?U3 = – ?U4 = – ?U5 = – ?U6 = – Trabajo 3 . W3 = N i ? 1/2 Fi · ri = ?K3 Energía Cinética 3 . ?K3 = N i ? 1/2 mi ai · ri Energía Potencial 3 . N i ? 1/2 Fi · ri Energía Mecánica 3 . E3 = K3 + U3 Trabajo 4 . W4 = N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K4 Energía Cinética 4 . ?K4 = N i ? 1/2 mi (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 4 . N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 4 . E4 = K4 + U4 Trabajo 5 . W5 = N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) = ?K5 Energía Cinética 5 . ?K5 = N i ? 1/2 mi (vi – V)2 + (ai – A) · (ri – R) Energía Potencial 5 . N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) Energía Mecánica 5 . E5 = K5 + U5 Trabajo 6 . W6 = N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K6 Energía Cinética 6 . ?K6 = N i ? 1/2 mi (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 6 . N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 6 . E6 = K6 + U6 Relaciones
En un sistema de partículas, entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas, se dan siempre estas relaciones (ver Anexo II)
2
K3 = K4 + 1/2 M Acm · Rcm
K5 = K6 + 1/2 M (Vcm -V)2 + (Acm – A) · (Rcm – R) K5 = K1 + K3 & U5 = U1 + U3
K6 = K2 + K4 & U6 = U2 + U4 & E5 = E1 + E3
& E6 = E2 + E4
4
El momento lineal [P1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil. P1 = constante d(P1)/dt = N i mi ai = N i Fi = 0 El momento angular [L1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L1 = constante d(L1)/dt = N i mi ri × ai = N i ri × Fi = 0 El momento angular [L2 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L2 = constante d(L2)/dt = N i mi (ri – Rcm) × (ai – Acm) = N i mi (ri – Rcm) × ai = N i (ri – Rcm) × Fi = 0 Las energías mecánicas [E1 y E2 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas cinéticas y a fuerzas no cinéticas conservativas. E1 = constante
E2 = constante ? E1 = ? K1 + ? U1 = 0
? E2 = ? K2 + ? U2 = 0 Las energías mecánicas [E3 y E4 ] de un sistema de N partículas son siempre iguales a cero, por lo tanto, permanecen siempre constantes. E3 = constante E3 = N i 1/2 mi ai · ri – Fi · ri = 0 E4 = constante E4 = N i 1/2 mi ai · (ri – Rcm) – Fi · (ri – Rcm) = 0 N i 1/2 mi (ai-Acm)·(ri-Rcm) = N i 1/2 miai·(ri-Rcm) Las energías mecánicas [E5 y E6 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas cinéticas y a fuerzas no cinéticas conservativas. E5 = constante
E6 = constante ? E5 = ? K5 + ? U5 = 0
? E6 = ? K6 + ? U6 = 0
5
Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi. En este trabajo, las magnitudes [m,r,v,a,M,R,V,A,T,K,F,P1,L1,L2,W1,K1,U1,E1,L1 W2, K2, U2, E2, L2, W3, K3, U3, E3, W4, K4, U4, E4, W5, K5, U5, E5, W6, K6, U6 y E6 ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La energía mecánica E3 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E3 = K3+U3 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E5 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E1 del sistema de partículas [E5 = E1 ] La energía mecánica E4 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E4 = K4+U4 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E6 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E2 del sistema de partículas [E6 = E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U3 y la energía potencial U5 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U3 = ( 2)U1 ] y [U5 = (1+ 2)U1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U4 y la energía potencial U6 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U4 = ( 2)U2 ] y [U6 = (1+ 2)U2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K1 = -K3 = U3 = ( 2)U1 = (2+k)E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K2 = -K4 = U4 = ( 2)U2 = (2+k)E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2) U1 = (2+k) E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2) U2 = (2+k) E2 ] 6
i = |ri – R | también expresadas como sigue: [ K5 = 1/2 mi (ri ri + ¨i ri ) ] donde r . ( ? rij ? rij + ¨ rij rij ) ] donde rij = | ri – rj | -1 1 y [ K6 = j>i /2 mi mj M 1/2 m ( ¨ t ) ] donde t = 1/2 (r – R) · (r – R) i . 