ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 13 Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical:
En el ? PNO: cos?= NP/OP= x/1
. cos? = x
De la figura:
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 14 Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.
En el ? TAO: tg?= AT/OA= y1/1
. tg? = y1
De la figura:
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 15 Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos
B(0;1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con radio prolongado que pasa por el extremo del arco.
En el ? TOB: cotg?= BT/BO= X1/1
cotg? = X1 De la figura:
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 16 Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco (A), se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco:
En el ?TOB: sec?= OT/OP= X2/1 . sec? = X2
De la figura:
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 17 Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.
En el TOB: cosec?= OT/OP= y2/1 . cosec? = y2
De la figura:
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 18
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 19 TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 20
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 21 De la expresión anterior pueden derivarse las siguientes
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 22 Relaciones fundamentales Fórmula fundamental Aplicando el teorema de Pitágoras Aplicando las siguientes definiciones
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 23 Relaciones a partir de la fundamental
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 24
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 25
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 26
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA 27
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 30 En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco.
En las paginas siguientes se explicitara para mayor claridad las funciones inversas de algunas funciones trigonométricas y sus graficas :
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 31 El arcoseno es la función inversa del seno. y = arcsen x , x = sen y
y es el arco cuyo seno es el número x.
arcsen (sen x) = x. El arcoseno también se puede escribir indistintamente como: sen-1 o sin-1
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 32 El arco coseno es la función inversa o reciproca del coseno.
y = arccos x, x = cos y y es el arco cuyo coseno es el número x. . arccos (cos x) = x.
El arco coseno también se puede expresar como: cos-1.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 33 El arco tangente es la función inversa de la tangente. y = arctg x , x = tg y y es el arco cuya tangente es el ángulo x. arctg (tg x) = x. El arco tangente también se puede escribir como: tg-1 o tan-1.
APLICACIONES PRACTICAS SubRESOLUCION DE TRIANGULOS 34
APLICACIONES PRACTICAS 35 Una de las aplicaciones practicas mas comunes en Trigonometría es la resolución de triángulos Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Primer caso: Se conocen la hipotenusa y un cateto
APLICACIONES PRACTICAS 36 Segundo caso: se conocen 2 catetos
APLICACIONES PRACTICAS 37 Tercer caso: se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
APLICACIONES PRACTICAS 38 Cuarto caso: se conocen un cateto y un ángulo agudo
APLICACIONES PRACTICAS 39 En el triangulo de la figura se cumple la siguiente relación, conocida como el Teorema del Seno:
APLICACIONES PRACTICAS 40 Teorema del Coseno: Tomando como referencia el triángulo anterior, veremos que en el mismo se cumple la siguiente relación conocida como el Teorema del Coseno
APLICACIONES PRACTICAS 41 Quinto caso: Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
APLICACIONES PRACTICAS 42 Dado el triángulo cuyos datos son los siguientes: Lado c = 63 m Ángulo B = 42° Ángulo A = 83° Calcular los valores del ángulo C y de los lados a y b. Solución: Como sabemos que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°, podemos obtener el valor del ángulo C de la siguiente manera: C = 180° – (a + b) = 180° – (83° + 42°) = 55°
APLICACIONES PRACTICAS 43 Conocido el valor de los ángulos y el lado c podemos aplicar el Teorema del seno para el cálculo de los lados:
REPRESENTACION GRAFICA 44 Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas: Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia. Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas.
Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.
REPRESENTACION GRAFICA 45
REPRESENTACION GRAFICA 46 La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma: A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ? es la frecuencia angular, y se expresa por ?= 2p/P o P = 2p/?.
REPRESENTACION GRAFICA 47
REPRESENTACION GRAFICA 48 Si graficamos el sonido producido por un diapasón afinado a 440 Hz. veríamos lo siguiente: Esta forma que se parece a las ondas que se producen en el agua cuando tiramos una piedra se llaman precisamente, función de onda asociada al sonido anterior.
REPRESENTACION GRAFICA 49 Si escuchamos a una persona cuando emite el sonido de la vocal A y lo pudiéramos graficar obtendríamos lo siguiente:
No es la misma de antes, debe de ser así ya que son sonidos distintos, pero tienen en común una forma con un patrón que se va repitiendo. Cuando eso ocurre en una función decimos que se trata de una función periódica. Se puede demostrar que dicha función se puede descomponer como suma de funciones parecidas a la anterior.
REPRESENTACION GRAFICA 50
Periodo Una característica distintiva de las funciones trigonométricas es la periodicidad Vemos que la forma de la función muestra un patrón se va repitiendo. Cuando a una función le ocurre esto decimos que se trata de una función periódica.
La longitud del patrón en el eje x le llamamos período, en este caso 360º o expresado en radianes 2p.
REPRESENTACION GRAFICA 51
Amplitud Que ocurre si multiplicamos por 2 a la función seno, f(x) = 2sen(x) Todas las imágenes quedan multiplicadas por dos y la forma de la gráfica es la siguiente:
REPRESENTACION GRAFICA 52 Volviendo a las matemáticas, llamamos amplitud de la función seno a la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo. Así en la primera gráfica sen(x) el valor máximo que tiene la función es 1 y el valor mínimo –1. La distancia entre ellos es 2. Así la amplitud será la mitad de este valor o sea 1.
En la función 2sen(x) anteriormente representada vemos que el valor máximo y mínimo son respectivamente 2 y –2 así la amplitud es 2.
En general si tenemos una función de la forma f(x) = A sen(x) su representación gráfica será parecida a las anteriores pero la amplitud será A, es decir el valor máximo será A y el valor mínimo –A.
REPRESENTACION GRAFICA 53
Frecuencia La relación entre la frecuencia y el período es:
Estas definiciones son de fundamental importancia en el análisis de la transmisión de señales telefónicas como se vera en Módulos posteriores de este Curso
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 54 O A a 90? E a ß B C D
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 55
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 56 a 90? a ß B C D A E O
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 57
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 58 Sustituyendo seno y el coseno del ángulo suma y dividiendo por (cos a · cos ß), tenemos que:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 59
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 60 Si ahora ß=a
FUNCIONES HIPERBOLICAS 61 Las funciones trigonométricas sen(t) y cos(t) pueden definirse a partir de las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la circunferencia unitaria centrada en el origen, siendo t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo x, y el segmento OP, según las siguientes igualdades: x(t) = cos(t) y(t) = sen(t)
También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo x, el segmento OP y la circunferencia unitaria.
FUNCIONES HIPERBOLICAS 62
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es:
Siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo x, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:
FUNCIONES HIPERBOLICAS 63 Se llaman funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (denotado cosh o ch), seno hiperbólico (seno o sh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas, como la tangente (tanh o th), cotangente (coth), la secante (sech) y la cosecante (cosech) hiperbólicas:
es la parte par de la exponencial
Seno hiperbólico :
Es la parte impar de la exponencial Coseno hiperbólico:
FUNCIONES HIPERBOLICAS 64 Tangente hiperbólica:
FUNCIONES HIPERBOLICAS 65 También puede probarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:
En razón que:
FUNCIONES HIPERBOLICAS 66 La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.
FUNCIONES HIPERBOLICAS 67 Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario Es la mediatriz del segmento . Centro Es el punto de intersección de los ejes. Vértices Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
FUNCIONES HIPERBOLICAS 68 Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento FF` de longitud 2c. Eje mayor Es el segmento AA’ de longitud 2a. Eje menor Es el segmento BB’ de longitud 2b. Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES 69 A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES 70 Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener El valor de los límites y
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES 71
FUNCIONES PERIODICAS 72 El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.
FUNCIONES PERIODICAS 73 Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0,?1, ? 2, ?3,..
FUNCIONES PERIODICAS 74 Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función:
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que:
T/3=2k1p, T/4=2k2p Es decir, T = 6k1p = 8k2p Donde k1 y k2 son enteros, El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir, T=24p
FUNCIONES PERIODICAS 75
FUNCIONES PERIODICAS 76 Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función f(t) = cos(w1t)+cos(w2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que w1T= 2pm, w2T=2pn De donde
Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.
FUNCIONES PERIODICAS 77 (Gp:) 0 (Gp:) 5 (Gp:) 10 (Gp:) 15 (Gp:) 20 (Gp:) 25 (Gp:) 30 (Gp:) -2 (Gp:) -1 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) (Gp:) t (Gp:) f(t)
la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.
FUNCIONES PERIODICAS 78 Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+… + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+… Donde w0=2p/T.
Es decir,
FUNCIONES PERIODICAS 79 Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como:
Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
FUNCIONES PERIODICAS 80 (Gp:) an (Gp:) bn (Gp:) qn
Con lo cual la expresión queda:
FUNCIONES PERIODICAS 81 Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
FUNCIONES PERIODICAS 82 Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.
FUNCIONES PERIODICAS 83 A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos qn son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.
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