ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡ CURSO: GEOMETRIA 13 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
entero que puede tomar FC, si a+c=11, FA=5, FB=4. a.11 b.12 c.13 d.14 e.15 Tema Nº4: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente. ?
1.
2. ?ABC = ?PQR
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
Caso (L.A.L.)
Caso (A.L.A.) 3.
4. CASO (L.L.L.)
Caso (L.L.A.) ? : Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. De la Bisectriz Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 14 UNIVERSIDAD SAN MARCOS . PA ? PB 0A ? 0B . 2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento. 3. De la Base Media de un Triángulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Si: // . BN = NC . 4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa. PROBLEMAS
Si: M y N son puntos medios
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 15 UNIVERSIDAD SAN MARCOS Tema Nº5: CUADRILÁTEROS El objetivo de estudiar a los cuadriláteros es aprender areconocerlos, las características de los paralelogramos, trapecios y trapezoides.
CUADRILÁTERO: Es el polígono que tiene 4 lados, dos diagonales y la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360º, pueden ser convexos, no convexos, cruzados, completo.
DEFINICION.-
Es aquel polígono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo común. 1) LADOS?AB, BC, CD y DA? Son los segmentos rectilíneos que lo limitan. Los lados que no tiene vértice común recibe el nombre de lados opuestos. Ejm: AB y CD, son lados opuestos como BC y DA. 2)
3)
4) VERTICES: (A, B, C y D) Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadrilátero, el número de lados es igual al número de vértices.
ÁNGULOS INTERIORES (?1, ?2, ?3 y ?4) Son los ángulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de ángulos interiores en un cuadrilátero es = 360°. Se cumple que:
?1 + ?2 + ?3 + ?4 = 360°
ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4) Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. son Los ángulos exteriores adyacentes a los interiores. La suma de sus ángulos exteriores en un cuadrilátero es igual a 360° 5) B1 + B2 + B3 + B4 = 360° DIAGONALES?AC y BD? Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos. A C D
ELEMENTOS.- B4 B3 B1 ?1 B ?2 B2 ?3 ?4
AB ? BC; AD ? CD ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 16 UNIVERSIDAD SAN MARCOS A C m m CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Por la forma de su contorno Convexos.- Son aquellos Cóncava.- Son aquellos cuadriláteros en los que existe al menos una secante que determina más de dos puntos de corte. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS
De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en: Trapecio y Trapezoide, Paralelogramo. A. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos, ningún lado paralelo al otro paralelo. a. Simétrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra.
Propiedades:
B Línea de Simetría ? ? ^ ^ ^ ^ L : mediatriz de BD
D L ABD ? DBC ? ? ADB ? BDC ? ?
b. Asimétrico: Es aquel que no tiene ninguna simetría. También llamado trapezoide irregular. ? ? a b c d A D cuadriláteros en los que cualquier recta secante, determina 2 puntos de corte.
B C 1 2 1 4 3 2
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" 17 UNIVERSIDAD SAN MARCOS BASES: BC; AD
BC // MN// AD MN: Mediana del trapecio. Es el CH : segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Se le conoce también como "base media".
Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.
