Función de Transformación de Intensidades, Para Imágenes Monocromáticas

˜ Diseno de una Funci´on de Transformaci´on de Intensidades, para Im´agenes Monocrom´aticas Tomadas con el Sol al Fondo de la Escena Fredy Mauricio Navarrete Molano * ˜ ˜ 13 de septiembre de 2015

Resumen En este documento se expone el diseno de una funci´on de transformaci´on de intensidades, con el ?n de mejorar el contraste en un conjunto de im´agenes monocrom´aticas que fueron tomadas con el Sol presente al fondo de la escena; el m´etodo disenado se compara con el m´etodo de ecualizaci´on de histograma. Al ?nal se muestran los resultados obtenidos usando la varianza de la distribuci´on de intensidades como medida para escoger el conjunto de im´agenes con mejor contraste. Palabras clave: distribuci´on de intensidades en una imagen, ecualizaci´on de histograma, realce de contraste, transformaciones lineales de intensidad en una imagen. o e o *Estudiante de Ingenier´ia Electr´nica de la Universidad Distrital Francisco Jos´ de Caldas. Correo electr´nico: fmnavarre- [email protected].

1. Introducci´on Al realizar una toma fotogr´a?ca con el enfoque autom´atico, esta puede presentar problemas de bajo contraste, ocasio- nando que las im´agenes no se vean n´itidas y los objetos no se puedan diferenciar claramente [1]. Para corregir es- te problema es necesario hacer un realzado de la imagen, permitiendo mejorar el brillo y contraste de la fotograf´ia, obteniendo as´i una mejor presentaci´on visual [2]. El brillo de una imagen nos indica la intensidad que tienen cada uno de los p´ixeles y el contraste es el que nos permite diferen- ciar visualmente los objetos que se encuentran dentro de esta [3]. Para poder obtener un mejor brillo y contraste de la imagen se utilizan transformaciones de brillo [3]. Existen in?nitos m´etodos de transformaciones de brillo, pero una de las m´as utilizadas son las transformaciones lineales de inten- sidad, donde a partir de rectas de?nidas es posible cambiar el brillo modi?cando la pendiente y abscisa de las rectas [4]. Otro tipo de funci´on que se utiliza para las transformaciones de intensidad, es la Ecualizaci´on de Histograma, que busca una distribuci´on de niveles de gris uniforme, es decir, las frecuencias de ocurrencia de una imagen son similares sobre todo el rango de intensidades de gris [4]. Para establecer la e?cacia de un m´etodo de transforma- ci´on es necesario de?nir un criterio de evaluaci´on que permi- ta conocer si el proceso realizado ha cumplido su objetivo, como por ejemplo la varianza, la cual ofrece una informa- ci´on sobre qu´e tan dispersas se encuentran las intensidades de la imagen [5]. Teniendo en cuenta lo anterior, el desarrollo de este tra- bajo tiene como ?nalidad mejorar la calidad de un conjunto de im´agenes, mediante el uso de un m´etodo de transforma- ci´on de brillo, que permita “identi?car” objetos en la imagen de una forma m´as precisa. La siguiente secci´on expondr´a de una forma detallada en qu´e consiste el problema; luego se evidenciar´an los resultados obtenidos y los criterios que se tuvieron en cuenta para de?nir la transformaci´on de brillo; a partir de los resultados se har´a un an´alisis claro e inter- pretativo de lo que se obtuvo para concluir sobre el ejercicio realizado.

2. Formulaci´on del problema f(x) = ? ? ? m1x + c1 si x = P1 m2x + c2 si x > P1 (1) m1 = P2 P1 – Imin . (2) c1 = P2 – m1P1. (3) m2 = 255 – P2 Imax – P1 . (4) c1 = 255 – m2Imax. (5) Donde: Imin e Imax son la menor y mayor intensidad de la imagen a transformar, respectivamente, x es la ima- gen a transformar, f(x) es la imagen con transformaci´on de intensidades, P1 y P2 son par´ametros propios de la funci´on.

Figura 1: Funci´on de transformaci´on de intensidades.

