Sea s(t) una señal función de la variable t y r(t) una función de respuesta. Se define la operación convolución de r con s
El efecto de la convolución es la suavización de la función señal y su contaminación para un t dado con señal proveniente de t adyacentes. Métodos espectrales: convolución
? La correlación entre dos señales g(t), h(t) viene dada por
donde CF denota correlation function y DCF discrete correlation function. Cuando las señales son funciones del tiempo, t se denomina retraso (lag en inglés) ? La autocorrelación se define, de forma análoga, como donde ACF denota autocorrelation function. La ACF se suele emplear para encontrar períodos. Métodos espectrales: correlación
? La correlación entre dos señales g(t), h(t) viene dada por
donde CF denota correlation function y DCF discrete correlation function. Cuando las señales son funciones del tiempo, t se denomina retraso (lag en inglés) ? La autocorrelación se define, de forma análoga, como donde ACF denota autocorrelation function. La ACF se suele emplear para encontrar períodos. Métodos espectrales: correlación
? La correlación entre dos señales g(t), h(t) viene dada por
donde CF denota correlation function y DCF discrete correlation function. Cuando las señales son funciones del tiempo, t se denomina retraso (lag en inglés) ? La autocorrelación se define, de forma análoga, como donde ACF denota autocorrelation function. La ACF se suele emplear para encontrar períodos. Métodos espectrales: correlación
Métodos espectrales: correlación Ejemplo: medida de dispersión de velocidades del triplete del calcio por medio de CCF
Se define la función de estructura de una señal s(t), como
donde SF denote structure function. SF da cuenta del incremento de la variacia como función de t, es decir, mide la escala de t en la que se produce la variancia máxima (Simoneti et al….???)
Métodos espectrales: función de estructura
Métodos espectrales: función de estructura
Ejemplo: SF como promedio de una pobación de fuentes (Aretxaga et al. 1997, MNRAS, 286, 271)
Se define la potencia de una señal s(t) a una frecuencia ?, como
donde FT denota Fourier transform. Alternativamente, la potencia también se define como El espectro de potencias mide la contribución a la variancia de una cierta frecuencia ?. Métodos espectrales: espectro de potencias
Ejemplo: espectro de potencias de corrimientos Doppler en el sol. Medida de periodos (Wentzel 1989)
Métodos espectrales: espectro de potencias
Ejemplo: espectro de potencias de la curva de luz en LE (0.05-2keV) y ME (2-10keV) de NGC4051 medida por ROSAT (Papadakis & Lawrence 1995, MNRAS, 272, 161) ruido blanco
? Ruido blanco (white noise), es un espectro de potencias plano, con igual potencia por cada intervalo de frecuencia (Hz). Ejemplos de procesos que crean ruidos blancos son los proceso poissonianos no correlacionados (shot noise), o el ruido térmico en circuitos electrónicos (ruido de Johnson). ? Ruido rosa o ruido 1/f (flicker noise, ruido de exceso), está caracterizado por una potencia constante por cada década de frecuencia. Es inherente a muchos sistemas de eléctricos, asociado a variaciones en la resistencia. Por lo tanto, es algo a tener en cuenta al diseñar observaciones, por ejemplo con bolómetros. También aparece frecuentemente en la naturaleza: la velocidad de las corrientes marinas, el flujo de los granos en un reloj de arena, la potencia de una pieza musical, …
? Ruido rojo o ruido 1/f2
Métodos espectrales: espectro de potencias
La transformación de Fourier (FT) convierte funciones del espacio temporal o espacial al espacio de frecuencias temporales o espaciales. Esta transformación simplifica el cálculo de los métodos espectrales.
En Física se utiliza la frecuencia expresada en rad/s en vez de en ciclos/s, ?=2p? ? Propiedades si h(t) es real ? H(-?) = H*(?) imaginario ? H(-?) = -H*(?) par ? H(-?) = H(?) impar ? H(-?) = -H(?) real y par ? H(?) es real y par real e impar ? H(?) es imaginario e impar imaginario y par ? H(?) es real y par imaginario e impar ? H(?) es real e impar
Transformadas de Fourier
transformada antitransformada
? Propiedades: escalaje
corrimiento
teorema de convolución:
teorema de correlación:
teorema de Wiener-Khinchin:
teorema de Parseval:
Transformadas de Fourier
Sea una señal s(t) medida a intervalos equidistantes de frecuencia 1/?: sn=s(n?) donde n=…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… Se define la frecuencia crítica de Nyquist como donde S(?)=0 para |?|=?c
? Teorema de muestreo: si una función continua s(t), evaluada a intervalos equidistantes ?, está acotada en su ancho de banda (S(?)=0 para |?|=?c), entonces la función está completamente determinada por su muestra sn.
Si la función no se evalua con una frecuencia mayor que la frecuencia de Nyquist, entonces ocurre el engorroso problema de la creación de sobrenombres (aliasing)
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Transformadas de Fourier discretas (DFT) Recomendación: examínese la FT cerca de los valores correspondientes a la frecuencia crítica de Nyquist. Si la FT no se aproxima a 0, probablemente existan contribuciones de frecuencias que se han doblado dentro del ancho de banda. (Press et al. “Numerical Recipes”)
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