Apuntes de Teoría de la Medida por José Antonio Belinchón Última actualización Agosto 2008
Prólogo
La idea fundamental de esta notas confecionadas a modo de resumen (personal) es la de tener a mano un recordatorio de por donde iban los tiros. Sólo se demuestran los teoremas fundamentales y se acompoña el texto con una serie de ejercios más o menos trabajados. En modo alguno pretenden sustituir (porque es implosible) los manuales clásicos o las notas de clase de un profesor. Es decir, estas notas estan confeccionadas a modo de refrito entre las notas de clase (ver el libro de G. B. Folland) y de distintos libros clásicos como los siguientes:
1. G. B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications. Jonh Wiley & Sons. 1999 2. M. Capinski and E. Kopp. Mesure, Integral and Probability. SUMS. Springer. 2005. 3. E.M. Stein and R. Shakarchi. Real Analisys. Mesure Theory, Integration and Hilbert Spaces. Princeton. 2005 4. C.D. Aliprantis and O. Burkinshaw. Principles of Real Analysis. Edward Arnold. 1981. 5. C.D. Aliprantis and O. Burkinshaw. Problems in Real Analysis. Academic Press 1990. 6. A. N. Kolgomorov, S.V. Fomin. Elementos de la Teoría de las Funciones y del Análisis Funcional. MIR 1978.
todo ello aderezado (como he indicado antes) con una serie de ejemplos (ejercicios donde se aplica de formainmediatalosconceptosteóricosexpuestos)desarrollados(esoespero)al?naldecadacapitulillo (todos ellos muy sencillos).
ADVERTENCIA: No están concluidas y es muy posible que hayan sobrevivido numerosas erratas. Toda observación en este sentido es bien recibida. III
Capítulo 1
Integral de Lebesgue
1.1. Espacio de Medida.
De?nición 1.1.1 Sea X un conjunto, se dice que A ? P(X) es s-álgebra si veri?ca: X ? A, 1. A es cerrada por complementación i.e. A ? A =? Ac ? A, 2.
A es cerrada por uniones numerables, ?nitas o no, i.e. 3.
An ? A. An ? A =? n=1
Observación 1.1.1 A = P(X), es siempre s-álgebra.
Lema 1.1.1 Si {Aa}a?D es una colección arbitraria de s-álgebras, entonces a?D Aa es s-álgebra. De?nición 1.1.2 s-álgebra de Borel. En R se de?ne la s-álgebra de Borel, BR como aquella generada por los intervalos abiertos BR = {(a,b) : a,b ? R, a < b}.
La de?nición de BR también funciona con intervalos cerrados, semi abiertos o incluso in?nitos como [a,8).
De?nición 1.1.3 Función medible. Diremos que f : X ? R, es A-medible si ?a ? R se tiene f -1 ((a,8)) = {x ? X : f(x) > a} ? A.
Ejemplo 1.1.1 Veamos unos cuantos ejemplos.
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?A ((a,8)) = ? 2 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 1. f(x) = const. = c. f -1 ((a,8)) = R si a < c Ø resto . 2. Las funciones continuas son medibles. Observar que (a,8) ? R es un intervalo abierto y por lo tanto f -1 ((a,8)) es otro abierto al ser f cont. y como sabemos tales conjuntos son medibles.
3. La función indicatriz ?A (x) = 1, 0, / x ? A, x ? A, viéndose que, A ? A ?? ?A (x) es medible,
-1 ? ? R si a < 0 A a ? [0,1) . Ø a = 1 Lema 1.1.2 Dada f : X ? R, A-medible, la familia Mf = B ? R : f -1(B) ? A
es una s-álgebra en R. Por lo tanto contiene a BR ya que (a,8) ? Mf, ?a ? R por de?nición.
Observación 1.1.2 La de?nición de función medible es equivalente a pedir que: {x ? X : {x ? X : {x ? X : {x ? X : a < f(x) < b} ? A, f(x) = a} ? A, f(x) = b} ? A, f(x) < b} ? A, ?b, ?a, ?b, ?a,b. Observación 1.1.3 El conjunto de funciones medibles tiene estructura de espacio vectorial. Si dos funciones, f y g son medibles entonces su suma también lo es i.e. f + g también es medible y lo mismo ocurre con el producto, i.e. f · g es medible. Si f : X -? R, es medible, entonces se puede escribir f = f + – f -, con f +, f – funciones medibles positivas de?nidas por f + = f (x) si 0 si f (x) = 0 f (x) < 0 , f – = 0 si -f (x) si f (x) > 0 f (x) = 0 . Nótese que f + = m´ax(f,0) y f – = -m´in(f,0). Si f : X -? R, es medible, entonces |f| es medible, al revés no tiene porqué. Elpasoallímitenoperturbalapropiedaddesermediblei.e.si{fn} esunasucesióndefuncionesmediblesentonces también lo son m´ax fn, m´in fn, sup fn, inf fn, l´imsup fn, l´iminf fn.
? 1+ |n|. 1.1. ESPACIO DE MEDIDA. 3 De igual forma se comprueba que si {fn} es una sucesión de funciones medibles entonces
{fn} -? f
convergencia puntual o en casi todo punto, entonces f es medible.
De?nición 1.1.4 Medida. Dada una s-álgebra A en X, se dice que µ : A ?[0,8] es una medida sobre A si se veri?can: µ(Ø) = 0, 1.
2. Para toda familia numerable Aj j=1 µ? j=1 de A cuyos elementos son disjuntos dos a dos se tiene ? ? Aj? = j=1 ? µ Aj . De?nición 1.1.5 Espacio de Medida. Llamaremos espacio de medida a toda terna (X,A,µ). Diremos que la medida µ sobre A es ?nita si µ(X) < 8, y s – ?nita si podemos escribir X = ?n=1Xn, con Xn ? A y µ(Xn) < 8.
Ejemplo 1.1.2 Veamos algunos ejemplos de medidas
1. En R, A = P(R), ?jamos x0 ? R, de?nimos para A ? R dx0 (A) = 1 x0 ? A 0 resto comocida como la Delta de Dirac. 2. En R, A = P(R), µ(A) = card(A) si card(A) < 8 8 en caso contrario . 3. En Z, A = P(Z), µ(A) = 1 Antes de terminar esta sección enunciaremos una proposición (necesaria para el teorema de conver- gencia monótona) sobre monotonía de conjuntos.
Proposición 1.1.1 Sea µ una medida sobre la s-álgebra A, entonces:
Partes: