control, en particular a problemas en control de procesos. Observe que, en los controladores digitales, las leyes de control se pueden implementar mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware de los controladores pid se pueden ignorar por completo.
2.4.-CONTROLADORES
Diseño de control en tiempo discreto
El diseño en sistemas de control en td, es similar en principio al diseño de sistemas en tc, el objetivo del diseño como se vio anteriormente es determinar el controlador para que el sistema tenga un desempeño según las especificaciones, de hecho en la mayoria de las situaciones el proceso controlado es el mismo excepto en sistemas en td el controlador esta diseñado para procesar datos digitales o muestreados.
Existen 2 tipos de diseño de un sistema de control con controladores digitales:
1.- en cascada
2.-por realimentacion del estado digital.
control digital en cascada.
CONTROL DIGITAL CON REALIMENTACION DE ESTADO.
Hoy en dia el 100% de los controladores que funcionan en la industria sondigitales, el siguiente esquema representa un sistema de control digital tambien llamado por computador. (con microcontrolador y microprocesador).
Ventajas del control por computador respecto del control analógico:
Determine comunicación en red (control centralizado)
Incorpora otras funciones, como:
-monitorización
–almacenamiento de variables (generaciones de informes)
-incorporación de alarmas
-facil supervision
Permite controles mas avanzados que requiere de calculos mas complejos.
-control basado en lógica difusa
-controles no lineales
IMPLEMENTACION DIGITAL DEL CONTROLADOR PID
Para poder implementar en un computador un controlador pid continuo es necesario obtener una ecuación en diferencias discreta a partir de la ec. Diferencial continua. Se llama discretizacion a la accion de obtener un ecuación en diferencias que aproxime el comportamiento de una ecuación diferencial.
LA ECUACIÓN DIF. DE UN PID CONTINUO
LA APROXIMACION DISCRETA CONSISTE EN APROXIMAR LA ECUACION DIFERENCIAL, OBTENIENDO u(KT) A PARTIR DE LOS VALORES DE e(t) EN LOS PERIODOS DE MUESTREO.
La aproximacion de la derivada es:
Mientras que la integral se puede aproximar como:
De esta forma se tendría:
La componente proporcional kp se implementa en forma digital en una ganancia constante Kp, ya que una computadora o procesador, tiene una longitud, de palabra finita la constante Kp no puede realizarse con resolucion infinita
UNIDAD III
Diseño de control en tiempo discreto
3.1 CONCEPTOS BASICOS.
El diseño en sistemas de control en td, es similar en principio al diseño de sistemas en tc. El objetivo del diseño como se vio anteriormente es determinar el controlador para que el sistema tenga un desempeño según las especificaciones. De hecho en la mayoria de las situaciones el proceso controlado es el mismo, excepto en sistemas en td, el controlador esta diseñado para procesar datos digitales o muestreados.
3.2 CORRESPONDENCIA ENTRE PLANO "S" Y "Z"
Las transferncias bilineales nos dan la capacidad de aplicar nuestras tecnicas de analisis y diseño del plano "s" al plano "z".
Las transformaciones bilineales de la forma
Estas se han deducido para obtener variables lineales en S y Z. Diferentes valores de a, b, c y d se han deducido para aplicaciones en particular y dan varios grados de precision cuando se comparan las propiedades de las funciones continuas y muestradas.
Vere mos como la transformacion bilineal que relaciona los puntos del eje jw (IMAG) del plano S, con los puntos del circulo unitario del plano Z. Además, la transferencia relaciona puntos del semiplano derecho del plano "S" con puntos fuera del circulo unitario del plano Z. Por ultimo, la transformacion relaciona puntos del semiplano izquierdo del plano S con puntos dentro del circulo unitario del plano Z.
3.3 ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE LAZO CERRADO CON EL PLANO Z.
Criterios para la estabilidad.
1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raices de la ecuacion caracteristica deben presentarse en el plano z dentro de circulo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al circuito unitario hace inestable al sistema.
2. Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se convierte en criticamente estable. Tambien el sistema se convierte estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el circulo unitario en el plano z. Cualquier polo multiple en lazo cerrado sobre el circuito unitario al sistema inestable.
3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.
Entonces un sistema de control de lazo en tiempo dicreto lineal e invariante con el tiempo de una entrada/una salida se vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado se presentan por fuera del circulo unitario o cualquier polo multiple en lazo cerrado se presentan sobre el circulo unitario del plano z.
La estabilidad del sistema se define como la ecuacion:
Y puede determinarse por las lozalizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano Z como:
P (Z) = 1 + G H (Z) = 0
Ejemplo:
Determine la estabilidad del siguiente sistema de control para K=1 y T=1
Aplicamos la funcion Z
FACTORIZO
ENCONTRAMOS LOS POLOS CON LA FORMULA GENERAL
ANALISIS DE LA RESP. TRANS. Y SU ESTADO PERMANENTE.
Definiciones de las especificaciones de la respuesta transitoria.
En muchos casos productos las caracteristicas de desempeño deseadas del sistema de control se espedifican en terminos de cantidades en el dominio del tiempo.
Los sistemas que pueden almacenar energia no responden instantaneamente y presentan respuestas transitorias cada vez que esten sujetos a entradas o perturbaciones.
Con frecuencia, las caracteristicas de desempeño de un sistema de control se especifican en terminos de la respuesta transitoria para una entrada escalon unitario, puesto que esta es facil de generar, si se conoce la respuesta a una entrada a escalon, es matematicamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.
La respuesta transitoria de un sistema de control practico muestra con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estacionario al especificar la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalon unitario, es comun especificar lo siguiente.
1. Tiempo de retardo, td
2. Tiempo de salida, tr
3. Tiempo pico, tp
4. Sobre enlongacion, mp
5. Tiempo de asentamiento, ts
Recordando…
El analisis de la respuesta transitoria de 1er. Y 2do. Orden
En los sistemas de 2do. Orden que esta mucho mas enfocado a los controladores, debemos recordar los terminos de l coeficiente de amortiguamiento
Wn= FRECUENCIA NATURAL rud/seg.
La ec. Estandar o la forma estandar del sistema de 2do. Orden.
Ejemplo #1 en matlab: considere el siguiente sistema de control en tiempo discreto definido por la sig. Funcion:
OBTENGA LA RESP. TRANSITORIA A PARTIR DE UNA ENTRADA ESCALÓN UNITARIO.
Num = [ 0 0.4673 -0.3393]: xlabel("K")
Den= [ 0 -1.5327 0.6607]; ylabel(´c(K)"
R = ones (1, 41);
V = [ 0 40 0 0.6 ];
Axis (V);
K = 0:40;
C = filter (num, den, r );
Plot (K, C "O")
Grid
Title ("Respuesta a un a Entrada escalón Unitario")
EJEMPLO 2. Represente la respuesta transitoria de la respuesta a un escalon unitario de un sistema cuya F.T. ES:
1. TIEMPO DE RETARDO, td : ES EL TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA ALCANCE LA PRIMERA VEZ LA MITAD DEL VALOR FINAL.
2. TIEMPO DE SUBIDA, tr : ES EL TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA PASE DEL 10 AL 90%, DEL 5 AL 95% O DEL 0 AL 100% DE SU VALOR FINAL. PARA SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS, SUELE USARSE EL TIEMPO DE LEVANTAMIENTO DE 10 A 90%.
3. TIEMPO PICO, tp : TIEMPO REQUERIDO PARA QUE LA RESPUESTA ALCANCE EL PRIMER PICO DE SOBREELONGACION.
4. SOBREENLONGACION MÁXIMA (PORCENTAJE) Mp : ES EL MÁXIMO VALOR DEL PICO DE LA CURVA DE RESPUESTA, MEDIDO A PARTIR DE LA UNIDAD. SI EL VALOR FINAL ES ESTADO ESTACIONARIO DE LA RESPUESTA ES DIFERENTE DE LA UNIDAD, ES FRECUENTE UTILIZAR EL PORCENTAJE DE SONREENLONGACION MÁXIMA. SE DEFINE COMO:
La cantidad de sobreenlongacion máxima (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
5. TIEMPO DE ASENTAMIENTO, ts : es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final, por lo general del 2 ó 5%.
El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestion determinan que criterio de error en porcente a utilizar.
