División por Ruffini, por Luis Enrique Alvarado Vargas

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 -3×2 +2 ) : (x -3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1Dados los polinomios:

P(x) = 4×2 – 1 Q(x) = x3 – 3×2 + 6x – 2 R(x) = 6×2 + x + 1 S(x) = 1/2×2 + 4 T(x) = 3/2×2 +5 U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) = = (4×2 – 1) + ( x3 – 3×2 + 6x – 2) = = x3 – 3×2 + 4×2+ 6x – 2 – 1 = = x3 + x2+ 6x – 3 2P(x) – U (x) = = (4×2 – 1) – (x2 + 2) = = 4×2 – 1 – x2 – 2 = = 3×2 – 3 3P(x) + R (x) = = (4×2 – 1) + (6×2 + x + 1) = = 4×2 + 6×2 + x – 1 + 1 = = 10×2 + x 42P(x) – R (x) = = 2(4×2 – 1) – (6×2 + x + 1) = = 8×2 – 2 – 6×2 – x – 1 = = 2×2 – x – 3 5S(x) + R (x) + U(x) = = (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = = 3×2 + 11 6S(x) – R (x) + U(x) = = (1/2 x2 + 4 ) – (3/2 x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 4 – 3/2 x2 – 5 + x2 + 2 = = 1

2Dados los polinomios:

P(x) = x4 -2×2 – 6x – 1 Q(x) = x3 – 6×2 + 4 R(x) = 2×4 -2 x – 2

Calcular:

P(x) + Q(x) – R(x) = = (x4 -2×2 – 6x – 1) + (x3 – 6×2 + 4) – ( 2×4 -2 x – 2) = = x4 -2×2 – 6x – 1 + x3 – 6×2 + 4 – 2×4 + 2 x + 2 = = x4 – 2×4 + x3 -2×2 – 6×2 – 6x + 2 x – 1 + 4 + 2 = = -x4 + x3 – 8×2 – 4x + 5 P(x) + 2 Q(x) – R(x) = =(x4 -2×2 – 6x – 1) + 2(x3 – 6×2 + 4) – ( 2×4 -2 x – 2) = = x4 -2×2 – 6x – 1 +2×3 – 12×2 + 8 – 2×4 + 2 x + 2 = = x4 – 2×4 + 2×3 -2×2 – 12×2 – 6x + 2 x – 1 + 8 + 2 = = -x4 + 2×3- 14×2 – 4x + 9 Q(x)+ R(x) – P(x)= = (x3 – 6×2 + 4) + ( 2×4 -2 x – 2) – (x4 -2×2 – 6x – 1) = = x3 – 6×2 + 4 + 2×4 -2 x – 2 – x4 +2×2 + 6x + 1= = 2×4 – x4 + x3 – 6×2 +2×2 -2 x + 6x + 4- 2 + 1= = x4 + x3 – 4×2 + 4x + 3 1(x4 -2×2 +2 ) · (x2 -2x +3) = = x 6 -2×5 + 3×4 – 2×4 + 4×3 – 6×2 + 2×2- 4x +6= = x 6 -2×5 – 2×4 + 3×4 + 4×3 + 2×2 – 6×2 – 4x +6 = = x 6 -2×5 + x4 + 4×3 – 4×2 – 4x + 6 2 (3×2 – 5x ) · (2×3 + 4×2 – x +2) = = 6×5 + 12×4 – 3×3 + 6×2 – 10×4 – 20×3 + 5×2 – 10x = = 6×5 + 12×4 – 10×4 – 3×3 – 20×3 + 6×2 + 5×2 – 10x = = 6×5 + 2×4 – 23×3 + 11×2 – 10x 3 (2×2 – 5x + 6) · (3×4 – 5 x3 – 6 x2 + 4x – 3) = = 6×6 – 10×5 – 12 x4 + 8×3 – 6 x2 – – 15×5 + 25×4 + 30×3 – 20×2+ 15x + +18×4 – 30×3 – 36×2 + 24x – 18 = = 6×6 – 10×5 – 15×5 – 12 x4 + 25×4 + 18×4 + +8×3 – 30×3 + 30×3- 6 x2- 20×2 – 36×2 + 15x + 24x – 18 = = 6×6 – 25×5 + 31×4 + 8×3 – 62×2 + 39x – 18

3Dividir los polinomios:

1(x4 – 2×3 -11×2+ 30x -20) : (x2 + 3x -2)

2(x 6+ 5×4 + 3×2 – 2x) : (x2 – x + 3)

3 P(x) = 2×5 + 2×3 -x – 8         Q(x) = 3×2 -2 x + 1

4 Dividir por Ruffini:

1 (x3 + 2x +70) : (x+4)

2(x5 – 32) : (x – 2)

C(x) = x4 + 2×3 + 4×2 + 8x + 16 R= 0 3 (x4 -3×2 +2 ) : (x -3)

C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 (2x – 3)2 = (2x)2 – 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4×2 – 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a – b) = a2 – b2 (2x + 5) · (2x – 5) = (2 x)2 – 52 = 4×2- 25

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9 x2 + 27 x + 27 (2x – 3)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 – 33= = 8x 3 – 36 x2 + 54 x – 27

Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 – x + 1)2 = = (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1= = x4 + x2 + 1 – 2×3 + 2×2 – 2x= = x4- 2×3 + 3×2 – 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2) 8×3 + 27 = (2x + 3) (4×2 – 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab + b2) 8×3 – 27 = (2x – 3) (4×2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6

Ejercicios resueltos de productos notables

1 Desarrolla los binomios al cuadrado.

1(x + 5)2 = = x2 + 2 · x · 5 + 52 = = x 2 + 10 x + 25 2(2x – 5)2 = = (2x)2 – 2 · 2x ·5 + 52 = = 4×2 – 20 x + 25 2(2x – 5)2 = = (2x)2 – 2 · 2x ·5 + 52 = = 4×2 – 20 x + 25 4

2Desarrolla los binomios al cubo.

1 (2x – 3)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 – 33= = 8x 3 – 36 x2 + 54 x – 27

2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 = = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 3(3x – 2)3 = (3 x)3 – 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 – 23 = =27x 3 – 54 x2 + 36 x – 8

4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 = = 8×3 + 60 x2 + 150 x + 125

3Desarrolla las sumas por diferencias

1(3x – 2) · (3x + 2) = = (3x)2 – 22 = = 9×2 – 4

2(x + 5) · (x – 5) = = x2 – 25

3(3x – 2) · (3x + 2) = = (3x)2 – 22 = = 9×4 – 4

4(3x – 5) · (3x – 5) = = (3x) 2 – 52 = = 9x 2 – 25

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x – a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x)= x4 – 3×2 +2         Q(x)= x – 3 P(x) : Q(x)

P(3) = 34 – 3 · 32 + 2 = 81 – 27 + 2 = 56

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x – a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero del poinomio P(x).

P(x) = x2 – 5x + 6 P(2) = 22 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 P(3) = 32 – 5 · 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 x = 2 y x = 3

son raíces o ceros del polinomio:

P(x) = x2 – 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Raíces de un polinomio

1Los ceros o raíces de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x — a).

3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x2 – 5x + 6 = (x – 2) · (x – 3) 4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.

x2 + x = x · (x + 1) Raíces: x = 0 y x = – 1 6

Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x2 + x + 1

Ejercicio

Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:

Q(x) = x2 – x – 6 Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 12 – 1 – 6 ? 0 Q(-1) = (-1)2 – (-1) – 6 ? 0 Q(2) = 22 – 2 – 6 ? 0 Q(-2) = (-2)2 – (-2) – 6 = 4 +2 – 6 = 0 Q(3) = 32 – 3 – 6 = 9 – 3 – 6 =0 Las raíces son: x= -2 y x = 3. Q(x) = (x + 2 ) · (x – 3 )

1ºFactor común de un polinomio

Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c) Una raíz del polinomio será siempre x = 0

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:

1 x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = – 1 2 2×4 + 4×2 = 2×2 (x2 + 2) Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3 x2 – ax – bx + ab = x (x – a) – b (x – a) = (x – a) · (x – b) La raíces son x= a y x = b.

2ºIgualdad notable 1

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x2 – 4 = (X + 2) · (X – 2)

Las raíces son X = – 2 y X = 2 2 x4 – 16 = (x2 + 4) · (x2 – 4) = (X + 2) · (X – 2) · (x2 + 4) Las raíces son X = – 2 y X = 2

2Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = – 3.

La raíz es x = 2.

3ºTrinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = – 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4 – 10×2 + 9 x2 = t x4 – 10×2 + 9 = 0 t2 – 10t + 9 = 0

x4 – 10×2 + 9 = (x + 1) · (x – 1) · (x + 3) · (x – 3)

x4 – 2×2 + 3 x2 = t t2 – 2t + 3 = 0

x4 – 2×2 + 3 = (x2 + 1) · (x + · (x –

4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2×4 + x3 – 8×2 – x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 – 8 · 12 – 1 + 6 = 2 + 1- 8 – 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c (x -1) · (2×3 + 3×2 – 5x – 6 ) Una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 – 5 · 1 – 6? 0 P(-1) = 2 · (- 1)3 + 3 ·(- 1)2 – 5 · (- 1) – 6= -2 + 3 + 5 – 6 = 0

(x -1) · (x +1) · (2×2 +x -6) Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por – 1.