PROBLEMAS 1. En un paralelogramo ABCD, una recta secante paralela a la diagonal BD corta a CD en Q, a BC en N, a las prolongaciones de AB y AD en M y R. Calcular MQ, si NR=6. a.4 b.5 c.6 d.7 e.8 2. En un paralelogramo ABCD, AB=4, las bisectrices interiores de los ángulos B y
CURSO: GEOMETRIA ¡
C se cortan en un punto del lado AD. Hallar el perímetro del paralelogramo. b.22 c.23 d.24 a.21 e.25 3. Calcular la base mayor de un trapecio, los lados no paralelos miden 5 y 7, las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la base menor se cortan en un punto de la base mayor. b.11 c.12 d.13 a.10 e.14 4. En un cuadrilátero convexo ABCD, AB=6, CD=10. Hallar el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de BC, AC, BD y AD. b.15 c.16 d.17 a.14 e.18 5. En un rombo ABCD cuyo lado mide 12, se toma el punto medio M del lado BC, por el punto medio de BM se traza una recta paralela al lado AB que corta a BD en P y a AM en Q. Hallar PQ. a.2 b.3 c.4 d.5 e.6 ¡Tú eres el próximo
B. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos denominados bases. B C H l m N
m
D M
l
A
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" CURSO: GEOMETRIA 18 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
6. En un paralelogramo ABCD, se marcan los puntos medios M de AB, N de AD, sobre el lado CD se toma un punto Q de modo que: DQ=CD/4, MC=8. Hallar NQ. a.4 b.5 c.6 d.7 e.8 7. En un triángulo ABC, encontrar la distancia del punto medio de la mediana AM a una recta exterior que pasa por el vértice C, si las distancias de los vértices A y B a la recta exterior son 2 y 8. a.1 b.2 c.3 d.4 e.5 8. En un rombo ABCD, encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC. a.15º b.30º c.45º d.60º e.75º
9. En un trapecio recto el menor lado no paralelo mide 8, el menor ángulo interior mide 53º. Hallar el segmento que une los puntos medios de las diagonales. a.2 b.3 c.4 d.5 e.6 ¡
10. En un cuadrado ABCD, calcular la distancia de su centro a una recta exterior que pasa por el vértice B, la proyección de la diagonal AC sobre la recta exterior mide 14. a.5 b.6 c.7 d.8 e.9 11. En un cuadrilátero convexo ABCD, BD=20. Encontrar la distancia entre los baricentros de los triángulos ABC y ACD.
a.20/3 b.22/3 c.25/3 d.26/3 e.29/3 12. En un paralelogramo ABCD, AB=6, AD=9, las bisectrices interiores de los ángulos A y B se cortan en el punto F. Hallar la distancia de F al centro del paralelogramo. a.1, 2 b1,3 c.1,4 d.1,5 e.1,6 13. En un cuadrilátero convexo ABCD, mB=mD=90º, se toman los puntos medios M de AC, N de BD, F de BM. Calcular NF. a.2 b.3 c.4 d.5 e.6 14. En un romboide ABCD, AB=6, BC=2, las bisectrices exteriores de los ángulos C y
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" 19 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
D se cortan en el punto F, de modo que mABF=90º. Hallar BF. a.3 b.4 c.5 d.6 e.9 15. En un cuadrilátero ABCD, mBAC=mCAD=22º, mACB=23º, mACD=38ª, BC=12. Calcular CD.
a.4 6 b. 5 6 c. 6 6 d. 7 6 e. 8 6 TAREA ACADÉMICA
16. En un trapecio ABCD (BC//AD), las bisectrices de los ángulos interiores B y C se intersecan en un punto de AD. Si: AB=7 y CD=10, calcular AD.
a.15 b.16 c.17 d.18 e.19
17. En un trapecio ABCD,mB=2mD, BC//AD, AB=6 y BC=4. Calcular la longitud de la mediana. a.5 b.7 c.8 d.9 e.4 18. En un trapezoide ABCD, AB=CD, mA=80º, mD=40º; M y N son puntos medios de BC y AD respectivamente. Calcular el ángulo ANM.
a.50º b.60º c.70º d.80º e.90º
CURSO: GEOMETRIA ¡
19. En un trapecio ABCD (BC//AD), se traza la altura BH. Si además AH=2, HD=9, BC=3 y mA=2mD. Calcule el valor de AB. a.3 b.4 c.5 d.6 e.7 20. Calcula el valor del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles ABCD (BC//AD), donde: AC=BC+AD a.15º b.30º c.45º d.60º e.70º
Tema Nº6: POLÍGONOS
POLÍGONO: Es la figura plana que se encuentra formada por la unión de un conjunto finito de segmentos de recta que se llaman lados, que se unen por sus extremos y que se llaman vértices.
Se denomina diagonal al segmento que une dos vértices no consecutivos.
El conjunto de los lados forman el contorno o frontera, la suma de sus longitudes se llama perímetro.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 20 UNIVERSIDAD SAN MARCOS N° de lados = N° de vértices = N° de s internos.
