Fisica. Estática y cinemática

1 23 28 39 40 44 46 52 55 58 INDICE

P᧩na FISICA CERO Matemᴩca necesaria para entender f�ca 20 ESTATICA 22………… FUERZAS COPUNTUALES SUMA DE FUERZAS 栒ESULTANTE 25………….TRIGONOMETRIA. SENO, COSENO Y TANGENTE PROYECCIONES DE UNA FUERZA 31…………. SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE 33 EQUILIBRIO 35…………..EJEMPLOS

39…………. FUERZAS NO COPUNTUALES MOMENTO DE UNA FUERZA 39………….. SIGNO DEL MOMENTO EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES 42………….. EJEMPLOS TEOREMA DE VARIGNON 45………….. CENTRO DE GRAVEDAD PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

CINEMATICA

MRU Posici㮬 velocidad y aceleraci㮮 53 ……….. Sistema de referencia. Trayectoria. Movimiento Rectil�o y Uniforme 57……….. Velocidad en el MRU Ecuaciones horarias en el MRU 59 ……….. Tg de un ᮧulo y pendiente de una recta. 61 Grᦩcos en el MRU 62…………. Pendientes y las Ქas de los grᦩcos 63 Un ejemplo de MRU 67…………. Velocidad media

75 86 88 93 96 100 116 133 137 153 160 73 ……….. ENCUENTRO. Problemas de encuentro. 81 ……….. Encuentro cuando un m㶩l que sale antes que el otro 83 MRUV 84 ……….. Aceleraci㮮 Signo de la aceleraci㮍 87………… Ecuaci㮠de una par᢯la Soluci㮠de una ecuaci㮠cuadrᴩca 89 ……….. Ecuaciones y grᦩcos en el MRUV Ecuaci㮠complementaria. 95 ……….. Velocidad instantᮥa. Anᬩsis de los grᦩcos del MRUV 98…………. La velocidad y la aceleraci㮠son vectores Como resolver problemas de MRUV 101…………..MRUV, Ejercicios de parciales 105 Encuentro en MRUV 107…………. Encuentro, Ejercicios de parciales

113 …………CÄ́A LIBRE Y TIRO VERTICAL Como resolver problemas de C. libre y Tiro vertical 123…………Ca� libre, ejercicios de parciales

127 ……….. TIRO OBLICUO 129 Trigonometr� 131………….Proyecci㮠de un vector Principio de independencia de los movimientos de Galileo 136………….Ecuaciones en el Tiro Oblicuo. Como resolver problemas de Tiro Oblicuo 138………….Ejemplos y problemas sacados de parciales

MOVIMIENTO CIRCULAR 154…………. Movimiento circular uniforme 154 El Radiᮍ 156…………..La velocidad angular omega 157 La velocidad tangencial 157…………..Per�o T y frecuencia f 158 Aceleraci㮠centr�ta 159…………..Relaci㮠entre ? y f Algunos problemas de Movimiento circular

164 167 173 179 184 MOVIMIENTO RELATIVO 165…………..Velocidades relativa, absoluta y velocidad de arrastre Algunos problemas de Movimiento relativo

CINEMATICA VECTORIAL 174…………..Vectores 175 Componentes de un vector 177…………. M㤵lo de un vector Vector Posici㮠y vector desplazamiento 180…………..Vector Velocidad Media 182 Velocidad instantᮥa 184…………. Aceleraci㮠Media e instantᮥa Ejemplos y problemas de cinemᴩca Vectorial 192…………. Cinemᴩca Vectorial, problemas sacados de parciales

Pag 195 : Resumen de f㲭ulas de Estᴩca y cinemᴩca

FISICA 0 MATEMATICA QUE HAY QUE SABER PARA ENTENDER FISICA TEMAS: FACTOREO – SACAR FACTOR COMUN – PASAR DE TERMINO – DESPEJAR – SUMAR FRACCIONES – ECUACION DE LA RECTA – UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA – DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS – ECUACION DE UNA PARABOLA – ECUACION CUADRATICA – SOLUCION DE UNA ECUACIӎ CUADRTICA.

