Perpetuidades

Anualidad compuesta por un conjunto de rentas que se generan y distribuyen en un horizonte temporal que tiende al infinito, como sucede por ejemplo, con los dividendos que otorgan a las sociedades anónimas cuyo plazo de operación se supone indefinido; asimismo con los fondos que se acumulan para mantener infraestructuras de larga vida: puentes, carreteras, acueductos, reservorios, etc.

Las rentas perpetuas, al igual que las temporales pueden ser vencidas, anticipadas y diferidas.

A continuación se presenta un esquema de los diagramas de flujo de caja de las rentas perpetuas ciertas: vencidas, anticipadas y diferidas; estos diagramas presentan en el horizonte temporal su extremo derechos abierto, que indica su fin no determinado.

Monto de una perpetuidad

El FCS que lleva al futuro una serie de rentas uniformes, cuyo número tiende a +8 (más infinito) es:

Por esta razón, el monto de la misma serie de rentas también tenderá hacia infinito.

Valor presente de una perpetuidad

Calcular el valor presente de una perpetuidad simple significa descontar hacia el momento 0 infinitas rentas uniformes que se ubican en el futuro, con i como tasa de descuento.

2.1. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE VENCIDA:

Para calcular el valor presente de una perpetuidad constituida por rentas uniformes vencidas, se aplica:

Ejemplo:

• Con el objeto de apoyar los trabajos que realiza el Instituto Americano de Dirección de Empresas, la Fundación GBM decidió donarle a perpetuidad un importe de 10000 um, al final de cada año lectivo. Calcule el valor presente de la donación a una tasa de interés equivalente a una TEA de 6,25%.

Solución: Con los datos R=10000; i = 6,25% y aplicando la fórmula anterior tenemos:

2.2. VALOR PRSENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE ANTICIPADA:

A partir de la fórmula del valor presente de una perpetuidad simple vencida se puede calcular el valor presente de una perpetuidad con rentas anticipadas al reemplazar en esa fórmula R por su equivalente Ra.

La fórmula calcula el valor presente de una perpetuidad simple vencida cuando n tiende hacia el infinito y en la cual R es el mismo plazo que i. Con las siglas establecidas, la fórmula se representaría así:

Ejemplo:

• El gobierno se comprometió que a partir de la fecha desembolsará anualmente y de forma indefinida un importe de 20000 um para mantener la carretera Lima – Barranca. Calcule el valor presente de esa perpetuidad con una TEA de 5 %.

Solución: Con los datos Ra = 20000; i = 5% y con la fórmula anterior se calcula P:

2.3. VALOR DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE ANTICIPADA CUYA RENTA INICIAL ES DISTINTA DE LAS DEMÁS:

En el caso de de que el importe de la renta anticipada Ra ubicada en el momento 0 sea diferente al importe de las demás rentas vencidas R de la perpetuidad, el valor presente será igual a la renta anticipada más el valor presente de la perpetuidad vencida.

Ejemplo:

• Una fundación ofrece una donación a perpetuidad a una universidad, aunque estipula que el primer importe de 10000 um que se efectuará a inicios del primer año se destine a la adquisición de libros y los siguientes importes de 5000 um, que se van a ser entregados anualmente de forma indefinida, sean para el mantenimiento de la institución. Calcule el valor presente de esa donación con un costo de oportunidad equivalente a una TEA de 10%.

Solución: Con los datos: Ra = 10000; R = 5000; i = 10%, y aplicando la fórmula tenemos:

2.4. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE DIFERIDA VENCIDA:

Para calcular el valor presente de una perpetuidad simple vencidas se aplica la siguiente formula, reemplazando el FAS de una anualidad simple diferida vencida temporal por el de una renta perpetua vencida:

La formula calcula el valor presente de una perpetuidad simple vencida diferida k periodos de renta, en la cual i es la tasa efectiva de cada periodo. Con las siglas establecidas, la fórmula se representaría así:

Ejemplo: