Método acelerado para el análisis de pórticos planos (página 2)

Partes: 1, 2

En estas figuras 2.1 y 2.1a S.C.L. significa sistema de coordenadas locales, que están referidas con relación al miembro considerado, en el que la dirección x coincide con la del eje del miembro antes de aplicar las cargas y la dirección oy es perpendicular a ox. Aplicando el principio de superposición a la posición deformada de la figura 2.1a, como se indica en la figura 2.2 siguiente:

Mi j y Mj i Son los momentos definitivos o finales en los extremos i y j respectivamente, debido al sistema de cargas.

Figura 2.2 Posición deformada de un miembro en el sistema real.

Esta será igual por el principio de superposición, a un miembro de una estructura totalmente inmovilizada en las juntas, isogeométrico, con las cargas existentes o reales mas el de una estructura hipergeométrica con los desplazamientos en las juntas iguales al original o real:

Fig. 2.3 Sistemas equivalentes al real por superposición.

El Segundo sistema de la figura 2.3 anterior será igual a resolver el siguiente:

Fig. 2.4 Miembro del sistema hipergeométrico.

y este a su vez será igual por superposición a la suma de estos los dos subsistemas

siguientes:

Fig. 2.5 Subsistemas del sistema hipergeométrico.

Para completar la igualdad del sistema real con los dos subsistemas debe cumplirse además con las ecuaciones de compatibilidad o deformaciones consistentes siguientes:

Donde fi. j = fj.,i por ser el material lineal y elástico, según la Ley de Maxwell o de Maxwell-Betti de las deformaciones recíprocas, que establece la igualdad de las deformaciones recíprocas.

Los términos f denominados factores de flexibilidad se determinan por el principio de las fuerzas virtuales o trabajo virtual complementario, resolviendo los sistemas (i) y (j), es decir:

Fig. 2.6 Ecuaciones y diagramas de los subsistemas con carga unitaria.

De acuerdo a esta figura podemos definir como un factor de flexibilidad genérico, fi j, en la cual i y j son dos direcciones de desplazamientos lineales o angulares genéricas cualesquiera en una estructura o miembro, a un desplazamiento en la dirección j producido por una fuerza unitaria en la dirección i.

Ahora bien sumándoles a los términos de momentos M’i j y M’j i definidas en ecuaciones 2.3a y 2.3b los Momentos de empotramiento respectivos, se obtienen reordenando términos e introduciendo las llamadas constantes elásticas Ci, Cj y C, que más adelante se definen, las expresiones de los momentos definitivos llamadas ecuaciones de rotación, como se indican a continuación:

M i j = MEi j + EKO Ci q i + EKO C q j + EKO (Ci + C) j i j …..(2.4a)

M j i = MEj i + EKO Cj q j + EKO C q i + EKO (Cj + C) j i j …..(2.4b)

De tal manera que si se conoce el momento en alguno de los dos extremos por ser articulado o cualquier otra razón, por ejemplo si se conoce el Mj i , se despeja de la 2.4b la rotación θj o Ekoθj y se introduce en 2.4a, de igual manera que si se conoce el Mi j se despeja de la 2.4a la rotación θI o EKoθi y se introduce en 2.4b, es decir:

Para miembros de sección constante y que solo se tomen en cuenta los efectos de flexión (S.C.) las constantes elásticas toman los valores de: Ci = Cj = 4 y C = 2, las ecuaciones de rotación serán:

Para definir en forma general Ci, Cj y C, en la figura siguiente se presenta un miembro de directriz recta de sección transversal variable y con segmentos en los extremos rígidos:

Fig. 2.7 Miembro de sección cualquiera con extremos rígidos.

Donde:

I , j : Extremos inicial y final del miembro respectivamente.

A0 , I0 : Area y momento de inercia de una sección transversal seleccionada

en un punto arbitrario cualquiera sobre el eje del miembro o valores

arbitrarios cualesquiera.

A = b (w ) Ao = Area de una sección transversal cualquiera; b (w ) = ley de

Variación de A.

I = a (w ) I0 = Momento de inercia de una sección transversal cualquiera ;

a (w ) = Ley de variación de I.

X i , X j = Longitudes de segmentos rígidos, en extremos i, j respectivamente,

en estos se considera que el elemento tiene rigidez infinita

L = Longitud total o luz del miembro.

X = Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa.

w = (X / L)=Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa adimensional.

f = Factor de forma para la distribución de los esfuerzos de corte.

E = Modulo de elasticidad longitudinal.

G = Módulo de corte o de elasticidad transversal.

f v = Influencia o efecto de las deformaciones de corte en los

coeficientes elásticos.

Se denominan coeficientes o factores elásticos f i , f j y f y son dependientes o están relacionados con los factores de flexibilidad fi i , fj j y fi j respectivamente a las siguientes expresiones de integrales definidas:

En las tres primeras expresiones f i ; f j ; f el término f n corresponde al efecto por corte y el otro a los efectos por deformaciones a flexión.

De tal manera que las constantes elásticas Ci , Cj , y C empleadas en las ecuaciones de KANI y de rotación vienen dadas por las expresiones :

Ci = f i / (f i f j – f 2 ) …..(2.6a) ; Cj = f j / (f i f j – f 2 ) …..(2.6b) ;

C = f / (f i f j – f 2 ) …..(2.6c)

EJEMPLO PARA DEFINICIÓN DE Xi y Xj :

En el siguiente ejemplo note que los extremos rígidos están en la zona común de dos elementos. De igual manera puede considerarse los extremos rígidos en el elemento vertical.

Fig. 2.8 Miembro horizontal unido a dos elementos verticales.