VER ASIMOV -2- FISICA CERO FISICA 0

F㲭ulas y cosas de matemᴩca que hay que saber para entender f�ca

Hola. A mucha gente le va mal en f�ca por no saber matemᴩca. No es que el tipo no entienda f�ca. Lo que no entiende es matemᴩca. Entonces cuando le tiran un problema no sabe para d㮤e agarrar. Si vos sab鳠bien matemᴩca dejᠥste apunte de lado. Ponete ya mismo a resolver problemas de f�ca, te va a ser m᳠괩l. Si vos sab鳠que la matemᴩca no te resulta fᣩl, lee con mucha atenci㮠lo que yo pongo acᮠHacete todos los ejercicios. Hacele preguntas a todos los ayudantes o incluso a m��e encontr᳠por ah�n algꮠpasillo. Yo s頰erfectamente que nunca nadie te ense᳠nada y ahora te exigen que sepas todo de golpe. Qu頬e vas a hacer. As�s la cosa.

Ahora, ojo, Todos los temas que pongo acᠳon cosas QUE VAN A APARECER MIEN- TRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo cosas descolgadas que nunca vas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas a tener que usarlo. Pero: ? Vas a ver que no es tan dif�l ! ၬegr� PASAR DE TɒMINO – DESPEJAR

En f�ca todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de t鲭ino. Ten鳠que saberlo a la perfecci㮮 No es dif�l. S㬯 ten鳠que recordar las siguientes reglas:

1 – Lo que estᠳumando pasa restando 2 – Lo que estᠲestando pasa sumando 3 栌o que estᠭultiplicando pasa dividiendo 4 – Lo que estᠤividiendo pasa multiplicando 5 – Lo que estᠣomo 2 pasa como ra� 6 – Lo que estᠣomo ra�pasa como 2 Reglas para pasar de t鲭ino Estas reglas se usan para despejar una inc㧮ita de una ecuaci㮮 Despejar x significa hacer que esta letra inc㧮ita x quede sola a un lado del signo igual. ( Es decir que a la larga me va a tener que quedar x = tanto ).

X= 25 2 1 2 ASIMOV -3- FISICA CERO Veamos: Usando las reglas de pasaje de t鲭inos despejar X de las siguientes ecuaciones: 1) 2=5昍 X estᠲestando, la paso al otro lado sumando: El 2 estᠳumando, lo paso al otro lado restando: 2+X=5 X=5沍 2) 4 = 8 X Por lo tanto ? x=3 ? Soluci㮮 X estᠤividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4.X=8 El cuatro estᠭultiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo: X = 8 4 Es decir: x=2 ? Soluci㮮 3) x2 = 25 La x estᠡl cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como ra� Por lo tanto ? x=5 ? Soluci㮮 Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X : 1) x + 5 = 8

2) x + 5 = 4 3) 核 栴 = – 7 Rta: x = 3

Rta: x = -1 Rta: x = 3 4)

5) 2 x 2 5x = 4

= 10 Rta: x =

Rta: x = 1 2 1 25 6) = 5 – x 5 Rta: x = – 5 7) 淠= 4 – x2 Rta: x = 11 8) 1 (x – 2)2 = 4 Rta: x = 2,5 9) 1 (x – 2) = a Rta: x = 1 a + 2

3 5 ………… 8 + = + = + = ? ? + + ASIMOV -4- FISICA CERO 10) V = X – X0 t – t 0 Rta: X = X0 + V (t-t0) 11) Vf = 2gx Rta: x = Vf 2 2g SUMA DE FRACCIONES Para sumar por ejemplo + lo que hago es lo siguiente: 2 4 Abajo de la raya de fracci㮠va a ir el m�mo comꮠmꬴiplo. Esto quiere decir el nꭥro m᳠chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese nꭥro ser�4 ). El m�mo comꮍ mꬴiplo a veces es dif�l de calcular, por eso directamente multiplico los dos nࠤe abajo y chau. En este caso 2×4 da 8, de manera que en principio el asunto quedar�as� Para saber lo que va arriba de la raya de fracci㮠uso el siguiente procedimiento:

Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fracci㮠 me queda:

3 5 12 + 10 2 4 8 Es decir: Simplificando por dos: 3 5 22 2 4 8 3 5 ?11? 2 4 ? 4 ? ? Resultado Comprobᠥste asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el m鴯do: 1) 1 1 2 2 Rta : 1 2) 1 1 2 4 Rta : 3 4

+ + + + + ? ASIMOV -5- FISICA CERO 3) 1 + 1 2 Rta : 3 2 4)

5)

6)

7)

8) 1 2 2 3

2 4 3 5

7 5 3 7

1 1 a b

a c b d Rta :

Rta :

Rta :

Rta :

Rta : 7 6

22 15

64 21

b+a a.b

a.d + b.c b.d DISTRIBUTIVA Supon頱ue tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar primero lo que estᠥntre par鮴esis , y en ese caso me quedar� 2(8)=X 16 = X ?Soluci㮮 Pero tambi鮠se puede resolver haciendo distributiva. Eso ser�hacer lo siguiente:

Practicalo un poco con estos ejemplos: 1) 3 ( 4 + 5 )

2) 3 ( 4 栵 ) Rta : 27

Rta : -3

3) 4) 5) 6) ASIMOV

a(b+c)

a(b+c+d)

a ( m1 + m2 )

堨 m1 g + N2 ) Rta : ab + ac

Rta : ab + ac + ad

Rta : a m1 + a m2

Rta : 堭1 g + 堎2 -6- FISICA CERO SACAR FACTOR COMڎ Sacar factor comꮠes hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si tengo la expresi㮺 X = 2 破 + 2 砷 Me va a quedar: X=2(4+7) ? Saqu頥l 2 como factor comꮍ A veces en algunos problemas conviene sacar factor comꮠy en otros hacer distributiva. Eso depende del problema.

Ejemplo: Sacar factor comꮠen las expresiones: 1) F = m1 a + m2 a

2) X = x0 + v t 栶 t0

3) Froz = 堭1 g + 堎2

4) L = F1 d – F2 d Rta : F = a ( m 1+ m2 )

Rta : X = x0 + v (t-t0)

Rta : 堨 m1 g + N2)

Rta : d ( F1 – F2 ) ECUACIӎ DE UNA RECTA En matemᴩca la ecuaci㮠de una recta tiene la forma y = m x + b. Se representa en un par de ejes x – y asi: y

Y=mx+b

x En esta ecuaci㮠hay varias que ten鳠que conocer que son:

1 4 4 1,73 ASIMOV -7- FISICA CERO Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qu頳on x e y. Si quiero representar en el plano el punto ( 3 , 2 ) eso significa que:

Veamos ahora qu頥s m. La m representa la pendiente de la recta. La pendiente da una idea de la inclinaci㮠que tiene la recta. Por ejemplo, la pendiente vale 2/3 eso significa que la inclinaci㮠de la recta tendrᠱue ser tal que: m= 2 3 Acᠨay que avanzar 2

Acᠨay que avanzar 3 m=4 Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como y me queda: 1 Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendr�esto ( Es decir, ser�una recta a 45 ࠩ. 1 1 Si m fuera 1,73, el asunto quedar�as� 1

Entonces, la pendiente de una recta es una funci㮠en donde:

La parte de arriba indica lo que hay que avanzar 11 7 m = 7 11 en Y

La parte de abajo indica lo que hay que avanzar en X

-1 -1 ASIMOV -8- FISICA CERO Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como m = – 7 11 ) pongo m = – 7 11 y la cosa queda: 11 Avanzar 11 Bajar 7 -7 El valor b se llama ordenada al origen y representa el lugar donde la recta corta al eje Y. Por ejemplo, una recta as�

Otra recta as퍊

Y las rectas que son as퍊 tiene b = – 1

tambi鮠tiene b = -1

tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coordenadas. ӍO SE REPRESENTA UNA RECTA ? Si tengo una ecuaci㮠y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valores a X y obtener los de Y. Con estos valores formo una tablita y los represento en un par de ejes x-y. Fijate: Si tengo por ejemplo y = 2 x + 1

Le doy a x el valor 0 y obtengo ? y = 2 . 0 + 1 = 1 Le doy a x el valor 1 y obtengo ? y = 2 . 1 + 1 = 3 Le doy a x el valor 池y obtengo ? y = 2. ( -1 ) + 1 = -1

Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo esto en una tabla me queda: x y Y=2x+1 0 1 1 3 – 1 -1

Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( – 1 ; – 1 ) en el plano x-y. Uniendo los puntos tengo la recta

2 x 1 1 2 ASIMOV -9- FISICA CERO Si quisiera ver si la recta estᠢien trazada puedo fijarme en los valores de m y de b:

La recta corta al eje Y en 1, as�ue estᠢien. Veamos la pendiente:

La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, as�ue el asunto verifica. Para entender esto mejor tendr� que hacerte algunos ejercicios. Vamos:

DADA LA ECUACIӎ DE LA RECTA: a) Ver cu᮴o valen m y b b) Graficar la recta dᮤole valores de x y sacando los de y c) Verificar en el grᦩco que los valores de m y b coinciden con los de a) 1) y = x

2) y = x – 1

3) y = 2 – x

4) y = – + 1 2

5) y = 2 Rta: m = 1 , b = 0

Rta : m = 1 , b = -1

Rta: m = – 1 , b = 2

Rta: m = – , b = 1 2

Rta: m = 0 , b = 2 -1 2

2

2 1 1 2 ASIMOV

6) y = 1.000 x + 1 – 10 –

Rta: m = 1.000 , b = 1 Prᣴicamente son 90͊ FISICA CERO 1 Acᠶan otro tipo de ejercicios que tambi鮠son importantes:

* DADO EL GRFICO, CALCULAR m Y b Y DAR LA ECUACIӎ DE LA RECTA. a) 1 Rta: m = 1 2 ; b=0 y= 1 2 x+0 2 b) 5 Rta: m = – 5 6 ; b=5 y= – 5 6 x + 5 6 c) -1 Rta: m = – 1 ; b = 1 y=-1x+1 d) -1 Rta: m= – 1 2 ; b = -1 y = – x – 1 2 -2

PARBOLA Una par᢯la es una curva as� . Desde el punto de vista matemᴩco esta curva estᠤada por la funci㮺 Y= a x2 + b x + c ? Ecuaci㮍 de la par᢯la Fijate que si tuviera s㬯 el t鲭ino y = b x + c tendr�una recta. Al agregarle el t鲭ino con x2 la recta se transforma en una par᢯la. Es el t鲭ino cuadrᴩco el que me dice que es una par᢯la. Ellos dicen que y = a x2 + b x + c es una funci㮠cuadrᴩca porque tiene un t鲭ino con x2. Una par᢯la t�ca podr�ser por ejemplo: Y = 2 x2 + 5 x + 8 En este caso a ser�igual a 2, b a 5 y c ser�8. Los t鲭inos de la ecuaci㮠tambi鮍 pueden ser negativos como en: Y = – x2 + 2 x -1 Acᠳer�a = – 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer t鲭ino pueden faltar. ( El primero NO por que es el cuadrᴩco ). Un ejemplo en donde faltan t鲭inos ser�

ASIMOV – 11 – FISICA CERO o tambi鮺 Y= 0,5 x2 栳

Y = x2- 3 x ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 )

( a = 1, b = – 3, c = 0 ) La ecuaci㮠tambi鮠puede estar desordenada, entonces para saber qui鮠es a, qui鮠b, y qui鮠c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo:

Y = – 3 x – 1 + 5 x2 ( Y = 5 x2 栳 x -1 ? a = 5, b = – 3, c = – 1) REPRESENTACIӎ DE UNA PARBOLA Lo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valores voy armando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada punto en un par de ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la par᢯la.

De acuerdo a los valores de a, b y c la par᢯la podrᠤar m᳠abierta, m᳠cerrada, m᳍ arriba o m᳠abajo, pero S͠hay una cosa que ten鳠que acordarte y es que si el t鲭ino cuadrᴩco es negativo la par᢯la va a dar para abajo. Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior hubiese sido Y= – x2 en vez de Y = x2, la cosa habr�dado as�

or qu頰asa esto ? Rta : Porque a es negativo. ( En este caso a = – 1 )

ASIMOV 12 FISICA CERO Entonces conviene que te acuerdes siempre que:

Si en la ecuaci㮠Y = a x2 + b x + c el valor de a es negativo, entonces la par᢯la va a dar para abajo

Dicho de otra manera:

 si a la ecuaci㮠cuadrᴩca no le falta ningꮠt鲭ino ? Rta: No pasa nada, el asunto es el mismo, lo ꮩco es que va a ser m᳠l�construir la tabla por que hay que hacer m᳍ cuentas. Fijate:

Ejercicios: Representar las siguientes par᢯las y decir cu᮴o valen los t鲭inos a, b y c:

1 ASIMOV 13 FISICA CERO Soluci㮠de una ecuaci㮠cuadrᴩca Una ecuaci㮠cuadrᴩca es la ecuaci㮠de una par᢯la igualada a cero. Es decir, si en vez de tener y = a x2 + b x + c tengo a x2 + b x + c = 0 , eso serᠵna ecuaci㮠cuadrᴩca. Por ejemplo, son ecuaciones cuadrᴩcas: X2 + 4 = 0 , 5 X2 栳 X + 7 = 0 , 7 X 栳 X2 = 0 Lo que se busca son los valores de x que satisfagan la ecuaci㮮 u頳ignifica eso ? Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuaci㮠d頣ero. Supongamos que tengo: x2 栴 = 0 頶alores tiene que tomar x para que x2 栴 de cero ? Bueno, a ojo me doy cuenta que si reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate: x 22 栴 = 0 ( Se cumple )

brᠡlgꮠotro valor? S�Hay otro valor es x = – 2. Probemos: (-2)2 栴 = 4 栴 = 0 ( anda ) Este m鴯do de ir probando estᠭuy lindo pero no sirve. or qu頿 Rta: Porque en este caso funcion㠰or la ecuaci㮠era fᣩl. Pero si te doy la ecuaci㮠0 = – x 2 + 20 x – 30 … 10 mo hac鳿 Acᠮo puede irse probando porque el asunto puede llevarte un aᯠentero. ( Por ejemplo para esa ecuaci㮠las soluciones son: x = 1,51142 y x = 198,4885 ).

A los valores de x que hacen que toda la ecuaci㮠de cero se los llama ra�s de la ecuaci㮠o soluciones de la ecuaci㮮 Entonces, la idea es encontrar un m鴯do que sirva para hallar las ra�s de la ecuaci㮮 Este m鴯do ya fue encontrado en el mil seiscientos y pico y se basa en usar la siguiente f㲭ula ( la demostraci㮠estᠥn los libros ): X1,2 = – b ᠠ b 2 – 4ac 2a Soluci㮠de una ecuaci㮠cuadrᴩca 㭯 se usa esta f㲭ula ? Mirᠥste ejemplo: Encontrar las ra�s de la ecuaci㮍 Y = x2 栴 x + 3. En este caso a = 1; b =-4 y c = 3. Entonces el choclazo queda: x1,2 = – (- 4) ፊ (- 4)2 – 4 籠砳 2 籍

ASIMOV 14 FISICA CERO ? x1,2 = 4 ᠠ 16 – 12 2 ? x1,2 = 4 ᠲ 2 x1,2 = 4 ᠠ 4 2 Ahora, para una de las soluciones uso el signo + y para la otra el signo menos. La cosa queda as�

Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuaci㮮

Quiero decirte una cosita m᳠con respecto a este tema: una ecuaci㮠cuadrᴩca podrፊtener una soluci㮬 2 soluciones o ninguna soluci㮮 㭯 es eso ? Fijate: u鍊significa igualar la ecuaci㮠de una par᢯la a cero ? Rta: Bueno, una par᢯la

es esto

Preguntar para qu頶alores de x la y da cero, significa preguntar d㮤e corta la Par᢯la al eje de las x. Es decir, que las ra�s de una ecuaci㮠cuadrᴩca representan esto:

Soluciones de una ecuaci㮍 cuadrᴩca Una soluci㮮 Otra soluci㮍 El caso de una soluci㮠ꮩca va a estar dado cuando la par᢯la NO corta al eje de las x en dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a tener esta situaci㮠:

? Caso de ra�ꮩca.

La ecuaci㮠cuadrᴩca puede no tener soluci㮠cuando la par᢯la No corta en ningꮍ momento al eje de las x. Por ejemplo:

b 2 – 4ac ? ㍊ ㍊ ASIMOV 15 FISICA CERO Cuando te toque una ecuaci㮠de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer te va a quedar la ra�cuadrada de un nꭥro negativo (como por ejemplo – 4 ). No hay ningꮠnꭥro que al elevarlo al cuadrado, de negativo, de manera que este asunto no tiene soluci㮮 Acᠴe pongo algunos ejemplos: Encontrar las soluciones de la ecuaci㮠usando la f㲭ula x = ( Pod鳠verificar los resultados graficando la par᢯la ) – b ᠠ b 2 – 4ac 2a 1) x2 栲 x 栳 = 0

2) x2 样 x + 12 = 0

3) x2 栲 x + 1 = 0

4) x2 栱8 x + 81

5) x2 + x + 1 = 0

6) x2 核 + 3 = 0 Rta: x1 = 3 ; x2 = -1

Rta: x1 = 4 x2 = 3

Rta: x = 1 ( Ra�doble )

Rta: x = 9 ( Ra�doble )

No tiene soluci㮮

No tiene soluci㮮 SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCӇNITAS Una ecuaci㮠con una inc㧮ita es una cosa as�? x – 3 = 5. Esta ecuaci㮠podr�ser la ecuaci㮠de un problema del tipo: 㠅ncontrar un nꭥro x tal que si le resto 3 me da 5 䮍 㭯 se resolver�una ecuaci㮠de este tipo ? Rta: Muy fᣩl. Se despeja x y chau. Fijate : x泽5 x = 5 + 3 ? x =8 頰asa ahora si me dan una ecuaci㮠as� : x + y = 6 . Esto es lo que se llama una ecuaci㮠con 2 inc㧮itas. As�omo estᬠno se puede resolver. O sea, se puede, pero voy a tener infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podr� ser:

x=6; y=0 x=7; y=-1 x=8; y=-2

Creo que ves a d㮤e apunto. Si trato de buscar 2 nꭥros x e y tal que la suma sea 6, voy a tener millones de soluciones. ( Bueno… millones no… infinitas !!! )

ASIMOV 16 FISICA CERO Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: 㤡me dos nꭥros cuya suma sea 6 y cuya resta sea 4䠁h�l asunto cambia. Este problema SI tiene soluci㮮 Matemᴩcamente se pone as� x +y=6 x-y=4 Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos inc㧮itas. mo se resuelve esto? Veamos.

SOLUCIӎ DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCӇNITAS Hay varios m鴯dos para resolver 2 ecuaciones con 2 inc㧮itas. Te recuerdo los 2 m鴯dos m᳠fᣩles. Supongamos que tengo el sistema: x +y=6 x-y=4 MɔODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIӎ ) Se despeja una de las inc㧮itas de la primera ecuaci㮠y se reemplaza en la segunda. Por ejemplo, despejo x de la 1஠Me queda: x = 6 根. Reemplazando esta x en la segunda ecuaci㮮 Me queda: ( 6 根 ) 根 = 4 Ahora: 6湭y=4 6洽2y 2 = 2 y ? y=1

Ya calcul頥l valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones originales saco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra de las ecuaciones:

x+1=6

x = 6 栱 ? x=5

MɔODO 2 : SUMA Y RESTA Se suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las inc㧮itas. Por ejemplo: x +y=6 x-y=4 Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda: x+y+x湽6+4

ASIMOV

Ahora la y se va. Me queda: 17

2 x = 10 ? x = 5 FISICA CERO Al igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones originales, obtengo el valor de y. Una cosa: Acᠹo sum頬as ecuaciones, pero tambi鮠se pueden restar.Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo ( se iba a ir la x ) Este segundo m鴯do viene perfecto para los problemas de din᭩ca. El 1er m鴯do tambi鮠se puede usar, claro. A ellos no les importa qu頭鴯do uses.

Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuaci㮠de una recta. Por ejemplo el sistema anterior se podr�haber puesto as�

ntonces cuᬠser�el significado geom鴲ico de encontrar la soluci㮠de un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc㧮itas ? Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2 rectas. Por ejemplo, en el caso de reci鮠tendr�esto:

Soluci㮠de un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc㧮itas

EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc㧮itas. ( Pod鳠representar las 2 rectas para verificar)

ASIMOV 18 FISICA CERO MATEMTICA CERO 栐ALABRAS FINALES Acᠴermina mi resumen de matemᴩca. Pero atenci㮬 esta no es toda la matemᴩca que existe. La matemᴩca es gigantesca. Lo que puse acᠥs lo hiper- necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas que tambi鮠vas a necesitar como vectores o trigonometr� Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo del libro. Ahora, pregunta… etest᳠la matemᴩca ? Rta: Bueno, no sos el ꮩco. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemᴩca es muy fea. Y encima es dif�l. ay alguna soluci㮠para esto ? Rta: Mirᬮ.. no hay salida. Vas a tener que saber matemᴩca s� s�ara entender f�ca. Y te aclaro, m᳠adelante ES PEOR. A medida que te internes en FISICA O MATEMATICA vas a tener que saber m᳠matemᴩca, m᳠matemᴩca y m᳠matemᴩca. ( Me refiero a Anᬩsis I, Anᬩsis II, ᬧebra y dem᳠). Lo ꮩco que se puede hacer para solucionar esto es estudiar. ( Y estudiar mucho ). Es as�El asunto depende de vos.

FIN MATEMTICA CERO

ASIMOV – 19 – ESTATICA ESTATICA

FUERZAS QUE ACTځN SOBRE EL CARTEL

PESO DEL CARTEL

ECUACIONES QUE SE PLANTEAN