1 ( ¨ tij ) ] donde tij = /2 (ri – rj) · (ri – rj) -1 1/2 m m M y [ K6 = j>i El promedio de la energía cinética K5 y el promedio de la energía cinética K6 de un sistema de partículas con desplazamiento acotado son siempre iguales a cero. La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser i N . N La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser N . también expresadas como sigue: [ K5 = i i i i i N i j La energía cinética K6 es la unica energía cinética que puede ser expresada sin necesidad ´ de introducir magnitud alguna relacionada con el Universo [ tales como: r, v, a, ?, R, etc. ] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U2 es igual a la energía potencial U1 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U2 = U1] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U4 es igual a la energía potencial U3 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U4 = U3] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U6 es igual a la energía potencial U5 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U6 = U5] Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del Universo respecto a S es igual a cero y S es además inercial si la aceleración A del centro de masa del Universo respecto a S es igual a cero. Si el origen de un sistema de referencia no rotante [? = 0] coincide siempre con el centro de masa del Universo [R = V = A = 0] entonces se logra: [ri = ri, vi = vi y ai = ai ] Por lo tanto, es posible afirmar que siempre: [vi = d(ri)/dt y ai = d2(ri)/dt2 ] Sin considerar a las fuerzas cinéticas, este trabajo no contradice la primera y segunda ley de Newton puesto que estas dos leyes siguen siendo válidas en cualquier sistema de referencia inercial. La ecuación [ Fi = mi ai ] es una simple reformulación de la segunda ley de Newton. En este trabajo, la ecuación [Fi = mi ai ] dejaría de ser válida en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial si alguna fuerza no cinética no obedeciera siempre la tercera ley de Newton en su forma fuerte y/o en su forma débil. Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. A. Torassa, Una Reformulación de la Mecánica Clásica. E. Mach, La Ciencia de la Mecánica. 7
R = M-1 V = M-1 A = M-1 . mi [|ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R)] Anexo I
El Universo
El Universo es un sistema que contiene a todas las partículas, que está siempre libre de fuerzas no cinéticas externas y que todas las fuerzas no cinéticas internas obedecen siempre la tercera ley de Newton en su forma débil y en su forma fuerte.
La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del Universo respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleración angular a del Universo respecto al sistema de referencia S, están dadas por: . M = All i mi .
.
. All i
All i
All i mi ri
mi vi
mi ai . ?
. a = d(?)/dt ? I =
. L = All i
All i ?
mi (ri – R) × (vi -V) ? donde M es la masa del Universo, I es el tensor de inercia del Universo (respecto a R) y L es el momento angular del Universo respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
.
.
.
.
.
8
Anexo II
Relaciones
En un sistema de partículas se dan siempre estas relaciones ( Las magnitudes Rcm, Vcm, Acm, Rcm, Vcm y Acm pueden ser reemplazadas por las magnitudes R, V, A, R, V y A o por las magnitudes rj, vj, aj, rj, vj y aj, respectivamente. Por otro lado, siempre R = V = A = 0 )
.
. -? (ri – Rcm) = (ri – Rcm) .
. -? (vi – Vcm) = (vi -Vcm) – ? × (ri – Rcm) (vi -Vcm)·(vi -Vcm) = (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) · (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) = (vi-Vcm)·(vi-Vcm)-2(vi-Vcm)· ?×(ri-Rcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+2(ri-Rcm)· ?×(vi-Vcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+ 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm) =
=
= (vi -Vcm)2 + 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? × (ri – Rcm) 2 (ai – Acm)·(ri – Rcm) = (ai – Acm) – 2 ? ×(vi – Vcm) + ? ×[? ×(ri – Rcm)] – a × (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai – Acm) · (ri – Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) +
?×[?×(ri-Rcm)] ·(ri-Rcm)- a×(ri-Rcm) ·(ri-Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? · (ri – Rcm) ? – (? · ? ) (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm)- 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ? · (ri-Rcm) 2 – (? )2(ri-Rcm)2 -? (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) = (vi -Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm)
9
Anexo III
Magnitudes
Las magnitudes L2, W2, K2, U2, W4, K4, U4, W6, K6 y U6 de un sistema de N partículas pueden ser también expresadas como sigue: L2 = N j>i mi mj M-1 (ri – rj) × (vi – vj) W2 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) ?K2 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 = W2 ?U2 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) W4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) ?K4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (ai – aj) · (ri – rj) = W4 ?U4 = – N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) W6 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) ?K6 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 + (ai – aj) · (ri – rj) = W6 ?U6 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) Las magnitudes W(1 al 6) y U(1 al 6) de un sistema aislado de N partículas cuyas fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil se reducen a: W1 = W2 = N i 2 1 Fi · dri ?U1 = ?U2 = – N i 2 1 Fi · dri W3 = W4 = N i ? 1/2 Fi · ri ?U3 = ?U4 = – N i ? 1/2 Fi · ri W5 = W6 = N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri ?U5 = ?U6 = – N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri 10
ri = (ri – R) vi = (vi -V) – ? × (ri – R) ai = (ai – A) – 2 ? × (vi -V) + ? × [? × (ri – R)] – a × (ri – R) (vi = d(ri)/dt) y (ai = d2(ri)/dt2 ) donde ri es el vector de posición de la partícula i, R es Una Nueva Teoría en Mecánica Relacional Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2015) Buenos Aires, Argentina ( Trabajo III ) En mecánica relacional, una nueva teoría es presentada, que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias. Adicionalmente, en este trabajo, todas las fuerzas pueden obedecer o desobedecer la tercera ley de Newton. Introducción La nueva teoría, que este trabajo presenta en mecánica relacional, se desarrolla a partir de un sistema auxiliar de partículas (denominado free-system) que es utilizado para obtener magnitudes cinemáticas (denominadas inerciales) que son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La posición inercial ri, la velocidad inercial vi y la aceleración inercial ai de una partícula i, están dadas por: . . . . . el vector de posición del centro de masa del free-system y ? es el vector de velocidad angular del free-system (ver Anexo I) Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es además inercial si la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Nueva Dinámica [1] Toda fuerza siempre es causada por la interacción entre dos o más partículas. [2] La fuerza neta Fi que actúa sobre una partícula i de masa mi produce una aceleración inercial ai, según la siguiente ecuación: [Fi = mi ai ] [3] En este trabajo, todas las fuerzas pueden obedecer o desobedecer la tercera ley de Newton en su forma débil y/o en su forma fuerte. 1
Rcm = M-1 Vcm = M-1 Acm = M-1 Rcm = M-1 Vcm = M-1 Acm = M-1 ?U1 = – L1 = K1 – U1 ?U2 = – L2 = K2 – U2 Definiciones
Para un sistema de N partículas, las siguientes definiciones son aplicables: Masa . M = N i mi Posición CM 1
Velocidad CM 1
Aceleración CM 1
Posición CM 2
Velocidad CM 2
Aceleración CM 2 .
.
.
.
.
. N i
N i
N i
N i N i N i mi ri
mi vi
mi ai
mi ri
mi vi
mi ai Momento Lineal 1
Momento Angular 1
Momento Angular 2 . P1 = . L1 = . L2 = N i N i N i mi vi
mi ri × vi
mi (ri – Rcm) × (vi – Vcm) Trabajo 1 . W1 = N i 2 1 Fi · dri = ?K1 Energía Cinética 1 . ?K1 = N i ? 1/2 mi (vi)2 Energía Potencial 1 . N i 2 1 Fi · dri Energía Mecánica 1
Lagrangiano 1 . E1 = K1 + U1 . Trabajo 2 . W2 = N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) = ?K2 Energía Cinética 2 . ?K2 = N i ? 1/2 mi (vi – Vcm)2 Energía Potencial 2 . N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) Energía Mecánica 2
Lagrangiano 2 . E2 = K2 + U2 . 2
?U3 = – ?U4 = – ?U5 = – ?U6 = – Trabajo 3 . W3 = N i ? 1/2 Fi · ri = ?K3 Energía Cinética 3 . ?K3 = N i ? 1/2 mi ai · ri Energía Potencial 3 . N i ? 1/2 Fi · ri Energía Mecánica 3 . E3 = K3 + U3 Trabajo 4 . W4 = N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K4 Energía Cinética 4 . ?K4 = N i ? 1/2 mi (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 4 . N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 4 . E4 = K4 + U4 Trabajo 5 . W5 = N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) = ?K5 Energía Cinética 5 . ?K5 = N i ? 1/2 mi (vi – V)2 + (ai – A) · (ri – R) Energía Potencial 5 . N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) Energía Mecánica 5 . E5 = K5 + U5 Trabajo 6 . W6 = N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K6 Energía Cinética 6 . ?K6 = N i ? 1/2 mi (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 6 . N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 6 . E6 = K6 + U6 Relaciones
En un sistema de partículas, entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas, se dan siempre estas relaciones (ver Anexo II)
2
K3 = K4 + 1/2 M Acm · Rcm
K5 = K6 + 1/2 M (Vcm -V)2 + (Acm – A) · (Rcm – R) K5 = K1 + K3 & U5 = U1 + U3
K6 = K2 + K4 & U6 = U2 + U4 & E5 = E1 + E3
& E6 = E2 + E4
3
Principios
El momento lineal [P1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil. P1 = constante d(P1)/dt = N i mi ai = N i Fi = 0 El momento angular [L1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L1 = constante d(L1)/dt = N i mi ri × ai = N i ri × Fi = 0 El momento angular [L2 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L2 = constante d(L2)/dt = N i mi (ri – Rcm) × (ai – Acm) = N i mi (ri – Rcm) × ai = N i (ri – Rcm) × Fi = 0 Las energías mecánicas [E1 y E2 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas conservativas. E1 = constante
E2 = constante ? E1 = ? K1 + ? U1 = 0
