Modelos de programación entera

Un modelo se dice de programación entera si incluye

alguna(s) variable(s) entera(s)

TIPOS DE VARIABLES ENTERAS

1. Variables Enteras Generales

2. Variables Binarias

CLASES DE MODELOS DE PE

Dependiendo del tipo de variables que incluyen pueden ser:

1. Modelos de PE pura

2. Modelos Mixtos

Los Modelos Mixtos son útiles cuando se incluyen

Costos Semifijos

COSTOS SEMIFIJOS

Son costos cuya magnitud no depende del volúmen producido, pero que sólo ocurren si se produce.

El modelo tipo "mochila"

EJEMPLO:

Una persona dispone de $14,000 y desea escojer la mejor combinación de entre cuatro alternativas de inversión:

La solución de este modelo Binario indica la mejor combinación.

Formulación del Modelo "Mochila"

OBJETIVO: incluir el máx # de productos de distinto valor (ci) en un espacio limitado (b)

Formulación de modelos con variables enteras

APLICACIONES TIPICAS

Modelos tipo Mochila:

se busca incluir el máximo número de diversos productos con diferente valor, en un espacio limitado.

Selección de Cartera:

seleccionar la mejor combinación de alternativas para alcanzar el máximo rendimiento.

Modelos con Costos Semi-Fijos

Modelos con costos variables y costos semi-fijos

(de preparación o de instalación.)

Problemas de Cobertura

Determinar el número mínimo de localizaciones con el objeto de proveer cobertura a un grupo de areas

Problemas de Asignación

Se busca asignar uno-a-uno recursos en forma óptima.

Programación de Recursos:

asignar optimamente recursos de manera secuencial.

Problema del Agente Viajero (TSP)

Determinar la mejor secuencia de actividades ejecutando cada actividad una sola vez.

2.1 USO DE VARIABLES BINARIAS

(se usan para indicar decisiones lógicas)

Suponga que se disponen de k alternativas y sea

Xj = 1 si se escoje la alternativa j

0 si no

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS

Alternativas que no pueden aparecer juntas en la solución

x1 + x2 ( 1

MAXIMO # ACEPTABLE DE ALTERNATIVAS

Cuando todas las alternativas no pueden estar juntas en la solución

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ( 2

ALTERNATIVAS DEPENDIENTES

El valor de una variable depende del valor de otra(s)

Ejemplo:

alternativa 2 sólo puede estar en solución si alternativa 1 se seleccionó

x2 ( x1

EJERCICIO

Suponga que X1 X2 y X3 son variables binarias cuyo valor 1 indica que se va a abrir una planta en una lugar determinado y 0 indica lo contrario. Escriba una restricción para cada una de las siguientes condiciones:

a. Si se abre la planta 1 entonces la planta 2 no debería abrirse.

b. Si se abre la planta 1 entonces la planta 2 debería abrirse.

c. Al menos una de las tres plantas debería abrirse.

d. No más de dos de las tres plantas debería abrirse.

e. Si ni la planta 2 y ni la planta 3 se abren, la planta 1 no debería abrirse.

f. Si se abre la planta 1 o la planta 3 no se abre, la planta 2 debe abrirse.

SOLUCIÓN

VARIABLES BINARIAS Y CONTINUAS

RANGOS CONDICIONADOS

Si una variable contínua puede tomar valor CERO ó, POSITIVO pero dentro de un intervalo específico

Ejemplo:

MAXIMO # DE RESTRICCIONES

Cuando una solución factible solo necesita satisfacer un subconjunto de todas las restricciones del modelo

Ejemplo:

Ejercicios. Modelos de programación entera

1. Un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compania tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1 es una planta antigua que opera con doble turno de 80 horas por semana. La planta 2 es una planta mas nueva y no opera a su capacidad total. Cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana y la planta opera 2 turnos. La siguiente tabla muestra el tiempo de producción (horas/unidad) y los costos estándar ($/unidad) en cada planta. Tambien se muestran los precios de venta de cada escritorio.

Debido a que la compañía ha estado experimentando un exceso de costos durante el ultimo periodo presupuestal, los administradores han fijado una restricción semanal sobre los costos de producción.

El Costo Semifijo por producir en cada planta asciende a $ 600 y $900 para las plantas 1 y 2 respectivamente. Además en caso de producir algun modelo de escritorio se debe asegurar una producción mínima de 100 unidades.

El presupuesto semanal para la producción en miles de pesos tambien se muestra en la tabla. Se le pide a usted averiguar cuál es el numero óptimo de escritorios de cada tipo, a producirse en cada planta con el objeto de maximizar las ganancias.

PROBLEMA 1:

Nuevas Variables y Restricciones:

2. A un paciente hospitalizado se le han restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir. De acuerdo con lo prescrito por el doctor, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día: 1000 unidades de nutriente A, 2000 del nutriente B, y 1500 unidades del nutriente C. Existen dos fuentes alimenticias disponibles F1 y F2. Cada onza de la fuente alimenticia F1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B, y unidades del C. Cada onza de F2 contiene 200 unidades de A, 250 unidades de B, y 200 unidades de C. Las fuentes alimenticias cuestan $6 y $8 por onza.

a) Si se considera que los costos de pedidos no son despreciables y ascienden a $5 y $7.5 para las fuentes F1 y F2, cuál es la mejor combinación de fuentes alimenticias?

b) Si además sólo es necesario satisfacer dos de los tres requerimientos nutritivos, cuál es la mejor combinación de fuentes alimenticias?

PROBLEMA 2:

MIN 5 Y1 + 7.5 Y2 + 6 X1 + 8 X2

SUBJECT TO

2) – 99999 W1 + 100 X1 + 200 X2 >= – 98999

3) – 99999 W2 + 400 X1 + 250 X2 >= – 97999

4) – 99999 W3 + 200 X1 + 200 X2 >= – 98499

5) – 99999 Y1 + X1 <= 0

6) – 99999 Y2 + X2 <= 0

7) W1 + W2 + W3 >= 2

END

INT Y1

INT Y2

INT W1

INT W2

INT W3

3. Una companía enfrenta el problema de determinar en qué proyectos invertir durante los próximos 4 anos. La compania dispone de un presupuesto limitado anual para inversiones. Existen 4 proyectos disponibles. A éstos se les ha caracterizado por su valor presente estimado y los costos anuales de capital requeridos. Estos se muestran en la siguiente tabla:

Requerimientos de Capital Anual (en miles de dólares)

La compra de nueva maquinaria sólo puede realizarse en caso de que la expansión de la planta se lleve a cabo y se deseen invertir en la búsqueda de nuevos productos. Desarrolle un plan de asignación de capital que muestre las erogaciones necesarias para cada uno de los 4 anos y seleccione que proyectos conviene financiar. Suponga además que se ha decidido que si se invierte en la Ampliación del almacén no se podrá invertir en Nueva Maquinaria.

4. La companía OVM fabrica un producto cuya demanda es estacional y cambia mes con mes. El pronóstico de la demanda para los proximos cuatro meses es 1800, 2200, 3400, y 2800 unidades. Debido a la demanda variable, se ha encontrado que en algunos meses existe producción en exceso lo cual ocasiona grandes costos de almacenaje y mantenimiento. En otros meses la compania no puede cubrir la demanda resultando en perdidas de oportunidades de venta.

La capacidad de la planta es de 2400 articulos por mes utilizando turnos normales. De requerirse subcontratos es posible disponer hasta de 800 articulos adicionales.

El costos variable de produccion es de $ 400 dolares por unidad, para articulos fabricados. El costo de subcontrato implica pagar un costo unitario de $450. De no venderse un articulo y almacenarse para el proximo mes se incurre en un costo de 15 dolares por mes.

De producir unidades en un mes particular es necesario realizar la preparación de maquinaria, hacer corridas de prueba y echar a andar ciertos equipos especiales, por lo quese incurriría en costos semifijos de $150. De ordenar un artículo al subcontratista se requiere incurrir en un costo semifijo de $50/orden.

Se le pide a usted que determine un programa óptimo de adquisición que minimice los costos de producción, almacenaje y subcontrato para el período de 4 meses. El programa debe satisfacer la demanda pronosticada.

PROBLEMA 4:

Nuevas Variables y Restricciones:

5. Una compañia tiene tres localizaciones alternativas para ubicar nuevos almacénes que den servicio a la región norte del país. Existen 5 clientes (C1,C2,C3,C4,C5) importantes es esta región. Se desea determinar en cuáles localizaciones se instalarán almacenes como puntos de distribución para surtir a los clientes.

SOLUCIÓN

6. (Cobertura Total ) El Alcalde del DF está considerando la reubicación de un número de estaciones de policía con el objeto de reforzar el cumplimiento de la ley en colonias de alta criminalidad. Las localidades donde potencialmente puede ubicarse estaciones de policia así como las colonias de la ciudad que pueden ser cubiertas por estas localidades se muestran en la siguiente tabla. Formule un modelo de PE para encontrar el número mínimo de estaciones cubriendo todas las colonias peligrosas.

SOLUCION:

7. (Maximizar Cobertura con recursos limitados ) Un banco está planeando abrir 2 sucursales en Monterrey. La dirección ha dividido la ciudad en 7 zonas así como ha estimado el número de clientes potenciales en c/u. . Se supone que un local ubicado en una zona podría atender a los clientes de zonas vecinas así como a los de su propia zona. (Vease la tabla siguiente)

a) Plantee un modelo de PE para encontrar las zonas dónde ubicar las sucursales con el objeto de maximizar el número de clientes potenciales atendidos.

b) Suponga que la cobertura del banco no es igual si los clientes potenciales son atendidos a través de un local que no está ubicado en la misma zona. La cobertura es del 50% en la misma zona de la sucursal establecida y 25% si los clientes acuden a sucursales fuera de su zona. Modifique el modelo para este caso.

8. Una companía necesita contratar personal de seguridad. Se estima que los guardias trabajaran turnos de 8 horas y que cada dia se necesitan seis turnos para cubrir las 24 horas. Las siguientes tablas muestran el número requerido de personal de seguridad por cada 4 horas del día y los horarios de entrada y salida de cada turno. Se necesita determinar cuántos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el número de ellos.

SOLUCION:

Problemas de planeación

Determinar la "mejor" secuencia de actividades

Mejor: costo, tiempo o distancia

Actividades: Tareas a efectuarse en varias máquinas, o

secuencia de localizaciones a visitar

TRAVELING SALESMAN PROBLEM (EL AGENTE VIAJERO)

Determinar la ruta más corta para que saliendo de un punto base se visiten diversas localizaciones "sólo una vez" y después se vuelva al punto base

EJEMPLO

Un vendedor trabaja para una compañía localizada a sur de México D.F. Esta semana debe visitar a cuatro clientes. La siguiente tabla muestra las distancias desde la compañía hasta cada cliente. El vendedor desea visitar la ruta más corta considerando que no conviene visitar a algun cliente más de una vez.

Cuántas combinaciones posibles hay ?

Saliendo de la oficina hay 4 posibles destinos

saliendo del primer destino hay 3 posibles destinos

saliendo del segundo destino hay 2 posibles destinos

saliendo del último cliente sólo hay 1 posibles destinos : la oficina

En total existen 4! = 24 posibles combinaciones

Cual es la de menor costo o tiempo ?

SOLUCIÓN

Tour : secuencia de visitas

Subtour : tour en el que se visita una localización más de una vez (o su base más de veces)

Como eliminar subtours (son soluciones infactibles) ?

EJEMPLO

Una pequeña empresa tiene un contrato para llevar a cabo varios trabajos de preparación de pinturas utilizando una máquina de alta velocidad. Cuando la máquina cambia de trabajo deba limpiarse por completo antes de realizar un trabajo diferente en el que la combinación de pinturas y colorantes sea distinta. En la tabla a continuación se muestran los tiempos de limpieza en minutos para todas las posibles secuencias de trabajos. El objetivo es minimizar la suma de todos los tiempos de limpieza eligiendo la mejor secuencia de trabajos.

Trabajo

Modelos de programación entera

METODOS DE SOLUCION

Se requiere que una solución factible tenga valores enteros para alguna o todas las variables de decisión.

La Región Factible no es una región contínua sino que está formada por puntos separados.

Un Modelo de PE se llama Relajado si no se toma en cuenta la restricción de soluciones enteras.

El modelo de PE relajado es el modelo de PL

Redondear una solución de PL puede resultar en una solución lejos de la óptima ó en una solución No factible.

No existe un procedimiento de analisis de sensibilidad para modelos de PE (tal como en PL) . Tampoco se genera información sobre sensibilidad al usar la computadora.

3 MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA

METODOS DE SOLUCION

1. METODO GRAFICO

Solo 2 variables

2. REDONDEO DE LA SOLUCION DE PL

No se asegura obtener la solución óptima

En algunos casos se obtiene una solución muy lejos de

la óptima

3. ENUMERACION COMPLETA

Si hay 2 variables binarias, 4 soluciones posibles

Si hay 50 variables binarias, 250 soluciones posibles

4. RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO (Branch & Bound)

5. PLANOS DE CORTE (Strong Cutting Planes)

2.1 ENUMERACION COMPLETA

EJEMPLO

Cada nodo representa un modelo en el que alguna(s) variable(s) tiene su valor especificado

Cada nodo terminal representa una solución entera (factible ó no)

Si en un nodo cualquiera la solución es infactible los nodos que siguen bajo él, tendran solución infactible

2.1 ENUMERACION COMPLETA

EJEMPLO

2.2 REDONDEO DE LA SOLUCION DE PL

EJEMPLO:

La solución óptima de PE tiene un valor en Z que es

43% superior a la solución redondeada!

Al redondear se debe tener en cuenta la magnitud las variables

Siempre verificar que la solución redondeada se mantenga factible

2.3 RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO

(Land & Doig, 1960)

RAMIFICAR (Un modelo de PL con solución no entera):

Dividir la región factible en 2 regiones que

– no contengan la solución del modeloPL relajado

– sí contengan todas sus soluciones enteras factibles

CRITERIO BASICO:

Agregar restricciones a un modelo no puede producir

un modelo con mejor solución Z

PROCEDIMIENTO DE MAXIMIZACION

1. Resolver Modelo PE relajado

(Si solución es entera es la óptima)

2. Definir Cotas Superior e Inferior

Cota Superior (CS) = Modelo relajado

Cota Inferior (CI) = Redondeo factible

3. Ramificar

4. Para cada nodo, resolver su modelo relajado y definir su CS y CI

Si solución es entera, o

Si solución es infactible, o Ya no ramificar

Si Z ( CI más el nodo

5. Si ya no se puede ramificar

la solución óptima es la del nodo con mejor solución entera

6. Si se puede ramificar, volver al paso 3

– La CI es igual a la mejor solución entera hasta el momento

– La CS en un nodo es igual a Z encontrado

– A medida que se ramifica y se desciende del árbol la CS tiende a disminuir

RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO

CASOS ESPECIALES

MODELOS MIXTOS

Sólo ramificar variables enteras

MODELOS BINARIOS

Modelo Relajado: Reemplazar X= 0 ó 1 por X ( 1

Ramificar una variable binaria

X = 0 (1 rama)

X = 1 (1 rama)

MINIMIZAR

Cambiar CS por CI

2. Definir Cotas Superior e Inferior

Cota Superior (CS) = Redondeo factible

Cota Inferior (CI) = Modelo relajado

4. Para cada nodo,

resolver su modelo relajado y definir su CS y CI

Si solución es entera

Si solución es infactible Ya no ramificar más el nodo

Si Z > CS

– La CS es igual a la mejor solución entera hasta el momento

– La CI en un nodo es igual a Z encontrado

– A medida que se ramifica y se desciende del Arbol la CI tiende a aumentar

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Costos Reducidos y Precios Sombra Ver pág. 353 Eppen

Enviado por:

Pablo Turmero