CD=5. Encontrar ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" CURSO: GEOMETRIA 1 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
GEOMETRÍA:
Docente: Dr. Johnny F. Farfán P. Actualmente la geometría, en sus diversas concepciones, tiene muchas aplicaciones, en el campo de la física (estática), análisis vectorial, en la ingeniería y arquitectura. Las construcciones de casas, edificios, puentes, puertos, etc.
La geometría es una ciencia que surge de la necesidad de medir los terrenos y trazar sobre ellas líneas divisorias. La palabra geometría deriva de dos palabras griegas geo, que significa tierra y metron que significa medir.
Tema Nº1: SEGMENTOS
1. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AD=30, Ab=10, CD=12. Calcular BC. a.5 b. 6 c. 7 d. 8 e.9 2. En los puntos colineales A, B, C, D se cumple que BC=5, AC+BD=20. Hallar AD. a.10 b. 12 c. 13. d. 14 e. 15
3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, ¡
D de modo que AB=4; BC=3; ???? +???? ???? d. a.1, 25 b. 1,21 c. 1,22 1,23 e. 1, 27 4. En una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C de modo que AB=10 + x; BC= 16 – 2x. Encontrar "x", si B es punto medio del segmento AC.
a.1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
5. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C tal que AB+AC=18, luego se toma el punto medio "M" del segmento BC. Hallar AM.
a.7 b. 8 c. 9 d. 5 e. 4
6. En una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, luego se toma el punto medio M del segmento BC. Encontrar AM, si: ????2 4 + ????.???? = 64
a.6 b. 7 c. 8 d. 5 e.4 7. En los puntos colineales A, B, C, D se cumple que AC=14, BD=16. Encontrar la longitud del segmento que une los puntos medios de los segmentos AB y CD.
= Encontrar AC. ???? = ???? Hallar AE. + = Hallar CD. ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" CURSO: GEOMETRIA 2 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
a.11 b.12 c.13 d.14 e.15 8. Los puntos A, B, C, D, E se encuentran sobre una línea recta, de tal forma que: BC=2AB, AD=20, Además AB.CE=AC.BD Calcular DE.
a.10 b. 20 c. 30 d. 40 e. 50 9. En los puntos colineales A, B, C, se toma el punto medio M del segmento BC de modo que AB2+AC2=26. Hallar AM2+BM2
a.10 b.11 c.12 d.13 e.14
10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D cumpliéndose que AB.BD=AD.BC, además 1 ???? + 1 ???? = 2 5 Hallar BC. a. 2,4 b.2,5 c.2,6 d.2,7 e.2,8
11. En una línea recta se ubican los puntos A, B, C, D tal que CD2=AC.BC, además: 1 1 1 ???? ???? 13
a.13 b.14 c.15 d.16 e.17
12. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que ¡
AB.CD=AD.BC, además: 1 ???? + 1 ???? 1 6 a.11 b.12 c.13 d.14 e.15
13. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que: AB.CD=2AD.BC, además: 2 ???? + 1 ???? = ?? 2???? Hallar "n". a. 4 b.5 c.6 d.7 e.8
14. En una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que: AC+BD+CE=35, además: 3 4
a.10 b.20 c.30 d.40 e.50 15. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D cumpliéndose que (AB-CD) (AD+BC)=36, BD=8. Encontrar AC.
a. 10 b.11 c.12 d.13 e.14
TAREA ACADÉMICA
16. En una línea recta se ubican los puntos A, B, y Cen el orden indicado, tal que AC+BC=10. Calcular MC, si M es el punto medio de AB. a.5 b.6 c.7 d.8 e.9
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 3 UNIVERSIDAD SAN MARCOS 17. A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos de tal manera que B, C y D son puntos medios de AC, AE y BE respectivamente. Calcular AE, si CD=2 a.12 b.14 c.16 d.18 e.20
18. Sobre una recta se ubican 3 puntos consecutivos A, B y C tal que la distancia entre los puntos medios de AB y AC es 36. Calcular BC.
a.70 b.72 c.74 d.78 e.80
19. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que Ac=30. Determinar la distancia entre los puntos medios de AB y BC.
a.10 b.15 c.20 d.25 e.30
20. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que AC=10 y BD=12. Determinar la distancia entre los puntos medios de AB y CD.
a.11 b.12 c.13 d.14 e.16
Tema Nº2: ÁNGULOS
Desde la invención del ángulo geométrico, fue posible representar y comprender los objetos de la naturaleza mediante gráficas. Por ejemplo, el equilibrio de las estructuras es explicado a partir de las fuerzas que se producen al interior de los cuerpos. Mediante la valiosa ayuda de la Geometría se establecieron las primeras relaciones entre ángulos segmentos y fuerzas.
Un desarrollo ulterior de la geometría es la trigonometría.
DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.
ELEMENTOS – Lados: Son los rayos y – Vértice: Es el origen común "B"
Notación: En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice. Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.