ELEMENTOS: A, B, C, D, E Vértice
Lados :
: AB, BC, CD, DE, EA m internos : ?, ?, ?, ?, ? m externos : x, y, z, . POLIGONO CONVEXO Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos. Es decir mayores que cero y menores que 180. POLIGONO NO CONVEXO O CONCAVO
Cuando algunos de sus ángulos internos son mayores de 180 y menores que 360. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS CONVEXOS 1. Polígono Equiángulo.- Cuando tienen todos sus ángulos internos (congruentes) iguales. Ejm: 2. Polígono Equilátero.- Cuando tienen todos sus lados (congruentes) iguales.
Ejm: Interno ) Externo ) A C E D ? ? Diagonal Z B
y° x° ?
?
?, ?, ?? 180° ° ° ° ° ° 120° 120° 120° 120° 120° 120°
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ 21 UNIVERSIDAD SAN MARCOS 3. ? Cuando sus lados son (iguales) y sus ángulos son ? (iguales).
Ejms: S int = 180 (n – 2) 2da Propiedad.- Suma de las medidas de los ángulos externos. S ext = 360 a a
a a
a
Pentágono no convexo equilátero
Polígono Regular.- 60° a
60° a
60° a Triángulo equilátero
CURSO: GEOMETRIA Cuadrado
108° 108° 108°
108° 108°
PROPIEDADES
* Para todo polígono convexo.- Si "n" es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:
1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los ángulos internos
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" CURSO: GEOMETRIA 22 UNIVERSIDAD SAN MARCOS ¡Tú eres el próximo
3ra Propiedad.- Número total de diagonales. n?n ?3? 2 DT ? 4ta Propiedad.- Número de diagonales desde un solo vértice.
D1 = (n – 3) 5ta Propiedad.- Número de diagonales medias n?n?1? 2 Dn ? 6ta Propiedad.- Medida del interior (?) 180?n ?2? n ? ? 7ma Propiedad.- Medida del exterior (B) 360 n B ? ¡
8va Propiedad.- Medida del central (?) 360 n ? ? PROBLEMAS
1. El número de diagonales de un polígono es igual a doce veces su número de lados.¿Cuántos lados tiene el polígono? a.22 b.24 c.25 d. 27 d.29 2. En un polígono regular, la medida de su ángulo exterior más la medida de su ángulo interior más la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 720º. Hallar el número de lados. a.5 b.6 c.7 d.8 e.12
3. Los números de lados de dos polígonos regulares son dos números consecutivos. Calcular el número de lados del polígono de mayor ángulo exterior, si la diferencia de las medidas de sus ángulos exteriores es 12º. a.7 b.6 c.5 d.9 e. 11
4. Hallar el número de lados de un polígono regular, si la
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medida de su ángulo interior es igual al triple de la medida de su ángulo central. a.6 b.7 c.8 d.9 e.10 5. ¿Cuál es el polígono, cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18º? a.7 b.8 c.9 d.10 e.13 6. Si el número de lados de un polígono se duplica, la suma de las medidas de sus ángulos interiores se cuadriplica. Encontrar el número de lados. a.3 b.4 c.5 d.6 e.7 7. La diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es igual a 13. Hallar el número de lados. a.7 b.8 c.9 d.10 e.11 8. Los ángulos interiores B, C, D de un polígono convexo ABCDE miden 170º, 160º, 150º. Hallar la medida del menor ángulo formado por las prolongaciones de los lados AB y DE. ¡
a.30º b.45º c.60º d. 75º e.90º
9. En un polígono, el número de diagonales más el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los otros vértices más el número de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de su ángulos interiores es igual a 14. Encontrar el número de lados. a.5 b.6 c.8 d.9 e.13 10. En dos polígonos regulares (1 y 2) se cumple que: mi1+mi2=210º. Halleme1+me2 (mi, me son las medidas de los ángulos interior y exterior)
a.110º b.120º c.130º d.140º e.150º
11. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AB=2, BC=6, CD=4, AF=9. Calcular EF. a.1 b.2 c.3 d.4 e.5 12. En un hexágono convexo, la suma de las medidas de cuatro ángulos consecutivos es igual a 490º. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de los otros dos ángulos.
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a.45º b.55º c.65º d.75º e.85º
13. Los segmentos AB, BC, CD, DE son cuatro lados consecutivos de un icoságono regular ABCDEF.Hallar la medida del ángulo formado por las prolongaciones de los lados AB y ED. a.122º b.124º c.125º d.126º e.128º 14. Cuándo el número de lados de un polígono regular disminuye en dos, su número de diagonales disminuye en 15. Encontrar la medida de su ángulo central.
a.32º b.34º c.35º d.36º e.37º 15. Cuando a un polígono convexo se le aumenta un lado, su número de diagonales aumenta en 6. ¿Cuál es el número de diagonales si se le disminuye un lado?
a.9 b.10 c.11 d.12 e.13
TAREA ACADÉMICA
16. Calcualr el número de lados de un polígono convexo, si su número de diagonales es mayor que el número de lados en 150º. ¡
a.15 b.20 c.24 d.28 e.30
17. En un polígono convexo, desde (n-6) vértices consecutivos, se trazan 25 diagonales. Encontrar la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. c.1460º a.1440º d.1470º b.1450º e.1480º 18. En un polígono equiángulo ABCDEF. cuyo número de lados es "n", las prolongaciones de AB y ED se intersecan en L de modo que el ángulo ALE es obstuso. Calcule el mínimo valor de "n". a.11 b.12 c.13 d.14 e.15
19. ¿En qué polígono regular se cumple que al aumentar 30º la medida de su ángulo externo, se obtiene otro polígono regular en el cual su ángulo externo es a su ángulo interno como 2 es a 7? Dar el número de lados.
a.31 b.33 c.35 d.36 e.38
20. En un polígono convexo ABCDE. se trazan dos diagonales de tal forma que
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 25 UNIVERSIDAD SAN MARCOS de los cuatro polígonos parciales que se determinan, tres sean triángulos y la suma del número de diagonales totales del polígono inicial y del polígono parcial que no es un triángulo es igual a 23, calcular la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono parcial.
a.700º b.800º c.900º d.600º e.500º
Tema Nº7: CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN.-
Es la figura geométrica que está formado por todos los puntos de un mismo plano que se encuentran a una misma distancia de otro punto de ese mismo plano denominado centro.
A la distancia constante de estos puntos al centro de le denomina radio de la circunferencia. Se denomina círculo a la región interior del plano limitada por una circunferencia. ELEMENTOS: – CENTRO (O): Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia. Dos o más circunferencias con el mismo centro se dice que son –
–
–
–
– concéntricas. RADIO ?OA?: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. CUERDA ?BC?: Segmento que une dos puntos de una misma circunferencia. DIAMETRO ?DE?: Es la cuerda de mayor longitud que pasa por el centro de la circunferencia dividiéndola en partes iguales. SECANTE ?FG?: Es toda recta en el plano de la circunferencia en dos puntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda. TANGENTE ?HI?: Es toda recta en el plano de la circunferencia que tiene solo un punto común con este (T), el cual recibe el nombre de "punto de tangencia" A B C D E F G H I T R M N O Tangente Secante
M CURSO: GEOMETRIA ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ 26 UNIVERSIDAD SAN MARCOS –
– FLECHA ?MN?: Segmento levantado perpendicularmente del punto medio de una cuerda al arco. La prolongación de la flecha siempre pasa por el centro. ARCO ?AN?: Es la porción de circunferencia limitada por los extremos de una cuerda. En particular, una semicircunferencia es un arco limitado por los extremos de un diámetro. 2da Propiedad.- El segmento que une el centro de una circunferencia es perpendicular a la cuerda. Esta divide a los arcos que subtiene en dos partes congruentes.
3raPropiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes.
4ta Propiedad.- En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre paralelas son congruentes. de dos PROPIEDADES:
1ra Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de contacto.
L1 T (PuntodeTangencia) B O
E A 5ta Propiedad.-
B
? ? B
Posiciones Relativas circunferencias. B O D A
a C
a A B C D N M
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡ CURSO: GEOMETRIA 27 UNIVERSIDAD SAN MARCOS Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O' y radios R y r respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:Si AB? CD ? b) Tangentes Exteriormente.- Cuando tiene un punto común y los demás puntos de una son exteriores a la otra. En este caso, sus centros están a lados opuestos de la tangente común y la distancia entre ellos es igual a la suma de los radios. ¡Tú eres el próximo
c) d) Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre sus centros es menor que la suma de los radios, pero mayor que su diferencia. son interiores a la otra. Sus centros están al mismo lado de la tangente común y la distancia entre ello es igual a la diferencia de los radios.