La funci´on propuesta es param´etrica y determinar sus par´ametros puede hacerse de diferentes formas, una de ellas puede ser manualmente para cada una de las im´agenes; sin embargo, este ajuste ser´ia tedioso y ambiguo pues los par´ametros depender´ian del observador. En (6) y (7) se pro- pone una forma determin´istica para encontrar los par´ame- tros P1 y P2. El c´alculo de estos par´ametros no se hizo de forma ar- bitraria sino que surgi´o a partir de la observaci´on de los histogramas de frecuencia de intensidades y de las im´age- das con el Sol al fondo de la escena; por tal raz´on el contraste nes en s´i. En general la distribuci´on de intensidades en las im´agenes de inter´es es multimodal y cada una de las mo- das puede relacionarse con objetos, teniendo presente que no necesariamente una moda corresponde a un objeto en de inter´es son aquellos que se encuentran en su trayectoria. particular. Planteando esta hip´otesis, lo que se busca es mantener la misma distancia entre modas, esto con el ?n de mejorar el contraste entre objetos, En la Figura 2 se ob- serva que las modas de las intensidades bajas se encuentran agrupadas mientras que las modas de las intensidades altas tienen una buena separaci´on entre ellas y esta distribuci´on es similar para el conjunto de im´agenes de estudio. As´ipues los par´ametros P1 y P2 deben ser tales que aumenten la

separaci´on de las modas de las intensidades bajas, redu- ciendo la separaci´on de las modas de las intensidades altas, teniendo en cuenta que la intensidad con mayor frecuencia de aparici´on se encuentra siempre en los tonos oscuros y aqu´i ser´a nombrada como moda. Figura 2: Histograma de una de las im´agenes de estudio. P1 = i ˆ+ µ 2 . (6) ˆ P2 = µ + i. (7) i niveles de intensidades y N es el n´umero de p´ixeles de la imagen.

3. Resultados

Al conjunto de im´agenes de estudio se les aplico la transfor- maci´on de intensidades descrita en la secci´on anterior. Los resultados de esta transformaci´on son im´agenes cuya pre- sentaci´on es agradable a la vista y se facilita la detecci´on humana de los objetos de inter´es. Sin embargo, el m´etodo usado requiere una evaluaci´on m´as tangible que se deta- llar´a m´as adelante. Como se describi´o en la secci´on anterior, lo que se busca es una mejor distribuci´on de las modas de intensidades, Para la imagen de la Figura 4 a) cuyo histograma corresponde al de la Figura 2 se muestra el histograma resultante de la transformaci´on aplicada, en la Figura 3 a). Aqu´i se ve que el resultado de la transformaci´on se aproxima al objetivo propuesto. Con el ?n de buscar una comparaci´on del m´etodo propuesto frente a otro m´etodo de realce de contraste, se hizo la ecualizaci´on de histograma a las im´agenes de estudio. En la Figura 3 b) se muestra el histograma ecualizado de la Figura 4 a). Figura 3: Histogramas Obtenidos. a) Histograma resultado de la trans- formaci´on propuesta. b) Histograma resultado de la ecualizaci´on de histograma

Como se mencion´o al inicio de esta secci´on, se necesita un m´etodo de evaluaci´on que nos permita medir cu´al de las im´agenes puede presentar un mejor contraste. Las im´agenes con buen contraste se caracterizan por una distribuci´on de ´ intensidades con una alta dispersi´on; entonces la varianza s2 puede ser una medida util en el ejercicio desarrollado, a continuaci´on se muestra la representaci´on anal´itica de la varianza. L L-1 i=0 N donde i es el nivel de intensidad,ˆes la moda, µ es la media, en formato de 8 bits, por lo cual las intensidades pueden es- f(i) es la frecuencia de cada intensidad, L es el n´umero de tar en el rango entre 0 y 255; sin embargo para la medici´on de los resultados es conveniente considerar la intensidades en el rango entre 1 y 256 para que la intensidad m´as baja sea considerada en la media poblacional µ. La varianza en- contrada para cada conjunto de im´agenes se muestra en la Figura 5. 4. Discusi´on En general, evaluar el contraste de las im´agenes no es una tarea sencilla. Si lo que se busca es una buena detecci´on de objetos por parte de una persona, entonces el mejor m´eto- do para evaluar el contraste ser´ia medir qu´e tantos objetos puede detectar una persona en una imagen sin procesar y en la misma imagen procesada; sin embargo esta evalua- ci´on ser´ia tediosa, ambigua y demandar´ia mucho tiempo. Por otra parte est´a usar la varianza de la distribuci´on de intensidades como un m´etodo para evaluar el contraste; sin embargo ¿es la varianza el m´etodo apropiado para evaluar el contraste? Dado que en el ejercicio desarrollado se escogi´o una me- dida de dispersi´on de la distribuci´on de las intensidades para evaluar el m´etodo propuesto. El conjunto de im´agenes con

Figura 4: muestra de una imagen de estudio. a) Imagen Original. b) Imagen resultado de la transformaci´on propuesta. c) Imagen resultado de la ecualizaci´on de histograma Vt = mejor contraste ser´a aquel con el mayor valor de Vt de?nido como

K 2 sk k=1 donde K es el n´umero de im´agenes disponibles para la eva- 2 Tabla 1: Resultados obtenidos para la m´etrica propuesta. Figura 5: Varianza obtenida para el conjunto de imagenes, sin procesar, procesadas con el metodo propuesto y procesadas con la ecualizaci´on de histograma.