? E2 = ? K2 + ? U2 = 0 Las energías mecánicas [E3 y E4 ] de un sistema de N partículas son siempre iguales a cero, por lo tanto, permanecen siempre constantes. E3 = constante E3 = N i 1/2 mi ai · ri – Fi · ri = 0 E4 = constante E4 = N i 1/2 mi ai · (ri – Rcm) – Fi · (ri – Rcm) = 0 N i 1/2 mi (ai-Acm)·(ri-Rcm) = N i 1/2 miai·(ri-Rcm) Las energías mecánicas [E5 y E6 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas conservativas. E5 = constante
E6 = constante ? E5 = ? K5 + ? U5 = 0
? E6 = ? K6 + ? U6 = 0
4
Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi. En este trabajo, las magnitudes [m, r, v, a, M, R,V,A, F, P1,L1,L2,W1,K1,U1,E1,L1, W2, K2, U2, E2, L2, W3, K3, U3, E3, W4, K4, U4, E4, W5, K5, U5, E5, W6, K6, U6 y E6 ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La energía mecánica E3 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E3 = K3+U3 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E5 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E1 del sistema de partículas [E5 = E1 ] La energía mecánica E4 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E4 = K4+U4 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E6 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E2 del sistema de partículas [E6 = E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U3 y la energía potencial U5 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U3 = ( 2)U1 ] y [U5 = (1+ 2)U1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U4 y la energía potencial U6 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U4 = ( 2)U2 ] y [U6 = (1+ 2)U2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K1 = -K3 = U3 = ( 2)U1 = (2+k)E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K2 = -K4 = U4 = ( 2)U2 = (2+k)E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2) U1 = (2+k) E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2) U2 = (2+k) E2 ] 5
i = |ri – R | también expresadas como sigue: [ K5 = 1/2 mi (ri ri + ¨i ri ) ] donde r . ( ? rij ? rij + ¨ rij rij ) ] donde rij = | ri – rj | -1 1 y [ K6 = j>i /2 mi mj M 1/2 m ( ¨ t ) ] donde t = 1/2 (r – R) · (r – R) i . 1 ( ¨ tij ) ] donde tij = /2 (ri – rj) · (ri – rj) -1 1/2 m m M y [ K6 = j>i El promedio de la energía cinética K5 y el promedio de la energía cinética K6 de un sistema de partículas con desplazamiento acotado son siempre iguales a cero. La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser i N . N La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser N . también expresadas como sigue: [ K5 = i i i i i N i j La energía cinética K6 es la unica energía cinética que puede ser expresada sin necesidad ´ de introducir magnitud alguna relacionada con el free-system [tales como: r, v, a, ?, R, etc.] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U2 es igual a la energía potencial U1 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil [U2 = U1 ] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U4 es igual a la energía potencial U3 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil [U4 = U3 ] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U6 es igual a la energía potencial U5 si las fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil [U6 = U5 ] Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es además inercial si la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Si el origen de un sistema de referencia no rotante [? = 0] coincide siempre con el centro de masa del free-system [R = V = A = 0] entonces se logra: [ri = ri, vi = vi y ai = ai ] Por lo tanto, es posible afirmar que siempre: [vi = d(ri)/dt y ai = d2(ri)/dt2 ] Este trabajo no contradice la primera y segunda ley de Newton puesto que estas dos leyes siguen siendo válidas en cualquier sistema de referencia inercial. La ecuación [Fi = mi ai ] es una simple reformulación de la segunda ley de Newton. En este trabajo, la ecuación [Fi = mi ai ] seguiría siendo válida en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial incluso si todas las fuerzas desobedecieran siempre la tercera ley de Newton en su forma fuerte y en su forma débil. Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. A. Torassa, Una Reformulación de la Mecánica Clásica. E. Mach, La Ciencia de la Mecánica. 6
R = M-1 V = M-1 A = M-1 . mi [|ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R)] Anexo I
Free-System
El free-system es un sistema de N partículas que está siempre libre de fuerzas externas e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N partículas permanecen siempre constantes.
La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleración angular a del free-system respecto al sistema de referencia S, están dadas por: . M = N i mi .
.
. N i
N i
N i mi ri
mi vi
mi ai . ?
. a = d(?)/dt ? I =
. L = N i
N i ?
mi (ri – R) × (vi -V) ? donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
.
.
.
.
.
7
Anexo II
Relaciones
En un sistema de partículas se dan siempre estas relaciones ( Las magnitudes Rcm, Vcm, Acm, Rcm, Vcm y Acm pueden ser reemplazadas por las magnitudes R, V, A, R, V y A o por las magnitudes rj, vj, aj, rj, vj y aj, respectivamente. Por otro lado, siempre R = V = A = 0 )
.
. -? (ri – Rcm) = (ri – Rcm) .
. -? (vi – Vcm) = (vi -Vcm) – ? × (ri – Rcm) (vi -Vcm)·(vi -Vcm) = (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) · (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) = (vi-Vcm)·(vi-Vcm)-2(vi-Vcm)· ?×(ri-Rcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+2(ri-Rcm)· ?×(vi-Vcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+ 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm) =
=
= (vi -Vcm)2 + 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? × (ri – Rcm) 2 (ai – Acm)·(ri – Rcm) = (ai – Acm) – 2 ? ×(vi – Vcm) + ? ×[? ×(ri – Rcm)] – a × (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai – Acm) · (ri – Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) +
?×[?×(ri-Rcm)] ·(ri-Rcm)- a×(ri-Rcm) ·(ri-Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? · (ri – Rcm) ? – (? · ? ) (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm)- 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ? · (ri-Rcm) 2 – (? )2(ri-Rcm)2 -? (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) = (vi -Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm)
8
Anexo III
Magnitudes
Las magnitudes L2, W2, K2, U2, W4, K4, U4, W6, K6 y U6 de un sistema de N partículas pueden ser también expresadas como sigue: L2 = N j>i mi mj M-1 (ri – rj) × (vi – vj) W2 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) ?K2 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 = W2 ?U2 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) W4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) ?K4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (ai – aj) · (ri – rj) = W4 ?U4 = – N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) W6 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) ?K6 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 + (ai – aj) · (ri – rj) = W6 ?U6 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) Las magnitudes W(1 al 6) y U(1 al 6) de un sistema aislado de N partículas cuyas fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil se reducen a: W1 = W2 = N i 2 1 Fi · dri ?U1 = ?U2 = – N i 2 1 Fi · dri W3 = W4 = N i ? 1/2 Fi · ri ?U3 = ?U4 = – N i ? 1/2 Fi · ri W5 = W6 = N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri ?U5 = ?U6 = – N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri 9
ri = (ri – R) vi = (vi -V) – ? × (ri – R) ai = (ai – A) – 2 ? × (vi -V) + ? × [? × (ri – R)] – a × (ri – R) (vi = d(ri)/dt) y (ai = d2(ri)/dt2 ) donde ri es el vector de posición de la partícula i, R es Una Nueva Teoría en Mecánica Relacional Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (2015) Buenos Aires, Argentina ( Trabajo IV ) En mecánica relacional, una nueva teoría es presentada, que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales, que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias y que establece la existencia de nuevas fuerzas universales de interacción, denominadas fuerzas cinéticas. Introducción La nueva teoría, que este trabajo presenta en mecánica relacional, se desarrolla a partir de un sistema auxiliar de partículas (denominado free-system) que es utilizado para obtener magnitudes cinemáticas (denominadas inerciales) que son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La posición inercial ri, la velocidad inercial vi y la aceleración inercial ai de una partícula i, están dadas por: . . . . . el vector de posición del centro de masa del free-system y ? es el vector de velocidad angular del free-system (ver Anexo I) Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es además inercial si la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Nueva Dinámica [1] Toda fuerza siempre es causada por la interacción entre dos o más partículas. [2] La fuerza total Ti que actúa sobre una partícula i es siempre igual a cero [Ti = 0] [3] En este trabajo, todas las fuerzas no cinéticas pueden obedecer o desobedecer la tercera ley de Newton en su forma débil y/o en su forma fuerte. 1
Fuerzas Cinéticas
La fuerza cinética Kaij ejercida sobre una partícula i de masa mi por otra partícula j de masa mj, causada por la interacción entre la partícula i y la partícula j, está dada por:
Kaij = – mi mj M-1 (ai – aj)
donde ai es la aceleración inercial de la partícula i, aj es la aceleración inercial de la partícula j y M es la masa del Universo.
La fuerza cinética Kui ejercida sobre una partícula i de masa mi por el centro de masa del Universo, causada por la interacción entre la partícula i y el Universo, está dada por:
Kui = – mi Acm
donde Acm es la aceleración inercial del centro de masa del Universo. De las ecuaciones anteriores se deduce que la fuerza cinética neta Ki ( = All j Kaij + Kui ) que actúa sobre una partícula i de masa mi, está dada por:
Ki = – mi ai
donde ai es la aceleración inercial de la partícula i.
