4 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE
1. Si A,B ? A, tal que A ? B, entonces µ(A) = µ(B). Además si µ(B) < 8, se tiene que
µ(BA) = µ(B) – µ(A).
2. Si A1 ? A2 ? …. ? An ? An+1 ? …, An ? A,?n, entonces ? µ? 8
j=1 ? Aj? = l´im µ Aj . j?8 3. Si A1 ? A2 ? …. ? An ? An+1 ? …, An ? A,?n, y µ(A1) < 8, entonces ? µ? 8
j=1 ? Aj? = l´im µ Aj . j?8 1.2. Integración de funciones medibles.
De?nición 1.2.1 Función indicatriz. Dado un conjunto A, se de?ne la función indictriz de A como ?A = 1, 0, / x ? A, x ? A, . De?nición 1.2.2 Función simple. Dado un espacio de medida (X,A,µ) se dice que s : X -? R, es una función simple si se puede escribir como una combinación lineal ?nita de funciones características de conjuntos de A, i.e. s = n ? cj?Aj, j=1 con cj ? R, Aj ? A.
Observación 1.2.1 Podemos suponer que los Aj son disjuntos, si no fuese así es fácil reordenarlos y formar un sistema de conjuntos disjuntos.
De?nición 1.2.3 Integral.
1. Para funciones simples tenemos X sdµ = n ? cjµ j=1 Aj , donde estamos suponiendo que µ Aj < 8.
2. Para una función medible y positiva X fdµ = sup X sdµ : 0 = s = f donde el supremo puede valer 8.
5 1.2. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES MEDIBLES.
Observación 1.2.2 Se observa trivialmente que:
1. si f, g son simples entonces gdµ. (f + g)dµ =
2. si f, g son medibles tales que 0 = f = g, entonces
fdµ = fdµ +
gdµ. 3. f = 0, entonces f = 0 ?? fdµ = 0. Ejemplo 1.2.1 Sea ?Q(x) = 1 si x ? Q 0 resto, vemos que R ?Q(x)dµ = 1· µ(Q) + 0· µ(RQ) = 0, ya que µ(Q) = 0, al ser un conjunto numerable. Observándose que esta función no es Riemann integrable.
De igual forma se puede ver que R ?C(x)dµ = 0, i= donde ?C representa la función indicatriz del conjunto de Cantor.
Teorema 1.2.1 Convergencia Monótona (TCM). Si (fi)8 1 es una sucesión monótona creciente de funciones medibles positivas tal que l´imi?8 fi = f, entonces X l´im fi dµ = i?8 X fdµ = l´im i?8 X fidµ . n Corolario 1.2.1 Sea (gn)8 =1 una sucesión de funciones medibles y positivas, entonces X 8 ? gn n=1 dµ = 8 ? n=1 X gndµ . Lema 1.2.1 Lema Técnico. Sea f medible y positiva. Entonces existe una sucesión monótona creciente de fun- ciones simples si = si+1 tales que l´im sn(x) = f(x), n?8 ?x. Como consecuencia del TCM se tiene además que X l´im sn(x) dµ = n?8 X fdµ = l´im i?8 X sn(x)dµ .
CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 6
Proposición 1.2.1 Si f, g = 0, medibles, entonces X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ. n Lema 1.2.2 Fatou. Sea (fn)8 =1 una sucesión de funciones medibles y positivas, entonces X l´im inf(fi) dµ = l´im inf i?8 i?8 X fidµ . Ejemplo 1.2.2 Sea fn = ?[n,n+1], entonces fndµ = 1, ?n, pero vemos que l´iminf fn = l´im fn = 0, por lo que X l´im (fn) dµ = l´im n?8 n?8 X fndµ . 1.3. Integración para una función medible arbitraria.
Recordamos que si f : X -? R, es medible, entonces se puede escribir f = f + – f -, con f +, f – funciones medibles positivas. Nótese que f + = m´ax(f,0) y f – = -m´in(f,0). De?nición 1.3.1 Se dice que f es integrable si
fdµ = f + < 8 y
f +dµ – f – < 8, y escribimos
f -dµ. Observación 1.3.1 Si f es medible y f = f + – f -, entonces |f| = f + + f -,
y por lo tanto |f|dµ = f +dµ + f -dµ. Así que f será integrable sii |f|dµ < 8. Además fdµ = |f|dµ.