P(-1) = 2 · (-1)2 + (-1) – 6 ? 0 P(2) = 2 · 22 + 2 – 6 ? 0 P(-2) = 2 · (-2)2 + (-2) – 6 = 2 · 4 – 2 – 6 = 0

(x -1) · (x +1) · (x +2) · (2x -3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio. 2x -3 = 2 (x – 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2×4 + x3 – 8×2 – x + 6 = 2 (x -1) · (x +1) · (x +2) · (x – 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = – 1, x = -2 y x = 3/2

Ejercicios resueltos de factorización de polinomios

Factorizar los polinomios

19×4 – 4×2 = x2 · (9×2 – 4) = x2 · (3x + 2) · (3x – 2) 2×5 + 20×3 + 100x = x · (x4 + 20×2 + 100) = x · (x2 + 10)2 33×5 – 18×3 + 27x = 3x · (x4 -6 x2 + 9) = = 3x · (x2 – 3)2 42×3 – 50x = =2x · (x2 – 25 ) = 2x · (x + 5) · (x – 5) 52×5 – 32x = = 2x · (x4 – 16 ) = 2x · (x2 + 4) · (x2 – 4) = = 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x – 2) 62×2 + x – 28 2×2 + x – 28 = 0

2×2 + x – 28 = 2 (x + 4) · (x – 7/2)

Descomponer en factores los polinomios

1

2xy – 2x – 3y +6 = = x · (y – 2) – 3 · (y – 2) = = (x – 3) · (y – 2) 325×2 – 1= = (5x +1) ·(5x – 1) 436×6 – 49 = = (6×3 + 7) · (6×3 – 7) 5×2 – 2x +1 = = (x – 1)2 6×2 – 6x +9 = = (x – 3)2 7×2 – 20x +100 = = (x – 10)2 8×2 + 10x +25 = = (x + 5)2 9×2 + 14x +49 = = (x + 7)2 10×3 – 4×2 + 4x = = x · (x2 – 4x +4) = = x · (x – 2)2 113×7 – 27x = = 3x · (x6 – 9 ) = = 3x · (x3 + 3) · (x3 – 3) 12×2 – 11x + 30 x2 – 11x + 30 = 0

x2 – 11x + 30 = (x -6) · (x -5) 133×2 + 10x +3 3×2 + 10x +3 = 0

3×2 + 10x +3 = 3 (x – 3) · (x – 1/3) 142×2 – x -1 2×2 – x -1 = 0

2×2 – x -1 = 2 (x – 1) · (x + 1/2)

Factorizar y hallar las raíces de los polinomios

1 2×3 – 7×2 + 8x – 3 P(1) = 2 · 13 – 7 · 12 + 8 · 1 – 3 = 0

(x -1 ) · (2×2 – 5x + 3 ) P(1) = 2 · 1 2 -5 · 1 + 3 = 0

(x -1 )2 · (2x -3 ) = 2 (x – 3/2 ) · (x -1 )2 Las raíces son: x = 3/2 y x = 1 2×3 – x2 – 4 {±1, ±2, ±4 } P(1) = 1 3 – 1 2 – 4 ? 0 P(-1) = (-1) 3 – (-1) 2 – 4 ? 0 P(2) = 2 3 – 2 2 – 4 = 8 – 4 – 4 = 0

(x – 2) · (x2+ x + 2 ) x2+ x + 2 = 0

(x – 2) · (x2+ x + 2 ) Raíz: x = 2. 3×3 + 3×2 -4 x – 12 {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = 13 + 3 · 12 – 4 · 1 – 12 ? 0 P(-1) = (-1)3 + 3 · (-1)2 – 4 · (-1) – 12 ? 0 P(2) = 23 + 3 · 22 – 4 · 2 – 12 = 8 + 12 – 8 – 12 = 0

(x – 2) · (x2 + 5x +6) x2 + 5x +6 = 0

(x – 2) ·(x + 2) ·(x +3) Las raíces son : x = 2, x = – 2, x = – 3. 46×3 + 7×2 – 9x + 2 {±1, ±2} P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 – 9 · 1 + 2 ? 0 P(-1) = 6 · (-1)3 + 7 · (-1)2 – 9 · (-1) + 2 ? 0 P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 – 9 · 2 + 2 ? 0 P(-2) = 6 · (-2)3 + 7 · (-2)2 – 9 · (-2) + 2 = – 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6×2 -5x +1) 6×2 -5x +1 = 0