Las fuerzas cinéticas Ka obedecen siempre la tercera ley de Newton en su forma débil.
Si todas las fuerzas no cinéticas obedecen siempre la tercera ley de Newton en su forma débil entonces la aceleración inercial del centro de masa del Universo Acm es siempre igual a cero.
[2] Principio
El [2] principio de la nueva dinámica establece que la fuerza total Ti que actúa sobre una partícula i es siempre igual a cero.
Ti = 0
Si la fuerza total Ti es dividida en las siguientes dos partes: la fuerza cinética neta Ki y la fuerza no cinética neta Fi ( de fuerzas gravitatorias, fuerzas electrostáticas, etc.) entonces: Ki + Fi = 0
Ahora, sustituyendo (Ki = – mi ai) y reordenando, ?nalmente se obtiene:
Fi = mi ai
Esta ecuación (similar a la segunda ley de Newton) será usada a lo largo de este trabajo.
Por otro lado, en este trabajo un sistema de partículas es aislado cuando el sistema está libre de fuerzas no cinéticas externas.
2
Rcm = M-1 Vcm = M-1 Acm = M-1 Rcm = M-1 Vcm = M-1 Acm = M-1 ?U1 = – L1 = K1 – U1 ?U2 = – L2 = K2 – U2 Definiciones
Para un sistema de N partículas, las siguientes definiciones son aplicables: Masa . M = N i mi Posición CM 1
Velocidad CM 1
Aceleración CM 1
Posición CM 2
Velocidad CM 2
Aceleración CM 2 .
.
.
.
.
. N i
N i
N i
N i N i N i mi ri
mi vi
mi ai
mi ri
mi vi
mi ai Momento Lineal 1
Momento Angular 1
Momento Angular 2 . P1 = . L1 = . L2 = N i N i N i mi vi
mi ri × vi
mi (ri – Rcm) × (vi – Vcm) Trabajo 1 . W1 = N i 2 1 Fi · dri = ?K1 Energía Cinética 1 . ?K1 = N i ? 1/2 mi (vi)2 Energía Potencial 1 . N i 2 1 Fi · dri Energía Mecánica 1
Lagrangiano 1 . E1 = K1 + U1 . Trabajo 2 . W2 = N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) = ?K2 Energía Cinética 2 . ?K2 = N i ? 1/2 mi (vi – Vcm)2 Energía Potencial 2 . N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) Energía Mecánica 2
Lagrangiano 2 . E2 = K2 + U2 . 3
?U3 = – ?U4 = – ?U5 = – ?U6 = – Trabajo 3 . W3 = N i ? 1/2 Fi · ri = ?K3 Energía Cinética 3 . ?K3 = N i ? 1/2 mi ai · ri Energía Potencial 3 . N i ? 1/2 Fi · ri Energía Mecánica 3 . E3 = K3 + U3 Trabajo 4 . W4 = N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K4 Energía Cinética 4 . ?K4 = N i ? 1/2 mi (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 4 . N i ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 4 . E4 = K4 + U4 Trabajo 5 . W5 = N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) = ?K5 Energía Cinética 5 . ?K5 = N i ? 1/2 mi (vi – V)2 + (ai – A) · (ri – R) Energía Potencial 5 . N i 2 1 Fi · d(ri – R) + ? 1/2 Fi · (ri – R) Energía Mecánica 5 . E5 = K5 + U5 Trabajo 6 . W6 = N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) = ?K6 Energía Cinética 6 . ?K6 = N i ? 1/2 mi (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) Energía Potencial 6 . N i 2 1 Fi · d(ri – Rcm) + ? 1/2 Fi · (ri – Rcm) Energía Mecánica 6 . E6 = K6 + U6 Relaciones
En un sistema de partículas, entre las energías cinéticas, las energías potenciales y las energías mecánicas, se dan siempre estas relaciones (ver Anexo II)
2
K3 = K4 + 1/2 M Acm · Rcm
K5 = K6 + 1/2 M (Vcm -V)2 + (Acm – A) · (Rcm – R) K5 = K1 + K3 & U5 = U1 + U3
K6 = K2 + K4 & U6 = U2 + U4 & E5 = E1 + E3
& E6 = E2 + E4
4
Principios
El momento lineal [P1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil. P1 = constante d(P1)/dt = N i mi ai = N i Fi = 0 El momento angular [L1 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L1 = constante d(L1)/dt = N i mi ri × ai = N i ri × Fi = 0 El momento angular [L2 ] de un sistema aislado de N partículas permanece constante si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma fuerte. L2 = constante d(L2)/dt = N i mi (ri – Rcm) × (ai – Acm) = N i mi (ri – Rcm) × ai = N i (ri – Rcm) × Fi = 0 Las energías mecánicas [E1 y E2 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas cinéticas y a fuerzas no cinéticas conservativas. E1 = constante
E2 = constante ? E1 = ? K1 + ? U1 = 0
? E2 = ? K2 + ? U2 = 0 Las energías mecánicas [E3 y E4 ] de un sistema de N partículas son siempre iguales a cero, por lo tanto, permanecen siempre constantes. E3 = constante E3 = N i 1/2 mi ai · ri – Fi · ri = 0 E4 = constante E4 = N i 1/2 mi ai · (ri – Rcm) – Fi · (ri – Rcm) = 0 N i 1/2 mi (ai-Acm)·(ri-Rcm) = N i 1/2 miai·(ri-Rcm) Las energías mecánicas [E5 y E6 ] de un sistema de N partículas permanecen constantes si el sistema está sujeto solamente a fuerzas cinéticas y a fuerzas no cinéticas conservativas. E5 = constante
E6 = constante ? E5 = ? K5 + ? U5 = 0
? E6 = ? K6 + ? U6 = 0
5
Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi. En este trabajo, las magnitudes [m,r,v,a,M,R,V,A,T,K,F,P1,L1,L2,W1,K1,U1,E1,L1 W2, K2, U2, E2, L2, W3, K3, U3, E3, W4, K4, U4, E4, W5, K5, U5, E5, W6, K6, U6 y E6 ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. La energía mecánica E3 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E3 = K3+U3 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E5 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E1 del sistema de partículas [E5 = E1 ] La energía mecánica E4 de un sistema de partículas es siempre igual a cero [E4 = K4+U4 = 0] Por lo tanto, la energía mecánica E6 de un sistema de partículas es siempre igual a la energía mecánica E2 del sistema de partículas [E6 = E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U3 y la energía potencial U5 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U3 = ( 2)U1 ] y [U5 = (1+ 2)U1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k entonces la energía potencial U4 y la energía potencial U6 del sistema de partículas, están k k dadas por: [U4 = ( 2)U2 ] y [U6 = (1+ 2)U2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K1 = -K3 = U3 = ( 2)U1 = (2+k)E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces se obtiene: k k [K2 = -K4 = U4 = ( 2)U2 = (2+k)E2 ] Si la energía potencial U1 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K5 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K1 = – K3 = U3 = ( 2) U1 = (2+k) E1 ] Si la energía potencial U2 de un sistema de partículas es una función homogénea de grado k y si el promedio de la energía cinética K6 del sistema de partículas es igual a cero entonces k k se obtiene: [ K2 = – K4 = U4 = ( 2) U2 = (2+k) E2 ] 6
i = |ri – R | también expresadas como sigue: [ K5 = 1/2 mi (ri ri + ¨i ri ) ] donde r . ( ? rij ? rij + ¨ rij rij ) ] donde rij = | ri – rj | -1 1 y [ K6 = j>i /2 mi mj M 1/2 m ( ¨ t ) ] donde t = 1/2 (r – R) · (r – R) i . 1 ( ¨ tij ) ] donde tij = /2 (ri – rj) · (ri – rj) -1 1/2 m m M y [ K6 = j>i El promedio de la energía cinética K5 y el promedio de la energía cinética K6 de un sistema de partículas con desplazamiento acotado son siempre iguales a cero. La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser i N . N La energía cinética K5 y la energía cinética K6 de un sistema de N partículas pueden ser N . también expresadas como sigue: [ K5 = i i i i i N i j La energía cinética K6 es la unica energía cinética que puede ser expresada sin necesidad ´ de introducir magnitud alguna relacionada con el free-system [tales como: r, v, a, ?, R, etc.] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U2 es igual a la energía potencial U1 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U2 = U1] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U4 es igual a la energía potencial U3 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U4 = U3] En un sistema aislado de partículas la energía potencial U6 es igual a la energía potencial U5 si las fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil[U6 = U5] Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ? del free-system respecto a S es igual a cero y S es además inercial si la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Si el origen de un sistema de referencia no rotante [? = 0] coincide siempre con el centro de masa del free-system [R = V = A = 0] entonces se logra: [ri = ri, vi = vi y ai = ai ] Por lo tanto, es posible afirmar que siempre: [vi = d(ri)/dt y ai = d2(ri)/dt2 ] Sin considerar a las fuerzas cinéticas, este trabajo no contradice la primera y segunda ley de Newton puesto que estas dos leyes siguen siendo válidas en cualquier sistema de referencia inercial. La ecuación [ Fi = mi ai ] es una simple reformulación de la segunda ley de Newton. En este trabajo, la ecuación [Fi = mi ai ] seguiría siendo válida en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial incluso si todas las fuerzas no cinéticas desobedecieran siempre la tercera ley de Newton en su forma fuerte y en su forma débil. Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. A. Torassa, Una Reformulación de la Mecánica Clásica. E. Mach, La Ciencia de la Mecánica. 7
R = M-1 V = M-1 A = M-1 . mi [|ri – R |2 1 – (ri – R) ? (ri – R)] Anexo I
Free-System
El free-system es un sistema de N partículas que está siempre libre de fuerzas no cinéticas externas e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N partículas permanecen siempre constantes.
