Descomposición LU y Métodos de Gauss-Seidel

2. Objetivo general
3. Objetivos específicos
4. Descomposición LU
5. Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [U])
6. Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [L])
7. Método de Gauss-Seidel
8. Ejemplo del Método de Gauss-Seidel
9. Conclusión
10. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas:

1. Descomposición LU.

2. Método de Gauss-Seidel.

Se trata de dos importantes herramientas que sirven para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones.

A lo largo de las páginas de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce a cada tema, al tiempo que se muestran en total cuatro ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado.

Además de las explicaciones, se muestran continuamente imágenes y matrices que permiten comprender con toda claridad cada uno de los procesos que se van siguiendo en el análisis de cada paso realizado.

Las explicaciones son detalladas y tienen el fin de permitir al lector comprender cada tema aun cuando sea primera vez que lo estudie.

Normalmente estos temas tienen procesos largos y por ello son ideales para programar por computadora y no solamente para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada.

OBJETIVO GENERAL

• Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de descomposición LU y Gauss-Seidel.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Proporcionar al estudiante una idea clara y comprensible de los métodos de descomposición LU y Gauss-Seidel.
• Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar la solución de sistemas de ecuaciones, y poder así programar dichos métodos en la computadora.

DESCOMPOSICIÓN LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.

La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])

1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:

– factor * pivote + posición a cambiar