Diseño por esfuerzo cortante de flechas sólidas de sección transversal circular sujetas a torsión (página 2)

En estas condiciones nuestro problema es ya de torsión pura, y si queremos encontrar los pares resistentes presentados por la flecha en varias de sus secciones transversales, procederemos igual que en el problema anterior, considerando que el par externo vale T = P r.

Problema.- En la siguiente figura, encontrar el par resistente en las secciones A-A y C-C.

Esfuerzo cortante.

Si una flecha de sección circular ( en nuestro curso solo veremos la transmisión de carga de torsión a través de flechas de sección circular, que son las que se emplean normalmente para realizar este trabajo), se encuentra sujeto a una carga de torsión, se desarrollan fuerzas cortantes en las caras de sus secciones transversales; el producto de estas fuerzas por sus distancias al eje longitudinal "O" de la flecha, nos da un momento, y la suma de los momentos de todas las fuerzas que se desarrollan en la cara de una sección transversal es el par resistente presentado por la flecha en esa sección transversal. En la figura 4(a) se ilustra la acción de estas fuerzas cortantes.

Ya que estas fuerzas son tangentes a las caras de las secciones transversales, producen esfuerzos cortantes Ss, la ecuación general que relaciona estas fuerzas cortantes (o tangentes) P, con los esfuerzos cortantes es Ss=P/A, en la que A es el área de una superficie elemental, tal como las que se muestran sombreadas en la Figura 4(b), y P es la fuerza cortante que actúa en dicha superficie.

Las fuerzas cortantes y los esfuerzos cortantes actúan en una dirección perpendicular al radio vector que une el centro de la sección transversal con la superficie elemental que se este considerando. Vamos entonces a encontrar una ecuación que nos relacione el par aplicado motriz en una sección transversal cualquiera (que ya vimos es igual al par resistente en dicha sección transversal), con los esfuerzos cortantes desarrollados en la cara de la misma sección transversal; con el propósito de tener un criterio de diseño para flechas.

Para encontrar esta ecuación, tenemos que considerara ciertas las siguientes suposiciones:

1.- Una sección de la flecha que es plana antes de la torsión, permanece plana después de la torsión; esto significa que una sección transversal de la flecha, no se alabea o comba después de la carga.

2.- El diámetro de la flecha no cambia durante la carga.

3.- Los esfuerzos están en el rango elástico del material con el que está construida la flecha; es decir, los esfuerzos están debajo del límite de proporcionalidad al cortante y se les aplica la Ley de Hooke

4.- Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el eje de la flecha, hasta un máximo en las fibras mas alejadas.

Los resultados obtenidos en la práctica confirman la veracidad de estas suposiciones.

De acuerdo con la ultima suposición, puesto que las deformaciones varían proporcionalmente, desde cero en el eje de la flecha, hasta un máximo en las fibras mas alejadas, y de acuerdo a la tercera suposición que dice que se cumple la Ley de Hooke; los esfuerzos también varían desde cero en el centro de la flecha, hasta un máximo en las fibras extremas.

Según esto, los esfuerzos cortantes en un delgado anillo "n" concéntrico con el eje de la flecha, son iguales en magnitud en cada una de las superficies elementales que se muestran cuadriculadas en la figura 4(b), ya todas se encuentran a la misma distancia del centro de la flecha.

De acuerdo con la figura 4(b), dichos esfuerzos Ss son proporcionales a los esfuerzos cortantes máximos Ssmáx que actúan en las fibras extremas de la flecha. Esta relación según los triángulos semejantes de la figura 4(b) es entonces:

.

Puesto que los esfuerzos cortantes máximos son los que pueden producir fractura en la flecha, tenemos que encontrar primero una ecuación que nos relacione el par motriz T con dichos esfuerzos máximos.

Para encontrar esta ecuación, vamos a seguir estos tres pasos:

1.- Vamos a encontrar la fuerza cortante resultante que actúa sobre un delgado anillo "n" cuyo radio es ?, y se muestra en la figura 4(b). A esta fuerza lavamos a denominar Pn.

2.- Calculamos entonces el momento producido por esta fuerza con respecto al eje longitudinal de la flecha, llamaremos dT a este momento.

3.- Sumamos los momentos producidos por todos los anillos concéntricos que se tienen en la cara de dicha sección transversal de la flecha. Este momento es el par resistente T presentado por la flecha en dicha sección transversal.