6 · (x + 2) · (x – 1/2) · (x – 1/3)

Raíces: x = – 2, x = 1/2 y x= 1/3

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

son fracciones algebraicas equivalentes porque:

(x + 2) · (x – 2) = x2 – 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominadorde dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

1Se descomponen los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el común denominador.

x2 – 1 = (x+1) · (x – 1) x2 + 3x + 2 = (x+1) · (x + 2) m.c.m.(x2 – 1, x2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x – 1) · (x + 2)

2Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma de fracciones algebraicas

Con el mismo denomiminador

Con distinto denomiminador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

Multiplicación de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas

Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas

1 Simplificar las fracciones algebraicas

1

2

3

4

5

2 Suma las fracciones algebraicas

3Resta las fracciones algebraicas

4Multiplica las fracciones algebraicas 1

2

Opera

5Efectúa las operaciones.

6Realiza las operaciones.

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2         x = 1

Elementos de una ecuación Miembros

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos

Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas

La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende determinar.

La incógnita de una ecuación se suele expresar con la letra x.

Soluciones

Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x – 3 = 3x + 2           x = -5 2 · (-5) – 3 = 3 · (-5) + 2         – 10 -3 = -15 + 2         -13 = -13

Grado

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. 2x – 3 = 3x + 2           x = -5 x + 3 = -2               x = -5

Criterios de equivalencia de ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = -2 x + 3 – 3 = -2 – 3    x = -5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5          x + 2 = 3          x + 2 -2= 3 -2 x = 1

Clases de ecuaciones

1. Ecuaciones polinómicas

1.1 Ecuaciones polinómicas enteras

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

1.1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ? 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 – 2 x2 + 2x + 1 = x2 – 2 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0

1.1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ? 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0 ax2 + b = 0 ax2 + bx = 0

1.1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ? 0.

1.1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ? 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. ax4 + bx2 + c = 0, con a ? 0.

1.1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + …+ a0 = 0

1.2. Ecuaciones polinómicas racionales

Las ecuaciones polinómicas son de la forma

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

1.3. Ecuaciones polinómicas irracionales

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

2. Ecuaciones no polinómicas

2.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

2.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

2.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ? 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones lineales

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3ºAgrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Ejemplos de ecuaciones lineales

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: -9

Ejercicios de ecuaciones lineales

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Para realizar un problemas de ecuaciones en primer lugar lo tenemos que expresar en lenguaje algebráico y posteriormente resolver la ecuación resultante.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, …: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2 Un número al cubo: x3

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 – x.

La suma de dos números es 24: x y 24 – x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

Problemas de móviles

Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:

espacio = velocidad × tiempo

1er caso

Los móviles van en sentido contrario.

eAC + e BC = e AB

Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300      150t = 300      t = 2 horas 2

La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 2 = 180 km e BC = 60 · 2 = 120 km

2o caso

Los móviles van en el mismo sentido.

e AC – e BC = e AB

Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t – 60t = 180      30t = 180      t = 6 horas 2

La hora del encuentro.

Se encontraran a las 3 de la tarde .

3 La distancia recorrida por cada uno.

e AB = 90 · 6 = 540 km e BC = 60 · 6 = 360 km

3er caso

Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido. e 1 = e 2

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t – 3) 90t = 120t – 360       -30t = -360       

 t = 12 horas 2 La distancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

Problemas de grifos

En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito.

Si existe un desagüe En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

Sin desagüe

Con desagüe

Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito? En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:

7x = 12             

x = 12/7 horas

Problemas de mezclas

C1

1ª cantidad. C1 = x C2

2ª cantidad. C2 = Cm – x Cm

Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2 P1

Precio de la 1ª cantidad P2

Precio de la 2ª cantidad Pm Precio de la mezcla C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm También podemos poner los datos en una tabla

C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

40x + 60 · (60 – x) = 60 · 50 40x + 3600 – 60x = 3000;    - 60x + 40x = 3000 – 3600;   20x = 600 x = 30;   60 – 30 = 30 Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase.

Problemas de aleaciones

La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total.

Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla.

C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

0.750 · x + 0.950 · (1 800-x) = 0.9 · 1800 0.750 x + 1 710 – 0.950x = 1 620 0.750x – 0.950x = 1 620 – 1 710 -0.2x = – 90       x = 450 1ª ley 450 g 2ª ley 1350 g Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado son las expresiones de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ? 0. Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

b2 – 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 – 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

Propiedades de las soluciones de la ecuaciones cuadráticas

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación cuadrática a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y -2.