La posición R, la velocidad V y la aceleración A del centro de masa del free-system respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ? y la aceleración angular a del free-system respecto al sistema de referencia S, están dadas por: . M = N i mi .
.
. N i
N i
N i mi ri
mi vi
mi ai . ?
. a = d(?)/dt ? I =
. L = N i
N i ?
mi (ri – R) × (vi -V) ? donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S.
Transformaciones
.
.
.
.
.
.
8
Anexo II
Relaciones
En un sistema de partículas se dan siempre estas relaciones ( Las magnitudes Rcm, Vcm, Acm, Rcm, Vcm y Acm pueden ser reemplazadas por las magnitudes R, V, A, R, V y A o por las magnitudes rj, vj, aj, rj, vj y aj, respectivamente. Por otro lado, siempre R = V = A = 0 )
.
. -? (ri – Rcm) = (ri – Rcm) .
. -? (vi – Vcm) = (vi -Vcm) – ? × (ri – Rcm) (vi -Vcm)·(vi -Vcm) = (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) · (vi -Vcm)-? ×(ri -Rcm) = (vi-Vcm)·(vi-Vcm)-2(vi-Vcm)· ?×(ri-Rcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+2(ri-Rcm)· ?×(vi-Vcm) + ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm)
(vi-Vcm)·(vi-Vcm)+ 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ?×(ri-Rcm) · ?×(ri-Rcm) =
=
= (vi -Vcm)2 + 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? × (ri – Rcm) 2 (ai – Acm)·(ri – Rcm) = (ai – Acm) – 2 ? ×(vi – Vcm) + ? ×[? ×(ri – Rcm)] – a × (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai – Acm) · (ri – Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) +
?×[?×(ri-Rcm)] ·(ri-Rcm)- a×(ri-Rcm) ·(ri-Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm) – 2 ? × (vi -Vcm) · (ri – Rcm) + ? · (ri – Rcm) ? – (? · ? ) (ri – Rcm) · (ri – Rcm) = (ai-Acm)·(ri-Rcm)- 2 ?×(vi-Vcm) ·(ri-Rcm)+ ? · (ri-Rcm) 2 – (? )2(ri-Rcm)2 -? (vi – Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm) = (vi -Vcm)2 + (ai – Acm) · (ri – Rcm)
9
Anexo III
Magnitudes
Las magnitudes L2, W2, K2, U2, W4, K4, U4, W6, K6 y U6 de un sistema de N partículas pueden ser también expresadas como sigue: L2 = N j>i mi mj M-1 (ri – rj) × (vi – vj) W2 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) ?K2 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 = W2 ?U2 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi – Fj/mj) · d(ri – rj) W4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) ?K4 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (ai – aj) · (ri – rj) = W4 ?U4 = – N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (Fi/mi – Fj/mj) · (ri – rj) W6 = N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) ?K6 = N j>i ? 1/2 mi mj M-1 (vi – vj)2 + (ai – aj) · (ri – rj) = W6 ?U6 = – N j>i mi mj M-1 2 1 (Fi/mi-Fj/mj)·d(ri-rj)+? 1/2 (Fi/mi-Fj/mj)·(ri-rj) Las magnitudes W(1 al 6) y U(1 al 6) de un sistema aislado de N partículas cuyas fuerzas no cinéticas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma débil se reducen a: W1 = W2 = N i 2 1 Fi · dri ?U1 = ?U2 = – N i 2 1 Fi · dri W3 = W4 = N i ? 1/2 Fi · ri ?U3 = ?U4 = – N i ? 1/2 Fi · ri W5 = W6 = N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri ?U5 = ?U6 = – N i 2 1 Fi · dri + ? 1/2 Fi · ri 10
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