De acuerdo a la figura 4(b) los esfuerzos cortantes en cada una de de las área elementales sombreadas en un anillo "n" cuyo radio es ?, son todas iguales, figura 4(b). Por lo tanto cada esfuerzo cortante Ssn produce fuerzas iguales en cada una de las áreas elementales; la fuerza total se puede obtener sumando aritméticamente las magnitudes de todas esas fuerzas sobre las áreas elementales, ya que todas ellas tienen el mismo sentido de giro con respecto al eje longitudinal. Esta fuerza resultante será entonces:

Pn = Ssn dA

En la que dA es la superficie total del anillo "n". El momento de esta fuerza con respecto al eje longitudinal será:

dT=Pn ?= ? Ssn dA

de la figura (d) tenemos que:

Por lo tanto:

Ssn= Ss máx ?/c

Sustituyendo este valor de Ssn en la ecuación para dT, se tiene:

dT=

sumando todos estos momentos dT debidos a todos los anillos concéntricos en la sección transversal se tiene:

T =

Pero

En que J es el momento polar de inercia de la sección transversal de la flecha con respecto a su centro de simetría, o sea con respecto al eje longitudinal de la flecha. Sustituyendo este valor en la expresión que nos da T, tenemos:

T=

De donde:

Ssmáx =

Esta ecuación que nos relaciona el esfuerzo cortante máximo en la sección transversal con el par externo es la que andábamos buscando. En el caso de secciones transversales circulares:

J =

Por lo tanto, si el diámetro D de la flecha estás expresado en pulgadas, el momento polar estará en pulg4. En la expresión

Ssmáx =

Ssmáx es el esfuerzo cortante máximo en la sección transversal de la flecha en lb/pulg2. T, par externo resultante aplicado a la flecha, que es igual al par resistente en pulg-lb; J es el momento polar de inercia de la sección transversal con respecto a su centro en pulg4.

Si queremos encontrar el esfuerzo cortante en un anillo "n", cuyo radio es ?, la expresión anterior se convertirá en:

Ss =

Siendo ? el radio del anillo que estemos estudiando.

Problema.- En una flecha maciza de acero, el par aplicado es de 6280 pulg-lb, y el esfuerzo cortante permisible es Ssperm = 8 000lb/pulg2. Determinar el diámetro necesario D.

Datos:

T= 6280 pulg-lb

C =

J=

Ssperm. = 8 000

Ssperm =

Ssperm =

8 000 =

D3= 4. 00

D =

D = 1.58" Este es el diámetro necesario, por supuesto en el mercado no lo vamos a encontrar exacto a nuestras necesidades, por lo que se tendrá que ir al inmediato superior.

Bibliografía

Fitzgerald, Robert W. Resistencia de materiales. Fondo Educativo Interamericano, S. A. y Representaciones y Servicios de Ingeniería, México, 1970

Sloane, Alvin. Mechanics of materials, The MacMillanCo.EEUU,1960

Balanzá, Julio C. Resistencia de materiales teoría y práctica. Universidad Veracruzana, Xalapa Ver., México, 1993.

Autor:

M. en C. Julio César de Jesús Balanzá Chavarria

Nacimiento: 16 de mayo de 1941, Tampico, Tamaulipas, México.

Jubilado del departamento de Mantenimiento Equipo Dinámico e Instrumentos de PEMEX Exploración Producción de Poza Rica, Veracruz, México.

Títulos Obtenidos:

Ingeniero Mecánico Electricista de la Facultad Nacional de Ingeniería de la UNAM

M en C. Diseño Mecánico, Mención Honorífica en el IPN.

Certificante in "Professional Studies In Education" Issued By Association Of Colleges, the Bradford College and the Warwickshire college of the U.K.

Certificante in "English as a Foreign Languaje" Warwickshire College, U.K.

Libros:

Diseño del Nuevo Alumbrado del parque de Base-Ball en Poza Rica, Veracruz (Tesis Licenciatura UNAM)

"Resistencia de Materiales Teoría y Problemas" Editado por la Universidad Veracruzana.

"Diseño del Balancín Elevador de una Unidad de Bombeo Mecánico Petrolera Mark II" (Tesis Maestría en el IPN)

Cinco artículos publicados en edu.red