Aunque no se muestra de forma detallada en este docu- mento, al realizar el experimento, se observ´o que el tiempo que le cuesta a la m´aquina procesar las im´agenes mediante ecualizaci´on de histograma es mayor que el tiempo que le cuesta a la transformaci´on propuesta. As´i que si se tuvie- ra que escoger alg´un m´etodo bajo el criterio de e?ciencia computacional, el m´etodo propuesto ser´ia una mejor opci´on frente al m´etodo de ecualizaci´on de histograma. 5. Conclusiones El m´etodo desarrollado mostr´o buenos resultados frente a la forma de evaluaci´on escogida y adem´as de ello en la Figu- ra 5 se observa que la varianza de las im´agenes procesadas, con el m´etodo desarrollado, tiene la misma forma que la (10) varianza de las im´agenes originales lo cual no ocurre con varianza de las im´agenes ecualizadas. Esto nos indica que el m´etodo desarrollado mantiene la forma de la distribuci´on luaci´on y sk es la varianza de cada una de las im´agenes de intensidades de las im´agenes originales, lo cual no ocurre disponibles. En la Tabla 1 se muestra el valor de Vt para con el m´etodo de ecualizaci´on de histograma; por lo cual las im´agenes obtenidas con el m´etodo propuesto tienen un aspecto m´as natural que el de las im´agenes obtenidas con la ecualizaci´on de histograma cuyo aspecto evidencia el paso por un m´etodo de procesado, especialmente en aquellos ob- ˜ jetos cuyo nivel de intensidad debe ser el mismo, como por ejemplo en los arboles de la Figura 4. La escogencia de los par´ametros P1 y P2 es vital pa- ra el desempeno del m´etodo propuesto y la b´usqueda de los par´ametros ideales implica un estudio detallado de las im´agenes de inter´es, pero sea cual sea el m´etodo escogido, para encontrar estos par´ametros debe pensarse siempre en que se adapte bien al conjunto de im´agenes de estudio y no a un subconjunto de las mismas, por ejemplo para las im´age- El m´etodo desarrollado en este documento es param´etri- nes 1,3,4,7 y 8 que se ubican en el eje de abscisas de la Figura co y se evalu´o escogiendo los par´ametros P1 y P2 a partir 5 la varianza de las im´agenes procesadas con el m´etodo pro- de informaci´on extra´ida de los estad´isticos propios de cada puesto y con la ecualizaci´on de histograma fue mayor, que imagen. Nace entonces la pregunta ¿Son los par´ametros es- imagen 6 la varianza de la imagen original fue mayor que estudiado?

la de los m´etodos estudiados. Por su parte para los casos restantes (2 y 5) la varianza de las im´agenes originales fue pr´acticamente igual a la varianza de las im´agenes procesa- das con el m´etodo desarrollado en este documento, mientras que la varianza fue menor para el m´etodo de ecualizaci´on de histograma, y en estos dos casos el m´etodo propuesto presenta una ventaja frente al m´etodo de ecualizaci´on de histograma. Referencias bibliogr´a?cas [1] Jos´e J. Gonz´alvez, “Gu´ia para solucionar problemas con el enfoque autom´atico”, www.xatakafoto.com, Abril de 2013. [2] Rafael C. Gonz´alez and Richard E. Woods, “Digital Ima- ge Processing”, second Edition, Inc., New Jersey, Prentice- Hall, USA, pp. 75-76, 2002. [3] R. Lizardo, “Procesamiento Digital de im´agenes”, De- partamento de Recursos H´idricos, Colombia, pp. 2-3, Septiembre de 2007. [4] Rodrigo J. Herrera G, “Transformaciones de brillo”, Uni- versidad Francisco Jos´e de Caldas, Colombia, pp. 2-6,8- 9, Septiembre de 2015. [5] Jay L. Devore, “Probabilidad y Estad´istica para Inge- nier´ia y Ciencias”, S´eptima edici´on, Mexico D.F, Cen- gage Learning, pp. 104-105, 2008.