? ?ABC, ABC El símbolo ? se lee "ángulo"
MEDIDA DE UN ÁNGULO Los ángulos se miden en grados sexagesimales.Para encontrar la
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medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador. Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
divide al ?A0B en dos ángulos. ? ? A0P y P0B que son congruentes por tener la misma medida "?" luego. es bisectriz de ?A0B
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA a. Ángulo Nulo Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º. ¡
. m?A0B = 0º. b. Ángulo Agudo Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.
. 0º < m?A0B < 90º.
c. Ángulo Recto Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.
. m?A0B = 90º.
d. Ángulo Obtuso Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 5 UNIVERSIDAD SAN MARCOS . 90 < m?A0B < 180º. e. Ángulo Llano 30 Es aquel cuya medida es 180º. (Sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)
. m?A0B = 180º. f. Ángulo de una Vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º
. m?A0B = 360º. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN a. Ángulo Consecutivo Son los que tienen lados en común y el mismo vértice b. Ángulo Opuestos por el Vértice Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida) CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS a. Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 6 UNIVERSIDAD SAN MARCOS .? + ? = 90º .
b. Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º .? + ? = 180º.
TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º .? + ? + ? + ? = 180º.
Teorema II La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º. .? + ? + ? + ? + ? = 360º.
1. Enontrar el complemento de un ángulo que mide 25º más el suplemento de otro ángulo que mide 105º.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 7 UNIVERSIDAD SAN MARCOS a.120º b.130º c. 140º d. 150º e. 160º
2. Encontrar la medida de un ángulo, si es igual a ocho veces su suplemento.
a.150º b.160º c.170º d.180º e.185º
3. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a 2/5 de su suplemento. a.10º b.20º c.30º d.40º e.50º
4. Encontrar la medida de un ángulo "x" , sabiendo que SC(x)+SSS(2x)+CC(3x)=390º
a.40º b.50º c.60º d.70º e.80º
5. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5. ¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?
a.100º b.120º c.130º d.140º e.150º
6. La medida de un ángulo es "x", el suplemento del complemento del triple de "x" es igual al complemento de "x" aumentado en 20º. Calcular "x". a.3º b.4º c.5º d.6º e.7º 7. Si a la medida de un ángulo se le resta su complemento, resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo.
a.40º b.50º c.60º d.70º e.80º
8. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 30º y al otro se le aumenta 30º, lo que queda del segundo es igual a 17 veces lo que queda del primero. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
a.100º b.110º c.120º d.140º e.145º
9. El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al duplo del complemento de dicho ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.
a.80º b.60º c.120º d. 90º e.135º
10. Si al suplemento del complemento de la medida de un ángulo se le aumenta el complemento del suplemento
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de la medida de dicho ángulo, resulta 90º más el suplemento de la medida de dicho ángulo. Hallar la medida del ángulo. b.80º c.75º d. 90º a.60º e.45º 11. La medida de un ángulo es "x", si SC(x)=120º, encontrar E=SSSSCCC(x).
a.60º b.45º c.90º d.30º e.75º
12. La suma de las medidas de dos ángulos es igual a 80º, el complemento del primer ángulo es el doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
a.70º b.60º c.40º d.50º e.35º
13. Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º.
a.45º b.50º c.55º d.60º e.65º
14. Dado los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que la suma de medidas de los ángulos AOC y BOD es 100º. Calcular la medida del ángulo AOD, si la ¡
suma de las medidas de los ángulos AOB y COD es 50º.
a.60º b.65º c.75º d.80º e.85º
15. Sean los ángulos AOB, BOC y COD tres ángulos consecutivos. Si mAOC + mBOD=140º, determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
a.70º b.75º c.80º d.85º e.90º
TAREA ACADÉMICA
16. El suplemento del complemento del doble de un ángulo excede en 42º a los dos tercios del complemento del ángulo. Calcular el valor de dicho ángulo. a.4,5º b.5,5º c.6,5º d.7,5º e.8,5º
17. Calcular el valor de un ángulo sabiendo que los ¾ del suplemento de su complemento es igual a un ángulo recto.
a.10º b.20º c.30º d.40º e.50º
18. Calcular un ángulo si el complemento de la cuarta
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parte del suplemento del complemento del ángulo es igual al complemento del doble del ángulo más 16º.
a.11º b.22º c.33º d.44º e.55º
19. La medida de un ángulo es "x". Si la diferencia entre los 5/6 del suplemento de "x" y el complemento de x/2 excede en x/15 el doble del complemento de "x". Calcular el suplemento del complemento de "x".
a.150º b.160º c.165º d.170º e.175º
20. En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD se cumple que: mBOD – 3mAOB=60º, mCOD=3mAOC. Hallar mBOC.
a.10º b.12º c.14º d.15º e.16º
Tema Nº3: TRIÁNGULOS
CONCEPTO Es un polígono que tiene tres lados
CLASIFICACIÓN Según la Medida de sus Lados Según la Medida de sus Ángulos
PROPIEDADES BÁSICAS 1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º
.? + ? + ? = 180º.
2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.
a.a.a. A ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo CURSO: GEOMETRIA 10 UNIVERSIDAD SAN MARCOS .? = ? + ?.
CLASIFICACIÓN 1. Según sus ángulos: Acuntángulo, sus tres ángulos interiores son agudos. un Obstusángulo, tiene ángulo interior obstuso. Rectángulo, tiene un ángulo interior recto, los lados que forman al ángulo recto se llaman catetos, el tercer lado se llama hipotenusa.
2. Según sus lados:
Equilátero, sus tres lados son congruentes, cada uno de los ángulos interiores mide 60º.
Isósceles, dos de sus lados son congruentes, al lado no congruente se le llama base, los ángulos adyacentes a la base son congruentes, pueden ser: triángulo acutángulo isósceles, triángulo obstusángulo ¡
isósceles, triángulo rectángulo isósceles.
Escaleno, sus lados no son congruentes. 1. PROBLEMAS
Hallar x si ??+?? = ????° ?? n ? ? m m+n ?? x
B
A) 30 B) 40 C) 60 D) 80 E) 45
2. Calcule "x" .Si AB=BC=CD B
C
40 x 20 A) 40° B) 50° C) 60°D D) 70° E) 80° 3. En un triangulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior
a.??= d.??= e.??= c.??= ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 11 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ???? en cuya prolongación se ubica el punto P tal que AB=PC y m?BCP=60° .si m?ABC=40°, calcule la medida del ángulo determinado por ??????????.
a. 60° b.50° c.80° d.90° e.100°
4. En un triangulo ABC, AB= BC, ???? es una ceviana interior, tal que R????=24°. La bisectriz del ángulo ARC corta a ???? en el punto Q. Hallar la m?AQR. a.72° b.56° c.76° d.78° e. 82° a.10° b.20° c.15° d.30° e.18° 6.- En un ABC, recto en B se traza la altura ???? , la cual es cortada en los puntos Q y M por las bisectrices interiores ?????????? , respectivamente. Hallar MQ, si BE=7 y BD=7. a.3 b.1,5 c.2 d.6 e.4 7.-En un triangulo PQR, PQ=6, se traza la ceviana interior ???? , tal que ?????? = 3?? y QF=4, si ?? = 2??. Hallar FR a.12 b.10 c.8 d. 11 e.9 8.-Dado un triangulo ABC, en la región relativa a los lados AB y BC se ubican los puntos N y Q respectivamente tal que: N, C y Q son colineales.m?BAQ=m?QAC 2m?BCQ+m?ABC=100; m?ACN=3m?BCQ Calcule: m?AQN a.50° b.100° c.90° d.110° e.120° 9.-En un triangulo dos lados miden 7 y 9cm.Calcular el perímetro del triangulo si le tercer lado mide el doble de uno de los otros. a.20 b.25 c.35 d.30 e.40 10.-Se tiene un triangulo isósceles ABC (AB=BC) .Se toman los puntos G, M y F en los lados AB, BC y AC respectivamente tal que el triangulo FMG es equilátero SI m?GFA=?? y m?=FMC=??; además m?BGM=?? se cumple: ?? +?? 2 ?? +?? 2 ?? -?? 2 ?? -?? 2 b.??= ?? -2 ?? 2 11.-En un triangulo ABC, se trazan las cevianas BE y AD de manera que AB=AE=BD, DE=DC y m?BAE=60. Calcule m?EDC 30° A B C 5. Hallar "a", si AB=BE=BD=CD E a D
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12.- En un triangulo ABC, m?BAC=2m?BCA, se ubica D exterior al triangulo relativo al lado BC .Si ???? ? ???? y m?DBC+m?BCA=60, entonces m?BCD es: a.10º b.15º c.20º d.30º e.60º 13.- En la figura mostrada, a.18 b.21 c.24 d.27 e.30 14. Los lados de un triángulo miden 12; 2x+5; x-2, encontrar su perímetro, sí "x" es un número entero. a.27 b.28 c.29 d.30 e.31 15. En un triángulo ABC, AB=9, por el vértice B se traza una recta paralela al lado AC, la cual corta a la prolongación de la bisectríz interior del ángulo A en el punto D. Calcular BD. a. 7 b.8 c. 9 d.10 e.12 TAREA ACADÉMICA 16. Dado un triángulo ABC, con AB=12 y BC=15, por el vértice B se traza una recta L paralela al lado AC, la prolongación de la bisectríz interior AD corta a la recta L en "F" y la bisectríz exterior del ángulo C corta a la recta L en "E". Hallar FE. a.2 b.3 c.4 d.5 e.6 17. En el triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC al cortarse. a.70º b.80º c.82º d.85º e.90º 18. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, la altura BH y la bisectríz interior AF se cortan en el punto E. Hallar BE, si BF=5 a.3 b.4 c.5 d.6 e.7 19.dado un triángulo ABC, en el cual se traza su bisectríz interior AD, luego por D se traza una recta paralela al lado AC la cual corta al lado AB en el punto E. Calcular AB, si: DE=3 y AB=3BE. a.4,5 b.4,6 c.4,7 d.4,8 e.4,9 20. Se construye el triángulo ABC, cuyos lados mide: a, b, c, por la parte del lado BC exterior al triángulo se toma un punto F. Hallar el mayor valor A C F BE=EF=EC;m?BAF=2m?BEF.Calcul e m?BCA E B
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