Las especificaciones en el dominio del tiempo que se han proporcionado son muy importantes, ya que todos los sistemas de control son sistemas en el dominio del tiempo; es decir deben presentar respuestas de tiempo aceptables, esto significa que el sistema de control debe modificarse hasta que la respuesta transitoria sea satisfactoria.
3.4.1 METODO BASADO EN LUGAR DE LAS RAICES.
La construcción de las graficas del lugar de las en el plano z son exactamente iguales a los del plano s. La unica diferencia en los dibujos de estos 2 planos es la interpretación de la region de estabilidad.
La ecuación catacteristica del lugar de las raices, es muy parecida a la formula de la estabilidad donde:
Grafique el lugar de las raices del siguiente sistema
Num = [ 0 1 0.8760]; den = [1 -1.2543 0.2543];
V = [ -4 4 -4 4]; axis (V)
Rlocus (num, den);
Axis scales auto – ranged
Axis scales frozen
Grid title ("Lugar de las Raices").
3.4.2 METODO BASADO EN LA RESPUESTA A LA FRECUENCIA.
Recuerde que
En un sistema estable en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo.
Estos análisis se utilizan en sistemas utópicos con una entrada de tipo sinoidal.
La entrada para un sistema.
3.4.3 METODO ANALÍTICO
Consiste en el diseño de controladores digitales para un tiempo de asentamiento minimo con un error cero en estado permanente.
Considere el siguiente sistema.
UNIDAD IV
Análisis en el espacio de estado
4.1 CONCEPTOS.
Se basa en la descripción del sistema en terminos de n- ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, que pueden combinarse en una ecuación matricial en diferencias o diferencial de primer orden. La utilización de la notación matricial simplifica en gran medida la representación matemática de los sistemas de ecuaciones.
4.2 ESPACIO DE ESTADO.
Estado o variables de estado en un sistema dinamico son las que conforman el conjunto mas pequeño de variables que determinan el estado dinámico. Para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinamico se requiere de por lo menos h variables X1, X2, …….Xn de tal forma que una vez dada la entrada para t ( to y el estado inicial en t = to y el estado futuro del sisema queda anticipado, entonces las h variables se consideran un conjunto de variables de estado.
ESPACIO DE ESTADO. El espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados estan formados por el eje X1, EJE X2, ….. EJE Xu, esto se conoce como espacio de estado.
VECTOR DE ESTADO. Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de estado se pueden considerar como los n componentes de un vector X. Un vector determina en forma unica el estado X(t) del sistema para cualquier tiempo t( to una vez dado el estado en t= to y especifica la entrada r(t) para t(to
X(K) ES EL VECTOR DE ESTADO EN EL INSTANTE K (DIMENSION n)
U(K) ES EL VECTOR DE ENTRADA EN EL INSTANTE K (DIMENSIÓN m)
Y(K) ES EL VECTOR DE SALIDA EN EL INSTANTE K (DIMENSIÓN p)
A(K) ES LA MATRIZ DEL SISTEMA (DE DIMENSIÓN n x n)
B(K) ES LA MATRIZ DE ENTRADAS DEL SISTEMA (DE DIMENSIÓN n x m)
C(K) ES LA MATRIZ DE SALIDAS DEL SISTEMA (DE DIMENSIÓN p x n)
D(K) ES LA MATRIZ DE TRANSMISIÓN DIRECTA ENTRADA-SALIDA (DE DIMENSIÓN p x m)
4.2.1 REPRESENTACIÓN PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.
Para sistemas lineales y no lineales en tiempo discreto variantes en el tiempo, la ec. Se describe
X (K + 1) = A(K) X (K) + 1B(K) U(K)
Y (K) = C(K) X (K) + 1D(K) U (K)
Para sistemas variantes en el tiempo (la varianza), la ec. De estado y de salida se describe
X (K + 1) = A X (K) + 1BU(K)
Y(K) = C X (K) + 1DU (K)
DONDE LAS MATRICES A, B, C y D SON CTES. INDEPENDIENTES.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ESTADO
La primera observación necesaria para a obtención de modelos de estado es que el posible conjunto de variables de estado no es unico. Por ejemplo, si para un sistema las variables {X1, X2 } determinan el estado, tambien {X1, X2 + X2 } lo determinan, ya que conocido un conjunto es de inmediata determinación el otro.
A partir de la funcion de transferencia en T.D.
DONDE ai bi PUEDEN SER NULOS.
MATRIZ DE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Partiendo de la misma expresión de la función de transferencia en z que en el caso anterior, se realiza la descomposición en fracciones simples de la forma:
En descomposición se obtiene el siguiene modelo de estado.
ES DECIR
DISARETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO.
Todo espacio vectorial de dimension n queda determinado por cualquier conjunto de n vectores de dicho espacio que sean linealmente independientes.
Si (X1, X2 . . . . Xn ) son las componentes de un vector respecto de una base:
X= X1 , U1 + X2 U2 + . . . + Xn Un
Y se toma una segunda base formada por los vectores linealmente independientes (t1 , t2 . . . Tn ) entonces el vector X se puede expresar como:
X= W1 t1 + W2 t2 + . . . + Wn tn
Denominado ? a la matriz formada por componentes de los vectores de la nueva base respecto de la antigua:
4.3.ANALISIS DE ESTABILIDAD DE LIAPUNOV
SISTEMA ASINTOTICAMENTE ESTABLE
Encuentre del siguiente control digital el modelo de estado por medio de la variable de Jordan.
Aplicar modelo básico
Aplicado a la variable de Jordan
Partiendo de la funcion de transferencia y teniendo en cuenta los polos del sistema
UNIDAD V
Polos
CONCEPTOS.
Lo que se busca conocer en qué sistemas es posible transferir el estado o la salida de un punto a otro de sus respectivos espacios en un numero finito de elementos de sus secuencias o si no puede alcanzar estos puntos cuales son los mas alcanzables ( se refiere a los valores para la estabilidad)
CONTROLABILIDAD
Se dice que un punto del espacio de estados x, de un sistema discreto es controlable en [K0, K1 ] si existe una secuencia de entrada, U(K0 ) U(K0 +1). . . U(K1 –1), tal que transfiera el estado del sistema donde cualquier punto X0 de indice K0 A X1 de indice K1 finito.
La función de controlabilidad está dada.
OBSERVABILIDAD.
Determina si las variables de estado no influyan sobre la salida y por lo tanto no determinables mediante el conocimiento de las mismas, y por otro lado en sistemas de varias salidas, determinar cuales de estas son necesarias para deducir es estado del sistema.
La observabilidad se define:
Se dice que un punto en el espacio de estado, de un sistema discreto X0 es observable, si para todo indice inicial K0 existe un indice K1 finito, tal que el conocimiento de las secuencias de entrada u(K) y de salida Y(K), PARA K0 = K = K1 permite el estado inicial X0 de indice K0
Esta dada por la función
TRANSFORMACIONES.
Se utilizan para transformar ecuaciones en el espacio de estado en formas canonicas.
Se considera primeramente la ecuacion de estado en tiempo discreto y ecuacion de salida.
X(K + 1) = GX(K) + Hu(K)
Y(K) = CX(K) + Du(K)
Utilizando la forma canonica controlable:
Utilizando la matriz de transformación
UBICACION DE POLOS.
Todas las varibles de estado son medibles y disponibles para la realimentacion. Si el sistema es completamente controlable, entonces los polos del sistema en lazo cerrado pueden ubicarse en cualquier localizacion deseada mediante una realimentacion del estado, a traves de una matriz de ganancia de realimentacion del estado apropiada.
Considerando la siguiente ecuacion.
X (K + 1) = GX (K) + Hu(K)
X(K)= VECTOR DE ESTADO (DIMENSION) EN EL K-ESIMO INSTANTE DE MUESTREO.
U(K) = SEÑAL DE CONTROL (ESCALAR) ENEL K-ESIMO INSTANTE DE MUESTREO.
G = MATRIZ n X n
H = MATRIZ n X I
SISTEMA DE CONTROL LAZO CERRADO PARA UBICACIÓN DE POLOS.
Autor:
Pablo Turmero
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