PROBLEMAS
1. En la figura: M, N y P: puntos de tangencia AC = 15. Calcular AB + BC. O O´ R r mAB ? mCD
a) Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. La distancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios.
P Q E F d d r O´ O B
AB: Cuerda
Común
OO' ? AB
e) Tangentes Interiormente.- Cuando tienen un punto común y todos los puntos de una de ellas R – r ? d ? R+r
A R d R
O r O´
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" CURSO: GEOMETRIA 28 UNIVERSIDAD SAN MARCOS a. 33 b.30 c. 32 d.34 e. 3 2. En la figura: R, S T y P: puntos de tangencia: si AB = 6, BC = 8 y CD = 10. Calcular AD. a.6 b.9 c.7 d.8 e.10 3. En la figura (L1 // L2) A y B: puntos de tangencia. Calcular m POQ, además "O" centro a.4 b.3 c.2 d.1 e.5
5. En la figura, la circunferencia a.100º b.110º c.120º d.130º e.140º 6. En la figura "O" es centro. m Calcular x si m TOC = 2 TCO. C B
r M N P 8 A S
P B
R
A C
T
D P L1 L2 O
Q
a.70° b.80° c.90° d.100° e.120° O R S P 2 ¡Tú eres el próximo ¡
4. En la figura R y S: puntos de tangencia. Calcular RS.
6 A es tangente a los 3 lados. Si m B = 40. Calcular x.
B C x°
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 29 UNIVERSIDAD SAN MARCOS a.30° b.40° c.35° d.45° e.50° 7. En la figura: S, M y T: son puntos de tangencia. Calcular "x". a.80º b.70 c.75º d.95º e.85º
8. En la figura: A, B son puntos de tangencias. Calcular 2x. a.150º b.170º c.160º d.180ºe.190º
9. En la figura T, P y Q son puntos de tangencia. Calcular: m TOP + m BOC.
Nota: B, O, P no son colineales a.230º b.240º c.220º d.260º e.250º 10. En la figura M, N, P, Q son puntos de tangencia, AB + CD = 20, AD = 12, Calcular MC. a.2 b.6 c.5 d.3 e.4 11. Hallar AT, si AB = 7, BC = 8 y AC = 9. O C T x x° 20° S r T M 20 A x°
B O Q B A C P T 40° B A C D P Q N M
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 30 UNIVERSIDAD SAN MARCOS a.6 b.5 c.4 d. 2 e.3
12. Hallar "x" en el sgte. gráfico. 13. En la figura, Calcular "x" si P y S son centros. a.90º b.40º c.80º d.50º e.70º 14. Si "O" es centro, T es punto de tangencia y la m OAT = a.50° b.90° c.80° d.70° e.60°
15. En un triángulo ABC: AB = 8, BC = 10 y AC = 12. Si la circunferencia inscrita determina sobre ACel punto M. Calcular AM. a.3 b.4 c.5 d.6 e.2
Tema Nº8: RELACIONES MÉTRICAS A)RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULORECTÁNGULO de un triángulo Elementos Rectángulo. a y b = Son las longitudes de los catetos BC y AC . c = Es la longitud de la Hipotenusa AB C B P A T Q 40°
d.60° e.30° B A
x
C
a.70° b.50° c.40° P 40° x° S Q R T P 20. Calcular la m PTA.
A O
a = m. c b =n.c h =m.n ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 31 UNIVERSIDAD SAN MARCOS 2 2 h = Es la altura relativa a la Hipotenusa. m = Es la longitud de la n proyección del cateto sobre la hipotenusa.
= Es la longitud de proyección del cateto BC
la AC sobre la hipotenusa.
– Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa".
En la figura se cumple que: TEOREMA2(TeoremadePitágoras)
"En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".
En la figura se cumple que: TEOREMA 3
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma"En la figura se cumple que
2
c < a + b2 ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 32 UNIVERSIDAD SAN MARCOS + 1 a2 1 = 1 b2 h2 < 90o 2 2 TEOREMA 4
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa
En la figura se cumple que: TEOREMA 5
"En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa".En la figura se cumple que
B. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
1)TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo.
2)COMO RECONOCER SI UN TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO U OBTUSÁNGULO Se aplican las siguientes propiedades:
– Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos. NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90.
– Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90.
c > a + b2 ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 33 UNIVERSIDAD SAN MARCOS > 90o 2 2 LADO 3)PROYECCIÓN DE UN SOBRE OTRO LADO En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para ello siempre se traza una altura
– En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado sobre otro esta contenido en este último. – En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se debe prolongar este último.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 34 UNIVERSIDAD SAN MARCOS 4)TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
"En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel".
Si: ?< 90º TEOREMA 2
"En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel"
Si ?> 90º
5)TEOREMA DE LA MEDIANA
"En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana".
Así en la figura
c P M ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" 35 UNIVERSIDAD SAN MARCOS A B C M c mc A C b a
B x c CURSO: GEOMETRIA ¡Tú eres el próximo
"mC" ? es la mediana relativa al lado "c".
Entonces: 2
2 2 a2 ?b2 ? 2mC ? TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente: S i "x" es la proyección de la mediana CM , entonces: ¡
PROBLEMAS 01. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa están en la relación 2:1. El cateto mayor mide 4 6 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? a) 10 cm b) 12 cm c) 9 cm
d) 11 cm e) 13 cm
02. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm y uno de los catetos mide 8 cm. ¿Cuánto mide la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa? c) 3 a) 6,4
d) 3,6 b) 2,8
e) 5 03. En un rectángulo ABCD: AB = 6 cm BC = 8 cm, calcular la longitud BC de la proyección del lado AC . sobreladiagonal c) 5 a) 5,4
d) 6 b) 6,4
e) 3,6 BC 04. Sobre el lado de un rectángulo ABCD se toma un punto P tal que el ángulo APD es recto. SI BP = 3, PC = 12. Hallar el perímetro de dicho rectángulo.
a ? 2 ? CURSO: GEOMETRIA ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ 36 UNIVERSIDAD SAN MARCOS A B C 4 x 7 D C P 4 H Q 2 A B C H x D A B C P R Q D a) 40 b) 44 c) 42 d) 46 e) 38 5. Los catetos de un triángulo rectángulo miden a y b, si: 1 144 1 2 1 b Calcular la altura relativa a la hipotenusa. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 6. es un En la figura ABCD cuadrado. Hallar "x". a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 7. SI ABCD es un cuadrado, hallar RH. B a) 3,6 b) 4 c) 4,8 d) 5,2 e) 5 8. En la figura AB = 3, BC = 4, AD = 7, hallar "x". a) 1 b) 2 2 c) 3 2 3 3 d) 1 e) 2 9. En la figura PQR es un triángulo equilátero y ABCD es un cuadrado si PC = 10. Hallar el área del cuadrado.
ACADEMIA "SANTO DOMINGO DE GUZMÁN" ¡Tú eres el próximo ¡ CURSO: GEOMETRIA 37 UNIVERSIDAD SAN MARCOS a) 2 2 b) 17 c) 7 400 3 d) 300 7?2 3 e) 10. En un triángulo rectángulo ABC, rectoenB,AB=8,BC=6; se traza la mediana CM ; calcular la longitud de la proyección de CM sobre AC . c) 5 a) 1,2
d) 6,8 b) 3,4
e) 7,9 11. Las bases de un trapecio isósceles miden 2 y 8 m respectivamente, y cada lado no paralelo mide 6 m. Hallar la longitud de una de las diagonales. a) 26 b) 8 c) 7 d) 2 13 e) 6 12. En el interior de un cuadrado ABCD se toma un punto P, tal que la mediana del ángulo APD = 90, AP = 4, PD = 3. Calcular la longitud de la proyección de BP sobre
a) 1 AP .
b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2 13. Los lados de un triángulo miden 7,6 y 97 . Calcular la longitud de la mediana relativa al menor lado. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 14. Se tiene un cuadrado abad sobre CD y AD se toman los puntos P y Q respectivamente tal que AP = 8, PQ = 4, AQ = 6. Una de las diagonales del cuadrado mide: c) 8,5 a)
d) 7 2 b) 9
8 2 e) 9 2 15. Las bases de un trapecio miden 2 y 12 metros respectivamente. Hallar la altura del trapecio. c) 4,8 a) 5
d) 5,2 b) 4
e) 5,6
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