NOTA: Los métodos que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el método de las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran métodos de rigidez ya que en ellos las incógnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de empotramiento. El método de flexibilidad aplicado a una estructura cualquiera no es práctico ya que cualquier estructura común indeterminada tiene muchos sistemas primarios isostáticos, mientras que la rigidez de cualquier miembro y toda una estructura es única.

EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN MIEMBRO LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.

Dado el elemento en la siguientes figura con extremos empotrados, inamovibles:

S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)

Fig. 3.0 Caso General.

Aplicando el método de las fuerzas, seleccionando un sistema primario isostático eliminando las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos de empotramientos MEi j y MEj i se puede establecer que este caso será igual utilizando el principio de superposición a la suma de los tres casos indicados en la siguiente figura:

Fig. 3.1 Casos equivalentes por el método de las fuerzas.

Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad de deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el sistema original en los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de superposición a las sumas correspondientes a los tres sistemas, como es:

0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j ) …..(3.1a)

0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j ) …..(3.1b) donde los valores f i j son los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y estos son siempre deformaciones o desplazamientos, de tal manera que uno de ellos es la deformación en la dirección de i producido por una fuerza unitaria en la dirección j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad se resuelven obteniéndose:

1º) Los factores de flexibilidad f por medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el sistema virtual con fuerza unitaria será el que indica el primer subíndice y el otro sistema es el que corresponde al segundo subíndice.

2º) Despejar los Momentos de empotramiento ME de 3.1a y 3.1b, obteniéndose las siguientes expresiones si se toman en cuenta los efectos de flexión y corte:

Donde MO y VO corresponden a las expresiones de Momento y Corte en el sistema ( 0 ) isostático.

Cuando se trabaja manualmente se pueden despreciar efectos de extremos rígidos y de corte ( VO ) haciéndolos iguales a cero, es decir:

Xi = Xj = VO = 0

Si se tiene el caso particular articulado en uno de los extremos se puede proceder, aplicando el principio de superposición como se indica en la siguiente figura:

Caso un extremo articulado con Momento aplicado en extremo articulado de signo o sentido contrario al anterior.

Fig. 3.2 Caso del Momento de empotramiento con un extremo articulado.

POR TANTO EL MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PARA UN EXTREMO ARTICULADO SERÁ CONOCIDO Y PARA EL EXTREMO EMPOTRADOS SERA:

MoEi j = MEi j — MEj i (C/Cj ) (Articulación en extremo j ) …..(3.3a) y de manera similar con el extremo i articulado se obtiene:

MoEj i = MEj i — MEi j (C/Ci ) (Articulación en extremo i ) …..(3.3b)

OJO CON LOS SIGNOS: RECUERDE QUE EN ESTAS ECUACIONES 3.3a y b LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS MEi j, MEj i SE COLOCAN CON SU SIGNO, positivo contrario a las agujas del reloj o negativo en el sentido de las agujas del reloj, o puede trabajar con la convención contraria, positivo en el sentido de las agujas del reloj si esta ha sido su selección personal.

Estas expresiones también pueden obtenerse directamente a partir de las expresiones 2.4c y 2.4d respectivamente, haciendo θi = θj = φi j = 0 y Mj i = 0 (3.3a) para articulación en j o Mi j = 0 (3.3b) para articulación en i.

NOTA EN EL CASO PARA S.C. : C/Ci = ri j = C/ Cj = rj i = 1/ 2 (Usualmente llamado en el método de Cross como FACTOR DE TRANSPORTE del momento en el extremo i de un miembro al extremo j del mismo miembro o del momento en el extremo j al extremo i respectivamente.)

FÓRMULA PARA INTEGRACIÓN NUMÉRICA:

Pueden emplearse la fórmula siguiente (3.4):

Del trapecio: o también puede utilizarse cualquier fórmula estudiada en cálculo numérico como la de Simpson o de Romberg.

Ejemplo de cálculo de constantes elásticas y momentos de empotramiento para un miembro de sección variable:

Determinar los momentos de empotramiento y constantes elásticas, despreciando el efecto de corte, sabiendo que el modulo de elasticidad del material es E es de 210.000Kg/cm2 (2.100.000Ton/m2), para el siguiente elemento:

Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m.

Determinación de los coeficientes o factores elásticos f i , f j y f

(L-xj)/L = (6,3m-0,15)/6,30m = 0,9762 ; xi /L = 0,1575 /6,30 = 0,025

Coordenada en punto de cambio de sección: 2,15m/6,30 m = 0,3413

Determinemos f i según expresión 2.5a, para lo cual hay que dividir la integración en tantas como leyes o fórmulas de variación de inercia se tenga, en este caso son dos, es decir:

= +

Deducción de a (w ) para coordenada ω entre 0,025 y 0,3413:

Verificando esta para: w =0,025 H=1,00; w =0,17937 H=0,75m ; w =0,3413 H=0,60

Por lo tanto: I = B H3 /12 = (1,0514-2,055w )(2,1546w 2 – 2,0539w + 1,05) 3/12 m4

Si seleccionamos I0 el menor, es decir para ω = 0,3413

Io = = 0,35X0,603/12 = 0,0063m4 y A0 = 0,35×0,60= 0,21m2 , por lo tanto:

esto es:

I = (1,0514-2,055w )(2,1546w 2 – 2,0539w + 1,05) 3 Io/(12×0,0063) m4

I = (13,9074-27,1825 w )(2,1546 w 2 – 2,0539 w + 1,05) 3 Io m4 = α(ω) I0

De igual manera se tiene que:

A=BHXA0/A0=(1,0514-2,055ω)(2,1546ω2-2,0539ω+1,05)A0/0,21

A = β(ω) A0

De igual manera a (w ) y β(ω) para ω entre 0,3413 y 0,9762 (=6,15/6,3) :

I =0,35X0,603/12 =0,0063m4=0,0063 Io / 0,0063 = Io = Sección constante por lo tanto a (w )=β(ω)= 1

Determinación de las integrales para obtener los factores elásticos f i ; f j y f según las expresiones 2.5a, 2.5b y 2.5c respectivamente y así poder obtener las constantes elásticas, Ci , Cj y C según 2.6a, 2.6b y 2.6c esto es:

f i = + = + =

La primera integral la evaluaremos por integración numérica, dividiendo en cuatro intervalos iguales, es decir (0,3413-0,025)/4, y la segunda es una integral conocida:

((0,3413-0,025)/4)( f(ω1)+f(ω2)+f(ω3)+(f(ω0)/2)+(f(ω4)/2)) + (0,97623 – 0,34133)/3 =

Donde: ω0 = 0,025; ω1=0,025+(0,3413-0,025)/4 = 0,3413+0,079075=0,1041;

ω2=ω1+0,079075=0,1832; ω3=0,2622; ω4=0,3413 , de tal manera que se obtiene:

f i = (4.724,8/2+154.048,1+905.385,9+3.533.431,9+11.648.537,1/2)x10-8×0,079075+

0,296843 = 0,104.194.968.5×0,079.075 +0,296843 =

0.008.239.217 + 0,296843 = 0,30508

Si dividimos el intervalo en 10 espacios en lugar de 4 se obtiene:

ω0 = 0,025; ω1=0,025+(0,3413–0,025)/10 = 0,025 + 0,03163= 0,05663;

ω2 = 0,05663+0,03163= 0,08826; ω3 = 0,08826+0,03163=0,11989;

ω4 = 0,15152; ω5 = 0,18315; ω6 = 0,21478; ω7 = 0,24641; ω8 = 0,027804; ω9 = 0,30967; ω10 = 0,3413

f I =(4.724,8/2+11.648.537,1/2+31.158,7+97.485,9+232.083,3+478.859,0+904.524,0

+1.609.123,7+2.741.869,2+4.526.741,3+7.308.660,2)x10-8×0,03163+ 0,296843 =

7.514×10-6+0,296843 = 0,30436 muy poca diferencia entre 4 y diez intervalos, 0,24%, debido a que el tramo más largo es de sección constante, lo que lo hace el más importante en la integral de las f . Las otras constantes elásticas f i y f tendrán los siguientes valores:

f j =(0,071866×0,5+0,086467+0,104029+0,125070+0,150159+0,179925+0,215072+

0,256449+0,305209+0,363206+0,433885×0,5)x0,03163+(0,9762-0,3413) –

(0,97622 – 0,34132)+(0,97623 – 0,34133)/3 ) = 0,1597389 = 0,15974

f = (0,001842×0,5+0,005191+0,010071+0,017037+0,026815+0.040342+0,058828+

0,083854+0,117542+0,162928 +0,224814×0,5)x0,03163+((0,97622 –0,34132)/2)

– ((0,97623-0,34133)/3) = 0,1415119 = 0,14151

Por lo tanto las constantes elásticas, Ci , Cj y C y otros valores relacionados con ellas tendrán los siguientes valores:

(f i f j – f 2) = 0,30436×0,15974 – 0,141512 = 0,02860

Ci = f i /( f i f j – f 2) = 0,30436/0,02860 = 10,6420

Cj = f j /( f i f j – f 2) = 0,14151/0,02860 = 5,5853

C = f /( f i f j – f 2) = 0,14324/0,02820 = 4,9479

Ci / C = 10,6420/4,9479 = 2,1508 ; Cj / C = 5,5863/4,9479 = 1,1288

Determinemos la ecuación del Momento en el sistema 0 (M0) isotático: Primero debemos encontrar las reacciones en los extremos del miembro, por medio de las ecuaciones de equilibrio, suma de fuerzas y momentos iguales a cero en cualquier punto.

Hay que encontrar la ecuación de M0 en los tres intervalos que varia la carga, efectuaremos para de estos tres tramos de la siguiente manera:

Ecuación de M0 para x entre 0,1575 y 2,15m (ω entre 0,025 y 0,3413 respectivamente) : La ecuación de la carga aplicada q0(x) es:

De tal manera que la expresión del momento es:

Veamos a continuación:

Verifiquemos los resultados

de esta ecuación con la anterior en x=2,15m ya que deben dar iguales, es decir:

M0(X=2,15) = 0,7528/3X2,153-5,2371/2X2,152+9,1313X2,15 – 0,063 = 9,9589 T-m

M0(X=2,15) = 8,3251X2,15 + (2,15-0,1575)3/(3,985) – 2,5X(2,15-0,1575)2 =9.9589

Ecuación de M0 para x entre 2,15m y 4,15m (ω entre 0,3413 y 0,6587 respectivamente) : La ecuación de la carga aplicada q0(x) es:

Para llevarla a términos de la variable ω, como sabemos ω = X / L por lo tanto:

x = L ω = 6,3ω , sustituyendo esta expresiσn en la ecuación de momentos

Ecuación de M0 para x entre 4,15m y 6,15m (ω entre 0,6587 y 0,9762 respectivamente) : La ecuación de la carga aplicada q0(x) es:

Para llevarla a términos de la variable ω, como sabemos ω = x / L por lo tanto:

x = L ω = 6,3ω , sustituyendo esta expresiσn en la ecuación de momentos resulta:

Dejaremos al lector como ejercicio la determinación de los momentos de empotramiento en los extremos aplicando las expresiones antes descritas y por integración numérica. También serían necesarias las ecuaciones del corte si se quieren tomar en cuenta los efectos del cortante en los momentos de empotramiento, se deja también al lector esto como ejercicio para que compare que diferencia existe si se toman en cuenta o no estos efectos.

5. DEDUCCIÓN DE ECUACIONES FUNDAMENTALES DE KANI.

5.1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS EJE RECTO Y

SECCION CUALQUIERA O CONSTANTE.

Sea la ecuación de rotación para un miembro definida anteriormente en 2.4a, es decir: M i j = MEi j + EKO Ci q i + EKO C q j + EKO (Ci + C) j i j …..(2.4a)

Redefinamos algunos términos para proceder según metodología propuesta por KANI de la siguiente manera:

K i j = KO C = IO C ………(5.1)

2 Li j 2

M´i = 2E q i = Participación en los momentos por influencia del giro q i de la

junta i, en los extremos i de los miembros que llegan a ella …..(5.2a)

M´j = 2E q j = Participación en los momentos por influencia del giro q j de la junta j,

en los extremos j de los miembros que llegan a ella …(5.2b) M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j = Participación en los momentos en los extremos i y j del

miembro i j por influencia de la rotación o giro j i j del

miembro i j. ……………………….(5.2c)

Por lo tanto de 5.1:

KO = (2 K i j ) / C …..(5.3a) o lo que es lo mismo:

KO = (IO / Li j ) (2/C) …..(5.3b) donde:

IO = Inercia de una sección de referencia para el miembro considerado, en un

punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la menor o en el centro

del tramo, o si el miembro es de sección constante es la inercia de esta

sección. Esta inercia puede referirse con relación a un valor cualquiera

arbitrario seleccionado para toda la estructura.

Li j = Longitud del eje del miembro, o para simplificar simplemente = L

De tal manera que si el miembro es de sección constante, no tiene extremos rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por tanto:

K i j = KO (2/2) = KO ………………………………………..(5.3b)

Sustituyendo estas expresiones 5.2a, 5.2b, 5.2c y 5.3a en 2.4a se obtiene que el Momento definitivo o final M i j , en el extremo i de un miembro i j resulta ser:

M i j = ME i j + Ki j M´i Ci + M´j Ki j + Ki j M´´i j (Ci + C) ……………(5.4a)

C 3C

De igual manera se obtiene la expresión del momento en el otro extremo Mj i es decir:

M j i = ME j i + Ki j M´j Cj + M´i Ki j + Ki j M´´i j (Cj + C) ……………(5.4b)

C 3C

Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan en el método de Cross como Factores de Transporte ( ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj i = C/Cj) del Momento de j para i respectivamente.

Kani definió el siguiente término como Factor de corrección para M´´i j bi = (Ci+C)/ (3C)

Consideremos el caso de un miembro cualquiera ( i j ) de una estructura y su deformada final, para el cual aplicando el principio de superposición se puede indicar sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados:

Caso: Sistema original real .

Aplicando el Principio de Superposición de Efectos este caso será igual o puede expresarse como la suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones de rotación modificadas según KANI 5.4a y 5.4b :

Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas inmovilizadas.

El sistema (0) se suele llamar sistema primario con Momentos de Empotramiento en los extremos (ME ), y al conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se denomina usualmente Sistema Complementario, que toman en cuenta los giros de las juntas q i , q j , y rotación del miembro como cuerpo rígido j i j .

INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS (M´i ) DEBIDO A LOS GIROS O ROTACIONES EN LAS JUNTAS q i .

Si en una junta i cualquiera aplicamos la condición de equilibrio, es decir, suma de todos los momentos M i j según 5.4a de todos los miembros o elementos que llegan a ella resulta:

å M i j = å MEi j + å Ki j M´i (Ci/C) + å Ki j M´j + å Ki j M´´i jj (Ci + C) / 3C = 0

(i ) (i ) (i ) (i ) (i )

Despejando el término å Ki j M´i (Ci/C) se obtiene:

(i )

å Ki j M´i (Ci/C) = – [ å MEi j + å Ki j M´j + å Ki j M´´i j (Ci + C) / 3C ] ……..(5.5)

(i ) (i ) (i ) (i )

Si multiplicamos las expresiones (5.2a) por Ki j Ci /C de cada uno de los mismos y todos los miembros que llegan a la junta i considerada y se suman todas ellas se obtiene:

å M´i Ki j Ci =å 2 E q i Ki j Ci y debido a que todos los extremos de los miembros que

(i ) C (i ) C

llegan a la junta i, continua y rígida, giran en cada caso el mismo ángulo de giro q i ,

se puede decir que: å M´i Ki j Ci = 2Eq i å Ki j Ci Despejando 2Eq i que es M´i

(i ) C (i ) C

según se definió en (5.2a) resulta que: M´i = ___1 ____ å M´i Ki j (Ci) å K i j ( Ci) (i ) (C)

(i ) (C)

y colocando el valor del numerador según (5.5) en esta y designando parámetros similares a los propuestos por Kani se obtiene lo que denominamos como:

EXPRESIÓN FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA PEÑA PARA M´i

M´i = m i [ M i + å Ki j M´j + å Ki j M´´i j b i ] ……………(5.6a)

(i ) (i )

Donde: m i = – 1 …..(5.6b) Se le llama factor de giro

2 å Ki j (Ci)

(i ) 2C de la junta considerada.

M i = å MEi j ….(5.6c) y se le denomina Momento de

(i )

Sujeción del nodo o junta i, que

impide el giro del mismo.

b i = (Ci + C) / (3C) ……(5.6d) es el factor de corrección para las influencias M´´i j , de los momentos debidos a los giros de los miembros j i j , para miembros de sección variable, con o sin extremos rígidos y/o con o sin efectos por corte.

Si todos los miembros que llegan a una junta i son de SECCION CONSTANTE, sin extremos rígidos y no se toman en cuenta los efectos de corte, entonces los valores de las constantes elásticas son:

Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces que:

bi = bj = 1 ; m i = – 1 1 ……….. (5.5e)

å K i j

(i )

5.1.3 MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON

EXTREMOS ARTICULADOS.

De la expresión de la ecuación de rotación para miembros de sección variable para un extremo articulado considerando solo la influencia o término con q i :

Este momento es EK o q i ( Ci – C 2 ) y como K O = (2K i j )/C, entonces

y si ambos extremos son continuos este momento según expresión (5.4b) y caso: sistema1 anterior será igual a K i jM´i (Ci) / (C ) , y como según ecuación (5.2a)

M´i = 2E q i , es decir este momento para ambos extremos continuos será igual a

Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b) resulta que la rigidez Koi j de un miembro articulado deberá multiplicarse por un factor para obtener y usar en los cálculos una rigidez equivalente K i j como si el miembro tuviera ambos extremos continuos o rígidos, es decir:

Donde usualmente ri j = C/Ci = Factor de transporte (Definido así por Hardi

Cross en su método de análisis estructural) de Momentos

desde la junta i para la junta j o simplemente factor

de transporte de i para j.

rj i = C/Cj = Factor de transporte de j para i.

Factor de corrección para rigidez

modificada por extremo articulado. …….(5.7b)

De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin extremos rígidos y se desprecian los efectos por deformaciones de corte:

Ci = Cj = 4 ; C = 2;

r i j = rj i = 1/2 ;

K i j = (3/4) Koi j ………….(5.7c)

5.1.4 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, M´´i j ,

DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS j i j .

En el caso de pórticos solo los elementos verticales o columnas son los que sufrirán giro de miembro j , ya que los extremos de los elementos horizontales se trasladan horizontalmente sin que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los únicos elementos de los sistemas estructurales aporticados que tendrán influencias M´´i j en los momentos extremos. Esto partiendo de la hipótesis de las ecuaciones de rotación que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas axiales.

Este efecto de traslación por desplazamientos horizontales que sufren las juntas de un pórtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este método resuelve el sistema de ecuaciones rotación para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las bases del método de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuación:

Este sistema real, con sus solicitaciones externas cualesquiera (S.E.), Hipergeométrico, es decir, un sistema con grados de libertad, que son desplazamientos independientes, G.D.L. mayores que cero. En éste existen juntas que sufren giros o rotaciones q (Desplazamientos angulares) y/o desplazamientos lineales, que provocan en algunos miembros, como indicamos al principio de este punto, en las columnas, giros como cuerpos rígidos, j i j . Los momentos en los extremos de cada miembro se llaman usualmente momentos finales o reales, Mi j Los efectos o resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio de Superposición como la suma de los efectos de los dos sistemas que indicamos a continuación:

Consideremos una columna cualquiera i-j , en un piso p también cualquiera y en el sistema complementario:

Si tomamos momentos en la junta inferior j resulta:

Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas las columnas de un mismo piso p y si todas tienen la misma altura se tiene que:

Vp = Corte total del piso p = å Vi j = å (Mi j + Mj i ) / hi j Sustituyendo a Mi j y a Mj i

(p) (p)

por sus valores según expresión (5.4a) de la ecuación de rotación y como todos los miembros de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para M´´i j según expresión 5.2c ya que tienen los mismos D i j = D P y hi j = h P , por tanto el mismo

j i j = D i j / hi j = j P , es decir: j p = D p / h p , llamaremos a este M´´i j como M´´p influencias de los momentos debidas a los giros j i j = j p y multiplicando y dividiendo por tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay momentos de empotramientos se tiene que:

. ……….(5.9a)

…..(5.9b)

Por lo tanto se obtiene:

……..(5.10)

Despejando el término con M´´p resulta:

………(5.11a)

Como según ecuación (5.2c) M´´p = – 6E j p = – 6E D p / h p ……..(5.11b) y si se multiplica cada M´´p de cada columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se suman todos estos términos de las columnas de un mismo piso se obtiene:

…..(5.11c) Igualando los segundos términos de las expresiones (5.11a) y (5.11c) y sacando fuera los términos D P y hP de la expresión å donde ellos están y despejando de aquí el cociente D P / h P se obtiene que:

D P / h P = sustituyendo este valor en la expresión (5.2c) de M´´i j ahora llamado M´´P resulta:

ordenando y definiendo algunos términos nuevos se obtiene la ECUACION FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEÑA PARA M´´p y M´´i j de la manera siguiente:

…..(5.12a)

M ´´p = M´´i j = – 6 E D P Si todas las columnas de un mismo piso tienen la

hP misma altura hP

Donde:

= Factor de corrimiento del piso p

…….(5.12b) Se calcula para cada piso.

= Momento del piso (p). Se calcula

…..(5.12c) para cada piso.

Si todas las columnas del mismo piso tienen sección constante sin

extremos rígidos y se desprecian las deformaciones por corte, se tendrá:

bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) = (4 + 2) / (3×2) = 1

(bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1

…(5.13a) ……………(5.13b)

5.1.4.1 EXPRESION PARA M´´ P CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.

Consideremos el siguiente esquema general de columnas con diferentes alturas:

Definamos el Factor de corrección por diferencia de altura para cada columna de un mismo piso C i j como: Ci j 1 = hp / hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp / hi j 2 ;

para una columna k cualquiera del piso p Ci j k = hp / hi j k o para simplificar la nomenclatura: Ci j = hp / hi j …..(5.14a)

hi j = hp / Ci j ………. (5.14b) y sustituyendo en (5.8) :

Vi j = – (Mi j+ Mj i) / hi j = – (Mi j+ M j i ) / (hp / Ci j ) Sustituyendo a Mi j y a Mj i por sus valores según expresión 5.4a y 5.4b, y según expresión (5.2c) a M´´i j = M´´j i = – 6Ej i j = -6E D P/ hi j = (-6ED P/ h p )Ci j = M´´p Ci j así como multiplicando y dividiendo por tres todos los términos del segundo miembro y ordenarlos se obtiene:

Sumando todos los cortes Vi j de todas las columnas de un mismo piso (p) : ……(5.15a)

y despejando de esta expresión el término que contiene M´´P :

………(5.15b)

como M´´P = -6E j P = -6E D P / h P ………(5.16)

Multiplicando ambos miembros de 5.16 por Ki j C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos términos de las columnas de un mismo piso y sacando del signo å los coeficientes constantes para el mismo piso (p) se obtiene: …….(5.17a)

igualando los segundos términos de las ecuaciones (5.15a) y (5.17a) y despejando

D P/hp resulta:

…………………………………..(5.17b)

Sustituyendo este valor de (D P / hp ) en la ecuación (5.16) y multiplicando y dividiendo el denominador por dos resulta modificada la ecuación fundamental de Kani-Takabeya-Peña para M´´P de la manera siguiente:

…………………..(5.18a) y además se tiene que:

M´´i j = M´´j I = M´´P Ci j ….…………….(5.18b)

…………………..(5.18c)

……(5.18d)

5.1.4.2 EXPRESIÓN PARA M´´i j PARA COLUMNAS ARTICULADAS Y DE DIFERENTES ALTURAS.

Si igualamos los momentos en el extremo i en cada caso ( M* = M** ) producidos por los giros del miembro (j i j y j ´i j) para conseguir el valor de h´i j que produce el mismo efecto del momento (M´´P ), según las ecuaciones de rotación:

h´i j hi j (Ci+C) m Ci

Encontremos una expresión para M´´i j para columnas con un extremo articulado, en el sistema complementario:

Despejando de ésta el término que contiene M´´i j , multiplicando y dividiendo por tres el segundo término y ordenando términos se obtiene:

si se suman todos estos términos de todas las columnas de un mismo piso:

es decir,

…………(5.21a)

De expresión (5.2c ) y (5.14b) se tiene: M´´i j = – 6EKi j j i j = – 6EKi j D h´i j

M´´i j = – 6E D P Ci j = M´´P C i j ……….(5.21b)

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por bi Ci j Ci +C y sumando

todos estos términos de todas las columnas de un mismo piso (p) resulta:

igualando el segundo término de esta ecuación con el de la (5.21a) y despejando D / hp :

y sustituyendo en (5.21b):

Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas articuladas en extremos i ,

y/o en extremos j y/o con extremos no articulados (Rígidos) y como:

M´´i j = – 6E D P Ci j = M´´p C i j de donde M´´p = M´´ i j / C i j

se puede decir que a continuación se tiene lo que hemos denominado como:

EXPRESIÓN O ECUACION GENERAL FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEÑA PARA M´´p :

…..(5.22a)

M ´´i j = M´´P Ci j = – 6 E D P Ci j

Donde: Ci j = hP / h´i j ; hP = Altura patrón del piso p ;

h´i j = h I j (Altura real de columna) x m

m = (Ci+C) / (Ci) ó = (Cj+C) / (Cj) Factor de corrección solo para columnas articuladas en extremo i o en extremo j respectivamente. En columnas no articuladas m = 1.

= Factor de corrimiento del piso (p).

…….(5.22b) Se calcula para cada piso.

Mp = (Vp hp)/ 3 = Momento del piso (p) ……..(5.22c)

Rigidez modificada para columnas articuladas.

Con K0 = I0/Li j ; I0 = Inercia de referencia.

= Rigidez para columnas sin articulaciones.

SI LAS SECCIONES DE LAS COLUMNAS SON DE SECCION CONSTANTE, NO

TIENEN SEGMENTOS EXTREMOS RÍGIDOS Y NO SE DESPRECIAN LAS

DEFORMACIONES POR CORTE SE TENDRA QUE: m = 3/2 ; Ki j = K0 3/4 ;

y Ci j = hi j 3( Para columnas articuladas)

hp 2

m = 1 ; Ki j = K0 = I0 / L y Ci j = hi j / hp Para columnas no articuladas

NOTA: En columnas articuladas en ambos extremos su rigidez Ki j = o

6. ALGORITMO DE TRABAJO PARA ESTE MÉTODO

ASPECTOS GENERALES:

a)SELECCION CONVENCION DE SIGNOS Y UNIDADES

Las unidades usuales son cm y Kg o m y Ton.

b)IDENTIFICACIÓN NUMÉRICA DE LAS JUNTAS

I I DETERMINACIÓN PREVIA DE VALORES INVARIABLES:

I I . I PARA CADA MIEMBRO :

– LAS CONSTANTES ELASTICAS : C, Ci, Cj según el punto 2

– SU RIGIDEZ : K i j = K0 C / 2 y si tiene un extremo articulado la rigidez

modificada.

Si es de sección constante, sin extremos rígidos y sin considerar efectos por

corte (SC) :

– LOS MOMENTOS ( MEi j ; MEj i ), Y FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

HORIZONTALES ( HEi j ; HEj i ) .

I I . I I EN CADA JUNTA O NODO CUALQUIERA ( i ) donde llegan por lo

menos dos miembros contínuos y que no sean juntas de apoyo:

– Momento de Empotramiento MEI : Si hay momentos en las juntas.

– EL MOMENTO DE SUJECION : M i = å MEi j + MEi = suma de todos los

( i )

momentos de empotramiento en la junta.

– LOS FACTORES DE GIRO m p DE JUNTA:

— LAS FUERZAS EQUIVALENTES HORIZONTALES EN LOS NODOS QUE

NO SON APOYOS = Iguales en magnitud pero de sentido contrario a las de

empotramiento mas las fuerzas horizontales externas aplicadas en las

juntas ( HEQi j = -HEi j ; HEQj i = -HEj i ).

I I.III EN CADA PISO ( p ) : Limitado por dos niveles superior ( j ) e inferior ( i ):

— Seleccionar la altura patrón o de referencia, se recomienda tomar la de la

columna de mayor valor h p .

— El Corte Total en el piso: V p = å Vi j .

(i)

Donde Vi j son todas las Fuerzas Equivalentes Horizontales por encima

del piso considerado.

— EL MOMENTO DE PISO: M p = Vp hp / 3

— LOS FACTORES : bi , bj :

EL FACTOR DE CORRIMIENTO u P del piso considerado:

Si todas las columnas del piso son de sección constante, sin extremos rígidos y no se toma en cuenta el efecto por cortante: bi =1 , bj =1 , (bi+bj)/2=1/2, m =3/2 (Un extremo articulado) , m = 1(Ambos extremos continuos no articulados, [bi+bj]/2=1 ).

III. PROCEDIMIENTO DE CALCULO POR APROXIMACIONES SUCESIVAS:

III . I En cada piso aplicar la expresión:

Los valores iniciales de M’ se toman iguales a cero.

III . II En cada junta o nodo de la estructura que llegan dos o más miembros sin

Articulación aplicar la siguiente ecuación:

III . III ESQUEMA PARA LLEVAR LOS CALCULOS ANTERIORES III .I Y III .II:

III . IV ¿ SE LOGRA LA CONVERGENCIA ?

¿Todos los M´i son aprox. = a los M´i anteriores?

¿Todos los M´´P son aprox. = a los M´´P anteriores?

NO IR A III . II

III . V SI NO HACER MAS CICLOS Y CALCULAR LOS MOMENTOS FINALES

SEGÚN Mi j = MEi j + M´i Ki j (Ci / C) + M´j Ki j + M´´P Ki j Ci j bi

Mi i = MEj i + M´j Ki j (Ci / C) + M´i Ki j + M´´P Ki j Ci j bi

También se pueden obtener las rotaciones, θi, de las juntas y las rotaciones o giros, φ, de las columnas de las expresiones: θi = M´i / (2E) ; φ = ΔP / Altura real de la columna ; ΔP = -( hP M´´P ) / (6E) .

OBSERVACIONES:

Cuando las rigideces se obtienen en función de una inercia de referencia para toda la estructura llamada Ir, o una rigidez de referencia llamada Kr, entonces los valores que se iteran son M´/Ir y M´´/Ir o M´/Kr y M´´/Kr respectivamente. De tal manera que los factores de giro y de corrimiento estarán en función de 1/Ir o 1/Kr.
Los primeros valores o los valores iniciales como no se conocen de M´ se toman iguales a cero. El orden de los cálculos es arbitrario porque el método es autocorrectivo y si cometemos algún error aumentará el número de ciclos.
Cuando se hacen cálculos manuales e incluso automáticos mediante el uso de programas de computación, es importante hacer notar que cuando se trata del análisis de un pórtico por cargas verticales los efectos más importantes se deben a las influencias M´ y se pueden despreciar los efectos por M´´, lo contrario para cargas horizontales los efectos M´´ son los más importantes y los M´ podemos despreciarlos.
En el caso de Pórticos espaciales, podemos suponer que no hay torsión en planta y todas las columnas de un piso tienen la misma desplazabilidad, es decir habrá un solo M´´ por piso y todas las columnas del piso colaboran en el único factor de corrimiento para el mismo y habrá un solo Momento de piso. Un procedimiento mas exacto sería considerar un momento de piso producido por la fuerza horizontal equivalente y un factor de corrimiento para cada pórtico, es decir, cada pórtico tendrá una desplazabilidad distinta.

COLUMNAS QUE PERTENECEN A MÁS DE UN PISO

7.1 Veamos el siguiente caso:

Esta rigidez produce que todos los desplazamientos horizontales del piso sean iguales y por lo tanto podemos suponer una viga ficticia de dimensiones nulas:
Si existe una placa rígida por ejemplo a nivel 2 :
Si no existe placa o elemento suficientemente rígido o un vacío (caso usual):

La columna colabora en las influencias M´´p de los pisos a que pertenece. Se reparte su influencia proporcionalmente a las M´´ de cada piso, y en M´ colaboran todas las M´´p de los pisos a que pertenece la columna.

6.2 OTROS EJEMPLOS:

8 . EJEMPLO NUMÉRICO:

Resolver el siguiente pórtico plano del ejercicio mostrado a continuación

empleando este método acelerado : 4ton/m

Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m.

NUMEREMOS LAS JUNTAS O NODOS:

DETERMINACIÓN DE LOS VALORES INVARIABLES:

PARA CADA MIEMBRO:

Constantes elásticas y Rigidez: Para los miembros de sección variable ya se indicaron al principio del problema. PARA MIEMBROS DE SECCION CONSTANTE: Todos los miembros excepto el 11-12 y el 2-6 tienen como valores Ci = Cj =4 y C = 2.

Momentos de empotramiento (MEi j ) ; Fuerzas de empotramiento horizontales (HEi j ) ; como se indica a continuación:

MIEMBRO 5-8:

MIEMBRO 8-11:

MIEMBRO 11—12:

MIEMBRO 12—13:

MIEMBRO 13—14:

MIEMBRO EN VOLADO JUNTA 13:

MIEMBRO EN VOLADO JUNTA 14:

MIEMBRO 2 — 6

MIEMBRO 6 — 9

MIEMBRO 9 — 12

MIEMBRO 3 7

MIEMBRO 7 10

MIEMBRO 10 13

MIEMBRO 4 15

MIEMBRO 15 14

MIEMBRO 8 9

MIEMBRO 9 10

MIEMBRO 10 15

MIEMBRO 5 6

MIEMBRO 6 7

MIEMBRO 7 15

PARA CADA JUNTA :

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN JUNTAS:

JUNTA O NODO 10:

El resto las pondremos directamente en el siguiente esquema para el cálculo:

Los momentos finales o definitivos están subrayados

Note que la suma de todos los momentos definitivos en los extremos que llegan a una junta debe ser o aproximadamente cero, por ejemplo en junta 10: 12,867-1,909-10,961=-0,003≈0,00

Como se observa en el cuarto ciclo se tiene una exactitud del 20%. Recomendación para acelerar al principio la convergencia y después de haber realizado tres ciclos consecutivos para M´´ y si estos valores van creciendo uno de otro o decreciendo, es decir, X1 < X2 < X3 o X1 > X2 > X3 se puede decir que puede usar en lugar de X3 de una manera aproximada el valor X3´= X1 + 0,9x(3x(X3-X2) + 2x(X2-X1))

En este ejemplo para M´´ :

Del último piso para el cuarto ciclo pudo haberse tomado como M´´ = -22,068 + 0,9x(3x(-62,719+44,973)+2x(-44,973+22,068)) = -111,211 usar este valor en lugar de 62,719

Del segundo piso para el cuarto ciclo pudo haberse tomado como M´´ = -28,398 + 0,9x(3x(-67,315+51,482)+2x(-51,482+28,398)) = -112,698 usar este valor en lugar de 67,315

Del primer piso para el cuarto ciclo pudo haberse tomado como M´´ = -34,373 + 0,9x(3x(-50,444+46,701)+2x(-46,701+34,373)) = -66,670 usar este valor en lugar de 50,444

En el caso de que no hay desplazabilidad o se desprecia, esto es, las M´´ son cero, como el caso de cargas verticales la convergencia es rápida obteniéndose entre el segundo y tercer ciclo de iteración valores aceptables para los M´. Las M´´ iniciales están muy alejadas de su valor final como se observa en el ejemplo.

Veamos como obtenemos los M´´p utilizando la formula en III.I

En el piso 3 o último :

M´´3 / Ir= -2,5962Ir-1x (8,5+29,157Ir-1x 0,1875Irx(2/3)+16,709 Ir-1×0,25 Ir+34,23Ir-1×0,25Ir

+7,314Ir-1 x0,3Ir +52,206Ir-1 x0,3Ir = 110,950 Ir-1 al multiplicar ambos

miembros por Ir resulta M´´3 = 110,950 De igual manera se obtiene:

En el piso 2: M´´2 = -3,174x(8,9472+29,157×0,25x(2/3)+(34,23+25,241)x0,3333+

52,206×0,1714×0,5714×117,598/(117,598+58,116) = -117,598

En el piso 1: M´´1 = -2,3898x(14,3833+7,427×0,2863×0,8939×1,0173+25,241×0,25

52,206×0,1741×0,5742×58,116/(58,116+117,598) = -58,116

Ahora mostremos como se obtienen los Mi´ utilizando la fórmula en III.II

En la junta 6: M´5/Ir = -0,78xIr-1x(0,0+25,241xIr-1×0,2222Ir+

-58,116xIr-1×0,2863Ir x0,8939×1,0173) = 7,427 Ir-1 al

multiplicar ambos miembros por Ir resulta: M´5 = 7,427 De

igual manera en las otras juntas se obtiene:

En la junta 7: M´7 = -0,6207x(0,0+34,230×0,3333+7,427×0,2222+-117,598×0,3333+

-58,116×0,25 = 25,241

En la junta 8: M´8 =-0,8889x(0,667+-110,950×0,1875x(2/3)x1+-117,598×0,25x(2/3)x1)

= 29,157

En la junta 10: M´10 = -0,6667x(3+16,709×0,25+25,241×0,3333+-110,950×0,25+

-117,598×0,3333) = 34,230

En la junta 12: M´12 = -1,3142x(-5,601+16,709×0,1667 = 3,700

En la junta 13: M´13 = -0,6976x(-7,583+3,700×0,1667+7,314×0,3+34,23×0,25+

-110,95×0,25 = 16,709

En la junta 14: M´14 = -0,8333x(3,833+16,709×0,3+52,206×0,3+ -110,950×0,3 = 7,314

En la junta 15: M´15 = -1,0607x(-0,919+7,314×0,3 + -110,950×0,3x1x1+

(-117,598+-58,116)x 0,1714×0,5714×1 = 52,206

Notese que todos los valores de M´ y M´´ han convergido a su valor final con tres

cifras significativas. Para los valores finales de los momentos utilizar las

expresiones de Momentos definitivos y fuerzas internas de los miembros

III.V: Mi j = MEi j + M´i Ki j (Ci / C) + M´j Ki j + M´´PKi j Ci j bi

Mi i = MEj I + M´j Ki j (Ci / C) + M´i Ki j + M´´PKi j Ci j bi

También podemos obtener el giro de una junta cualquiera digamos la 8, θ8 , desplazamiento relativo entre dos niveles consecutivos, digamos el piso 2 entre niveles 1 y 2, Δ2 , así como la rotación de la columna 5-8 del piso 2, φ5-8, de la siguiente manera:

Debemos comenzar el despiece o diagrama de cuerpo libre para cada elemento, con fuerzas internas para aquellos miembros que llegan solo dos en una junta, para así obtener las fuerzas horizontales y verticales que faltan que serán dos y como tendremos en esa junta dos ecuaciones de equilibrio con dos incógnitas, estará perfectamente definido el despiece de ambos miembros, en este ejemplo seleccionamos 8-11 y 11-12. Luego continuamos con los miembros adyacentes. Finalmente si se quiere se pueden hacer los diagramas de corte, fuerza axial y momentos y sus respectivas ecuaciones. Veamos a continuación

Miembro 8-11: