Perpetuidades (página 2)

• El dueño de una mina con reservas de explotación probadas para un plazo mayor a 100 años, tiene una utilidad neta promedio anual de 18000 um. Calcule el valor presente de la mina con el objetivo de venderla ahora pues se sabe que los próximos dos años la mina no operará por renovación de sus equipos. El dueño percibe una TEA de 15 %.

Solución: Con los datos R = 18000; i = 15%, K = 2, y aplicando la fórmula tenemos:

2.5. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE DIFERIDA ANTICIPADA:

Para calcular el valor presente de una perpetuidad simple diferida puede utilizarse la formula del valor presente de una anualidad simple diferida anticipada temporal, reemplazando su FAS por el de una renta perpetua.

La formula calcula el valor presente de una perpetuidad simple anticipada diferida k periodos de renta, en la cual i es la tasa efectiva de cada periodo. Con las siglas establecidas la fórmula se representaría así:

Ejemplo:

• Una sociedad benéfica obtuvo una donación anual de 5000 um, de forma indefinida, los mismos que se percibirán a inicios de cada año, pero después de haber transcurrido 3 años contados a partir de la fecha ¿cuál es el valor presente de esa donación, dada una TEA de 8%?

Solución: Con los datos Ra = 5000; i = 8%; k = 3; y con la fórmula tenemos:

2.6. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE CUYAS RENTAS SE REALIZAN CADA CIERTO NÚMERO DE PERIODOS DE TASA:

Existen diversas actividades de producción de bienes o servicios cuyos activos deben mantenerse, renovarse o sustituirse periódicamente cada cierto número de años, originando desembolsos que constituyen una renta perpetua, tal como sucede con el mantenimiento de carreteras, puentes, renovación de unidades de transportes, etc. Los primeros desembolsos periódicos para mantener esos activos pueden verse en la gráfica del siguiente modo:

¿Cuál será el importe del valor presente de las rentas perpetuas uniformes W que se realizarán cada z periodos capitalizados? Puede dividirse el horizonte temporal en subhorizontes temporales uniformes de z periodos cada uno. El importe W al final de cada subhorizonte puede considerarse como el monto de una anualidad vencida de z rentas uniformes R.

Este cálculo se realiza aplicando la siguiente fórmula:

La fórmula calcula el valor presente de una perpetuidad en la cual las rentas se realizan cada z periodos de la tasa i. Con las siglas establecidas, la fórmula se representaría así:

Ejemplo:

• El Puente colgante de Chosica con San Fernando deberá reemplazarse cada 15 años con una inversión de 15000 um. Calcule el importe que debe depositarse hoy, para formar un monto que asegure a perpetuidad los remplazos futuros del puente, si dicho capital percibe una TEA de 10%.

Solución: Con los datos W = 15000; i = 0.1; z=15, y aplicando la fórmula tenemos:

Una inversión de 4721.07 um. Colocado hoy a una TEA del 10% generará un monto dentro de 15 años de 19721.07 um., el asegurará a perpetuidad el importe requerido de 15000 um. Para efectuar los reemplazos futuros del puente, como se aprueba a continuación:

Monto al finalizar el año 15:4721,07 ×1,1515 19271.07

Retiro para reemplazar el puente -15000.00

Saldo que generará el nuevo monto de 15000 um 4721.07

Rentas de una perpetuidad

3.1. RENTA PERPETUA VENCIDA

¿Cómo se calcula una renta perpetua si se conoce el importe de un valor presente y una tasa de interés? Por ejemplo, si una persona abre un depósito de 10000 um, una cuenta de ahorros a un TEM de 3% y retira al término de cada mes 300 um. Dado que la cuenta tiene una duración indefinida y que el principal permanece invariable: al término del primer mes se habrá generado un interés de 300 um, y producto del retiro el saldo de la cuenta sería 10000 um (el monto igualaría al principal); al término del segundo mes se generaría un interés de 300 um, y producto del retiro el saldo regresaría a 10000 um, y así sucesivamente.

Una renta uniforme perpetua vencida puede verse entonces como el flujo de efectivo producido periódicamente por una cuenta a una tasa de interés determinada, en un horizonte temporal infinito, que se retira al término de cada período.

La fórmula calcula la renta perpetua vencida de una anualidad simple cuyo horizonte temporal es infinito y en el cual i es la tasa efectiva del periodo de renta. En este caso, la tasa i constituye el FRC cuando n tiende a +8. Con las siglas establecidas la fórmula puede representarse de la siguiente manera:

R = P. FRCi;8

Ejemplo:

• Una persona decidió abrir una cuenta con un importe de 10000 um, en un banco que remunera los ahorros a con una TEA de 6%, con el objeto de retirar indefinidamente una renta uniforme mensual cada 30 días. Calcule el importe de esa renta perpetua.

Solución:

3.2. RENTA PERPETUA ANTICIPADA

Para el cálculo de la renta uniforme perpetua anticipada, reemplazamos la renta vencida R por su equivalente anticipada Ra (1+i):

Cálculo de "i" en una perpetuidad

El cálculo de i puede realizarse directamente al despejar de sus respectivas fórmulas de perpetuidades, el valor presente o la renta de una perpetuidad. El resultado que se obtenga con esta operación constituye la tasa de la perpetuidad.

Ejemplo:

• 1. ¿Cuál debe ser la TEA de una cuenta abierta con un importe de 10000 um para que produzca una renta perpetua mensual vencida de 250um?

Solución: Con los datos P=10000; R= 250; y aplicando la formula:

Capitalización

La palabra capitalización es utilizada como sinónimo de valor presente de una renta perpetua.

Ejemplo:

• La compañía la Rosa tiene terrenos alquilados en forma indefinida, que le aseguran rentas de $500 a inicios de cada mes. ¿Cuál es el valor capitalizado de esos activos considerando una TEM del 1%?

SOLUCIÓN: Con los datos Ra= 500; i= 0.01; y aplicando la fórmula tenemos:

Ante el rendimiento del 1% efectivo mensual, es equivalente disponer de un capital de $50500 o ser propietario de los terrenos de la Rosa.

5.1. COSTO CAPITALIZADO

El costo capitalizado de un activo está constituido por su costo inicial más el valor presente de las infinitas renovaciones para poseerlo permanentemente, como sucede en el caso de bienes que deben prestar servicios de forma indefinida, por ejemplo: caminos, puentes, muelles, pavimentos, etc. La diferencia con la capitalización es que ésta excluye el costo inicial del activo. Las renovaciones de activos fijos permanentes se producen necesariamente al final de su vida útil; según el costo de las condiciones del mercado, puede ser diferente al costo original del bien.

Si se designa:

C = costo capitalizado del activo

F = costo original o inicial del activo

W = costo de reemplazo del activo

z = número de años de vida útil del activo

i = tasa de interés periódica

Y de acuerdo con el concepto de costo capitalizado de un activo fijo; costo original + valor presente de las infinitas renovaciones, se tiene que:

C = F + P

Dado que en este caso P constituye el valor presente de una perpetuidad pagadera cada z periodos, cuyo valor se calcula con la fórmula del valor presente de una perpetuidad simple cuyas rentas se realizan cada cierto número de periodos de tas, puede reemplazarse en la formula del siguiente modo:

Donde i y z son del mismo plazo.

Ejemplo:

• La canalización de las riberas del rio Rimac en la zona del centro de Lima tuvo un costo de 400000 um. Los técnicos estimaron que cada 15 años debía limpiarse y reforzarse los muros de contención a un costo aproximado de 150000 um. Calcule el costo capitalizable dado una TEA de 8%.

Solución: Con los datos: F = 400000; z = 15; i = 0.08; W = 150000; aplicando la fórmula tenemos:

El importe de 469055.40 um permitirá cubrir el costo original de 400000 um para canalizar el rio Rimac. El saldo de 69055.40 um al cabo de 15 años, se habrá convertido en 219055.40 um, a la TEA de 8%, lo que permitirá cubrir el importe de 150000 um para limpiar y reforzar los muros de contención y dejar un remanente de 69055.40 um, a fin generar indefinidamente un nuevo monto para la limpieza refuerzos posteriores.

5.2. COSTO CAPITALIZADO CUANDO "F" ES IGUAL A "W"

Si el costo original F de activo fijo es a su respectivo costo de reemplazo W, entonces la formula puede modificarse dando el siguiente resultado:

Ejemplo:

• Calcule el costo capitalizado de una camioneta combi cuyo precio de adquisición es 15000 um, su vida útil es de 5 años y el costo de sus futuros reemplazos es similar al original. Considere una TEA de 7%.

Solución: Con los datos F=15000; z=5; i= 0.07 y con la fórmula:

Conclusiones

• Las perpetuidades son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.

• Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.

• Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito.

• Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija por muchos periodos. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.

• Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.

Bibliografía

• Carlos aliaga Valdez; manual de matemática financiera. Apuntes de estudio.

• http://www.monografias.com/trabajos29/6-llaves-maestras-matematicas-financieras/6-llaves-maestras-matematicas-financieras.shtml.

Autor:

Neil Alex Navarro