I1 = x – ,x + 7 1.3. INTEGRACIÓN PARA UNA FUNCIÓN MEDIBLE ARBITRARIA.
Observación 1.3.2 Propiedades de la integral.
1. La clase de funciones integrables es un espacio vectorial.
2. La integral es una aplicación lineal sobre la clase anterior, es decir, si f y g son integrables entonces (af + ßg)dµ = a fdµ + ß gdµ, a, ß ? R. Observación 1.3.3 Conjuntos de medida cero. Decimos que un conjunto, A, es nulo si existe un recubrimiento de dicho conjunto tal que
8 y dado un e > 0, entonces
Por ejemplo si A = {x} entonces In, A ? n=1
8 ? l (In) < e. n=1
e 4 e 4 por lo que l(I1) = e 2 < 2. n La unión de conjuntos nulos (null sets) es nulo y el conjunto de Cantor (no numerable) es nulo.
1. En el espacio de medida (X,A,µ), se dice que una propiedad P se cumple en casi todo punto (c.t.p.) con respecto a la medida µ si el conjunto A = {x : x no cumple P} está en A y µ(A) = 0. Por ejemplo, decimos que las funciones medibles f y g coinciden en c.t.p. si µ(x : f(x) = g(x)) = 0.
2. En la de?nición de integral, podemos suponer funciones (medibles) con valores en la recta real ampliada f : X -? [-8,8] (es decir, que pueden tomar el valor -8 ó 8), pidiendo por ejemplo f -1((a,8]) ? A.
Teorema 1.3.1 Teorema de la Convergencia Dominada (TCD): En (X,A,µ), espacio de medida, si la suce- sión de funciones medibles {fn(x)}8 =1 converge puntualmente a una función f(x) y además |fn(x)| = F(x), ?n,?x con F medible, positiva y tal que X F(x)dµ < 8, entonces f(x) es integrable y se tiene
1. l´im n?8 X |fn(x) – f(x)|dµ = 0. 2. En particular X l´im fn(x) dµ = n?8 X fdµ = l´im n?8 X fn(x)dµ .
1 x logx – 2xn 1 n x logx – x logx – 2xn, 1 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE n 8
Corolario 1.3.1 (Beppo-Levi). Si {fn(x)}8 =1, son medibles y 8 ? n=1 X |fn(x)|dµ < 8, n X entonces la serie f(x) = ?8 =1 fn(x) converge en c.t.p. y 8 ? n=1 fn(x) dµ = 8 ? n=1 X fn(x)dµ . Ejemplo 1.3.1 Sabemos que n=1 8 ? nxn-1 = (1- x)2, entonces el coro de B-L nos ayuda a evaluar la siguiente integral 1 0 logx 1- x 2 dx, para ello de?nimos fn = nxn-1 (logx)2 , n = 1,x ? (0,1), viendo que fn = 0. Se observa que 8 ? n=1 fn = logx 1- x 2 = f (x), x ? (0,1), por lo tanto X 8 ? n=1 fn(x) dµ = 1 0 logx 1- x 2 dx = 8 ? n=1 X fn(x)dµ = 1 8 ? n=1 0 fndx, de esta forma (integrando sucesivamente por partes) vemos que 1 0 fndx = 1 0 nxn-1 (logx)2 dx = 2 n2 , donde nxn-1 (logx)2 dx = 2xn-1 logx – 2 xn-1 logxdx = 2 xn-1 logx – 1 n 1 n n , con xn-1 logxdx = n 1 n xn-1dx = 1 n 1 n n por lo tanto 1 0 fdx = 2 n=1 8 ? n2 = p2 3 , recordar que (Euler) 8 ? n=1 1 n2 = p2 6 .
1.4. SOBRE LAS FUNCIONES SIMPLES Y SU INTEGRAL 9 1.4. Sobre las funciones simples y su integral
Algunos libros exigen en la de?nición de fución simple la condicion adicional de que los conjuntos que la de?nen sean todos de medida ?nita. Para aclarar este punto y como motivación general, vamos a estudiar la siguiente situación en cierta forma “patológica”: Sea X un conjunto con más de un elemento y elijamos A ? P(X) con; Ø ? A ? X. De?nimos la s- álgebra M = {Ø, A, Ac,X} y la medida µ : M -? [0,8] por µ(Ø) = 0, µ(Ac) = 8, µ(A) = µ(X) = 8. Sea f = ?A. Con la condición adicional, f no sería simple porque µ(A) = 8. Además la única función simple s con 0 < s < f sería s = c?Ø, por lo que sdµ = 0 y por tanto fdµ = sup sdµ : 0 < s < f = 0. Esto crea el problema de desasociar la noción de integral con la de medida. Lo cierto es que si la medida µ fuera s-?nita esta situación no se daría porque si ? (X1,X2,…,Xn,…) tales que 1.
2. X = ?8Xn (podemos suponer que la unión es disjunta) µ(Xn) < 8, entonces ?A ? M con µ(A) = 8 se tiene incluso en esta situación más restrictiva ?Adµ = 1. Aún admitiendo que las medidas s-?nitas son las que con más frecuencia aparecen, no debemos olvi- dar el caso, entre otros, de la medida de contar en un espacio no numerable que claramente no es s-?nita. Por ello, y para evitar la patología descrita, es conveniente dar la de?nición de función simple e integral que hemos introducido anteriormente. Ya hemos visto que toda función medible y positiva tiene asociada en principio una integral. La clase más importante es de todas formas aquella de las funciones cuya integral es además ?nita.
De?nición 1.4.1 Dado un espacio de medida (X,µ,M) se de?ne la clase de funciones “integrables”como X |f (x)|dµ < 8}. L(dµ) = {f : X -? C : medibe y tal que
También se denota como L1(X,dµ), o simplemente L1.
1.5. Ejercicios.
1.5.1. Sobre s-álgebras. Ejercicio 1.5.1 Sea X = {a,b,c,d}. Comprobar que la familia de conjuntos
A = {Ø,{a},{b},{a,b},{c,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}},
forman un s-álgebra en X.
10 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Solución. Tenemos que comprobar las propiedades descritas en la de?nición i.e. si veri?ca: 1.
2.
3. An ? A =? X ? A, A es cerrada por complementación i.e. A ? A =? Ac ? A, A es cerrada por uniones numerables, ?nitas o no, i.e.
8 An ? A. n=1
La primera de las propiedades se veri?ca trivialmente, i.e. X ? A, Con respecto a la segunda, i.e. si A ? A =? Ac ? A, vemos que: A = Ø,=? Ac = X ? A, A = {a},=? Ac = {b,c,d} ? A, A = {b},=? Ac = {a,c,d} ? A, A = {a,b},=? Ac = {c,d} ? A, A = {c,d},=? Ac = {a,b} ? A, A = {a,c,d},=? Ac = {b} ? A, A = {b,c,d},=? Ac = {a} ? A, A = {a,b,c,d},=? Ac = {Ø} ? A. Por último, la tercera de las propiedades, vemos que: An ? A,=? 8 n=1 An ? A, así, si A1 = {Ø}, A2 = {a}, A3 = {b}, etc…. vemos que
A1 ? A2 = {Ø,a} ? A, A1 ? A3 = {Ø,b} ? A, A2 ? A2 = {a,b} ? A, A1 ? A2 ? A3 = {Ø,a,b} ? A, etc……
i.e. todas las uniones están en A, demostrando así que es un s-álgebra en X.
Ejercicio 1.5.2 Sea X = {a,b,c,d}. Construir la s-álgebra generada por e = {{a}}, y e = {{a},{b}}.
E ? B=?Ec ? B, 11 1.5. EJERCICIOS.
Solución. e ? X, la s-álgebra generada por e se de?ne como: ´ Ae = n{A / A s – algebra, e ? A} Ae = {Ø,X,e,ec},
Ae = {Ø,X,e,ec}, por lo tanto, si e = {{a}}, entonces:
y si e = {{a},{b}}, entonces:
i.e. Ae = {Ø,X,{a},{b},{a,b},{b,c,d},{a,c,d},{c,d}}, tal y como queríamos hacer ver. Comparar con el ejercicio anterior.
Ejercicio 1.5.3 Sea g : X -? Y, Sea A una s-álgebra en X. Probar que
B = E ? Y : g-1 (E) ? A
es una s-álgebra en Y.
Solución. Tenemos que comprobar las propiedades descritas en la de?nición i.e. 1. Ø ? B; g-1 (Ø) = Ø ? A, / 2.
3. ?
?En ? B c g-1 (Ec) = g-1 (E) {x ? X, g(x) ? Ec} = {x ? X, g(x) ? E},
g-1 (?En) = ?g-1 (En) ? A n n tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.4 Un algebra A en X es una s-álgebra sii es cerrada para las uniones numerables crecientes, i.e. E1 ? E2 ? … ? En…., tales que ?8En ? A.
Solución. =?? Es obvio, ya que la unión es numerable. ?=? Sean (Bn) ? A, ?Bn ? A, si
?8 =1 (Bn) = ?8 =1 ?nj =1 Bj
pero ?nj =1 Bj = En ? A, por lo que tenemos E1 ? E2 ? … ? En… por lo que ?8En ? A.
12 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Ejercicio 1.5.5 Determinar la s-álgebra engendrada por la colección de los subconjuntos ?nitos de un con- junto X no-numerable.
Solución. X no numerable, e = {A/ A finito}, s-álgebra engendrada por e,
A ={A/ A numerable ó Ac numerable}
queremos probar que A es un s-álgebra. Comprobamos que:
1. Ø ? A (ya que Ø es numerable), 2. A ? A entonces: bien A es numerable lo que equivale a que (Ac)c = A es numerable y por lo tanto Ac ? A, ó bien Ac es numerable y en cuyo caso Ac ? A. i 3. Si An ? A, n = 1,2,.., entonces o bien todos los An son numerables (en cuyo caso la unión también será numerable y por lo tanto ?An ? A) ó bien algún An es tal que Acn es numerable en cuyo caso (?An)c es numerable ya que (?An)c ? Acn, y por lo tanto también se tiene que ?An ? A.
Tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.6 Probar que la unión de una sucesión creciente de álgebras A1 ? A2 ? …. es un álgebra. Pero dar ejemplos de:
1. La unión de dos álgebras puede no ser álgebra, y 2. la unión de sucesiones A1 ? A2 ? …. de s-álgebras puede no ser una s-álgebra.
Solución. Tenemos que comprobar las propiedades descritas en la de?nición i.e.
1. Ø ? A (ya que Ø ? A1), 2. Si A ? A entonces existe n0 tal que A ? An0 y por lo tanto Ac ? An0 y Ac ? A, 3. si(Ai)n =1 ? A (unnúmero?nito),entonces?j = 1,2,..?nj / Aj ? Anj.Seaahora m = m´ax(n1,n2,…,nn), se tiene que Aj ? Am (porque Anj ? Am ) como Am es álgebra y la unión de Aj ? Am entonces ?Aj ? A.
Con respecto al segundo apartado vemos que (un contra-ejemplo): X = {a,b,c} y sean
A1 = {Ø,{a},{b,c},{a,b,c}} A2 = {Ø,{b},{a,c},{a,b,c}}
13 / 1.5. EJERCICIOS.
álgebras, pero vemos que A1 ? A2 no es un álgebra ya que {a},{b} ? A1 ? A2 pero {a} ? {b} ? A1 ? A2, tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.7 Dado un conjunto X y ?jado A ? X de?nimos la clase HA = {B ? X : B ? A ´ o Bc ? A}. n i / / 1. Probar que HA es una s-álgebra sobre X. 2. Si X = R, An = [-n,n] y Hn = HAn, n = 1,2… comprobar que ?8 =1Hn no es una s-álgebra.
Solución. Vemos que HA s-álgebra sobre X ya que:
1. Ø ? A, luego Ø ? HA. 2. Si B ? HA entonces o B ? A en cuyo caso (Bc)c = B ? A, o bien Bc ? A. En ambos casos se deduce que Bc ? HA. 3. Sean (Bi) ? HA. Si Bi ? A ?i entonces ?iBi ? A. En caso contrario ?j0 tal que Bcj0 ? A y por lo tanto (?iBi)c = niBc ? Bcj0 ? A. Por lo tanto ?iBi ? HA.
Con respecto al segundo apartado vemos que para cada m ? N, sea Bm = [0,m]. Entonces Bm ? Hm (ya que Bm = Am) y por lo tanto Bm ? ?nHn. Sin embargo ?mBm = [0,8) ? ?nHn ya que no se cumple [0,8) ? An ni tampoco, [0,8)c = (-8,0) ? An por lo que [0,8) ? Hn,?n. 1.5.2. Sobre medidas y cojuntos medibles. Ejercicio 1.5.8 Sea (X,M,µ) un espacio de medida. Si E, F ? M, comprobar que µ(E) + µ(F) = µ(E ? F) + µ(E n F).
Solución. Vemos que (aquí es donde está todo el truco del ejercicio) E = (EF) ? (E n F), F = (FE) ? (F n E), donde E ? F = (EF) ? (FE) ? (E n F), de esta forma vemos que µ(E) = µ(EF) + µ(E n F), µ(F) = µ(FE) + µ(F n E),
CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 14
y por lo tanto µ(E) + µ(F) = µ(EF) + µ(E n F) + µ(FE) + µ(F n E) = = µ(E ? F) + µ(E n F)
tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.9 Sea (X,M,µ) un espacio de medida. Para E ? M ?jo, de?nimos
µE(A) = µ(A n E).
Probar que µE es una medida sobre M.
Solución. Vemos que
µE : M -?[0,8] : A -? µE(A) = µ(A n E) µE(A) = µ(A n E) es una medida en M, ya que:
Observación 1.5.1 Dada una s-álgebra A en X, se dice que µ : A ?[0,8] es una medida sobre A si se veri?can: µ(Ø) = 0, 1.
2. Para toda familia numerable Aj j=1 µ? de A cuyos elementos son disjuntos dos a dos se tiene ? ? Aj? = j=1 ? µ Aj . j=1
Por lo tanto tenemos que probar estos dos puntos i.e.: 1. µE(Ø) = µ(Øn E) = µ(Ø) = 0, 2. Sean (An) ? M, n = 1,2,… disjuntos, entonces
µE(?nAn) = µE((?nAn) n E) = µE(?n (An n E)) = 8 ?µE(An n E) = ? µE(An) n n=1 donde observamos que (?n (An n E)) es una unión disjunta. Esto demuestra que µE es una me- dida.
1.5. EJERCICIOS. 15 Ejercicio 1.5.10 Sea X un conjunto in?nito numerable. Consideremos la s-álgebra M = P(X). De?nimos para A ? M µ(A) = 0 si A es ?nito 8 si A es in?nito , 1. Probar que µ es ?nitamente aditiva, pero no numerablemente aditiva.
2. Probar que X = l´imn?8 An, para cierta sucesión creciente de conjuntos {An}, tales que µ(An) = 0,?n ? N.
Solución. Vemos que con respecto al primer punto:
(a) Tenemos que probar como en el ejercicio anterior que se veri?can las propiedades de medida i.e. j=1 de A cuyos elementos son disjuntos dos a dos se tiene µ? j=1 µ(Ø) = 0, 1. 2. Para toda familia numerable Aj ? ? Aj? = ?j=1 µ Aj = 0 ?j=1 µ Aj = 8 ? Aj es ?nito Aj0 in?nito . porlotanto µ nopuedesermedidayaquealser X unconjuntoin?nitonumerablei.e. X = {a1,a2,….,an,…}, 8 An, pero µ(An) = 0, al tener un solo µ(X) = 8 = llamando An = {an}, entonces podemos expresar X = elemento y por lo tanto ser ?nito, pero
8 ? µ(An) = 0. n=1 (b) Se de?ne l´iminfEj = 8 8 Ej, l´imsupEj := 8 8 Ej. se dice que que existe el límite si l´iminfEj = l´imsupEj por ejemplo si tenemos E1 ? E2 ? …. ? En ? En+1 ? …, existe l´imEj = 8 Ej, y si E1 ? E2 ? 8 …. ? En ? En+1 ? .., existe l´imEj = Ej, entonces con respecto a nuestro ejercicio sean ahora Bn = {a1,a2,….,an}, y donde B1 ? B2 ? …. ? Bn ? Bn+1 ? …, donde X = ?Bn pero
µ(X) = 8 = l´im µ(Bn) = 0. n?8
Tal y como queríamos hacer ver.
16 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Ejercicio 1.5.11 Sea (X,M,µ) un espacio de medida. Se de?nen las operaciones de conjuntos l´iminfEj := n j>n Ej, l´imsupEj := n j>n Ej. Sean Ej ? M, j = 1. Probar que si µ(?Ej) < 8 :
µ(l´iminfEj) = l´iminfµ Ej , µ(l´imsupEj) = l´imsupµ Ej ,
En particular si µ(X) < 8 entonces: 1. µ(l´iminfEj) = l´iminfµ Ej = l´imsupµ Ej = µ(l´imsupEj), j= j= 2. Si existe l´imEj, entonces µ(l´imEj) = l´imµ(Ej).
Solución. Vemos que µ(l´iminfEj) = l´iminfµ Ej al ser An = nEj, cumplen A1 ? A2 ? …. ? An ? An+1 ? …, y por el teorema de TCM para conjuntos, tenemos que TCM n?8 n?8 la última desigualdad se da ya que µ(An) = µ(En). De momento no hemos tenido que usar la condición µ(?Ej) < 8, esta condición la emplearemos para demostrar la segunda parte i.e. l´imsupµ Ej = µ(l´imsupEj) o equivalentemente µ(l´imsupEj) = l´imsupµ Ej . Para ello de?nimos Bn = ?8 nEj, donde B1 ? B2 ? …. ? Bn ? Bn+1 ? .., y por hipótesis tenemos µ(B1) < 8, ya que B1 = ?8 1Ej. Por TCM para conjuntos
n?8 n?8
tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.12 Sea X = {a1,a2,a3}, sea M = P(X). Sea µ una medida que veri?ca µ(a1) = µ(a2) = µ(a3) = 1/3. Consideremos la sucesión de conjuntos
An = {a1,a2}, si n es par, An = {a3}, si n es impar, Probar que µ(l´iminf An) < l´iminfµ(An) < l´imsupµ(An) < µ(l´imsup An).
17 1.5. EJERCICIOS.
Solución. Vemos que µ(An) = 2/3 si n es par, 1/3 si n es impar, por lo que l´imµ(An) = 2 3 , l´imµ(An) = 1 3 , así que l´imµ(An) < l´imµ(An). Por otro lado vemos que l´imsup(An) = X = {a1,a2,a3}, l´iminf(An) = Ø, luego 0 = µ(l´iminf An) < 1 3 = l´imµ(An) < 2 3 = l´imµ(An) < 1 = µ(l´imsup An) E1 ? E2 ? …. ? En ? En+1 ? …,=? l´imEj = tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.13 Sean X = N, M = P(N), µ la medida de contar. Construir una sucesión An ? P(N) tal que l´imn?8 An = Ø; pero l´imn?8 µ(An) = 0.
Solución. Vemos que (RECORDATORIO) 8 Ej, y si E1 ? E2 ? …. ? En ? En+1 ? ..,=? l´imEj = 8 Ej, entonces l´imµ(nAn) = µ(A1) 0, y Ai ? M, n = 1,2,.. entonces ?s(B) = B s(x)dµ(x) = N ? ciµ(Ai n B) i=1 n y podemos aplicar el resultado anterior a cada µ(Ai n B) para deducir que ?s también es una medida sobre M.
Ejercicio 1.5.18 Sean an ? R, con an = 0, n ? N, tales que ?8 =0 an < 8. De?nimos
µ : P (N) -? [0,8) mediante µ(E) = ? ? 0 si ?n?E an si 8 si E = Ø card(E) < 8 , card(E) = 8 probar que µ NO es un medida en (N,P (N)).
? 21 1.5. EJERCICIOS.
Solución. Si µ fuese una medida, eligiendo An = {n}, n = 0,1,2,.. como N = An, µ(N) = n y la unión es disjunta y numerable, se debería cumplir 8 ? µ(An), n=0 pero tal y como vemos µ(N) = 8, ya que card(N) = 8, mientras que µ(An) = an y por lo tanto 8 ? n=0 µ(An) = 8 ? an < 8, n=0 llegando así a una contradicción. 1.5.3. Sobre funciones medibles. Ejercicio 1.5.19 Sea M la s-álgebra formada por {Ø,R,(-8,0],(0,8)}. Sea f : R -? R la función de?nida mediante f(x) = ? ? 0 x ? (-8,0] 1 x ? (0,1] 2 x ? (1,8) / ¿Es f medible?. ¿Cómo son en general las funciones medibles f : (R,M) -? (R,BR)?
Solución. Recordamos que: Función medible. Diremos que f : X ? R, es A-medible si ?a ? R se tiene f -1 ((a,8)) = {x ? X : f(x) > a} ? A.
Por lo tanto vemos que no es medible porque f -1 ({1}) = (0,1] ? M, por ejemplo, en general la imagen inversa de un Borel tiene que estar en M. Con respecto a la segunda pregunta, vemos que
f(x) = C1?(-8,0] + C2?(0,8), tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.20 Para funciones f : (X,M) -? (R,BR), ¿cuáles de las siguientes a?rmaciones son ciertas?
22 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 1.
2.
3.
4.
5. |f| medible =? f medible. f1 + f2 medible =? f1 ó f2 medible. f1 + f2 medible =? f1 ó f2 medible f1 + f2 medible =? f1 y f2 medible f1 – f2 medible =? f1 y f2 medible Solución. Vemos que:
1. Si f es medible, entonces, f = f+ – f- y por lo tanto |f| = f+ + f-, pero al revés no es cierto. Supongamos que estamos en la medida de Lebesgue. Sea A no medible de R, y B = Ac (tampoco es medible). f = ?A – ?B, que no es medible pero |f| = ?A + ?B = 1 que sí es medible. 2. No. 3. Sean: f1 = ?A, no numerable, y f2 = ?B, no numerable, donde B = Ac, tales que f1f2 = 0, sin embargo el producto sí es numerable. 4. No. 5. No.
Tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.21 Sea f : (X,M,µ) -? (R,BR) una función medible no-negativa, µ una medida s-?nita en M. Probar que f(x) = l´imtn(x) siendo {tn}n una sucesión creciente de funciones simples no negativas, tales que tn toma valores distintos de cero solamente en un conjunto de medida ?nita. Sugerencia: Construir B1 ? B2 ? ….. ? Bn,…,µ(Bn} < 8, tomar tn = sn?Bn, siendo sn una sucesión creciente de funciones simples no-negativas con límite f.
Solución. Sea f = 0, medible. Sea 0 = s1 = s2 = ….. = sn = …. = f, tal que l´imsn = f. Las sn son simples i.e. sn = mn ? cnj?A j=1 n j podemos tomarlas de medida ?nita si la medida subyacente es s-?nita en M, escribir X = ?Xn, con µ(Xn) < 8, y Bn = ?Xj con tn = sn?Bn sucesión creciente ya que tanto las sn como ?Bn son crecientes y por lo tanto f(x) = l´imtn(x).
Ejercicio 1.5.22 Si fn : (X,M) -? (R,BR), n = 1,2,.., son medibles, probar que el conjunto
n?8 es un elemento de M.
1.5. EJERCICIOS. 23 Solución. Tenemos que probar que A es medible. Para ello observamos que si l´imsup fn = hn, y l´iminf fn = g, con h, g medibles, entonces A = {x ? X : h = g}. Sea l = h – g, función medible y A = {x ? X : l = 0} = l-1 ({0}) que es medible por de?nición.
Ejercicio 1.5.23 Sea(?,M,P) unespaciodeprobabilidad.Sean X1,X2 dosfuncionesmediblesde(?,M,P) -? (R,BR) y sean FX1, FX2 las funciones de distribución de las medidas de probabilidad inducidas por X1,X2 respec- tivamente (FXj(x) = P{? ? ? : Xj(?) = x}, j = 1,2). Probar que si P{? ? ? : X1(?) = X2(?)} = 1, entonces FX1 = FX2,?x ? R.
Solución. Si A = {? ? ? : X1(?) = X2(?)}, P(A) = 0, {? ? ? : X1(?) = x} ? {? ? ? : X2(?) = x} ? A tomando medidas en ambos lados FX1 = FX2 + P(A) =? FX1 = FX2 A f(x)dx viene dada por y por simetría llegamos a FX1 = FX2 por consiguiente FX1 = FX2,?x ? R.
Ejercicio 1.5.24 Se considera el espacio de probabilidad (R,BR,P), donde P(A) = la función de densidad / 1 x ? [0,1] 0 x ? [0,1] , f(x) =
Sea X : (R,BR,P) -? (R,BR) de?nida mediante X(x) = -2logx x > 0 0 resto , Hallar FX, la función de distribución de la probabilidad inducida por X. Solución. FX = 0 x = 0 1- e-x/2 x > 0 , donde FX = X-1. 1.5.4. Sobre integración y teoremas de convergencia. Ejercicio 1.5.25 Sea f(x) : [0,1] -? R+ de?nida mediante f(x) = 0, si x es racional, f(x) = n, si n es el número de ceros inmediatamente después del punto decimal en la representación de x en la escala decimal. Calcular f(x)dm, siendo m la medida de Lebesgue.
, 1n f(x)dm = , 1n 9 ? 10n = 9, p?Ip,j = l´im f(x)dm = 3 1 ?nrn = (1- r)2 24
Solución. Vemos que por ejemplo
entonces f = CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE
f (1) = 0, f (0,099999) = 1, f (0,3701) = 0, f (0,00103) = 2,
8 ? n? n=1 1 10n+1 10 es una función medible y que T.C.M 8 ? n=1 n? 1 10n+1 10 = n=1 8 ? n10n+1 = 9 8 n 1 10 n=1 tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.26 Sea f(x) = 0 en cada punto del conjunto ternario de Cantor en [0,1]. Sea f(x) = p en cada f(x)dm, siendo m la intervalo del complementario de longitud 1/3p. Demostrar que f es medible y calcular medida de Lebesgue. p-1 Solución. Vemos que Cc = ?8 ?2
f(x) = Ip,j
8 2p-1 ? ? p=1 j=1 N?8 N 2p-1 ? ? p=1 j=1 p?Ip,j que es una función simple, por lo tanto R T.C.M 8 2p-1 ? ? p=1 j=1 p Ip,j = 8 ? p=1 p 2p-1 p = 1 2 8 ? p=1 p 2p 3p = 2 3 2 1- 2 3 2 = 3 1 x , si x x x observar que r
tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.27 Sea f(x) la función de?nida en (0,1) mediante f(x) = 0, si x es racional, f(x) = es irracional ( 1 es la parte entera de 1). Calcular f(x)dm siendo m la medida de Lebesgue.
Solución. Vemos que f = 0, 1 x x ? Q n [0,1] x ? (0,1)Q
n+1, n n+1, n n InnI 1 n – 2 1.5. EJERCICIOS. 25 donde I = RQ, y 1 n + 1 < x < 1 n , =? n = 1 x < n + 1, si x ? 1 1 = In, f = n?I, f = 8 ? n?InnI n=1 por lo que fdm = 8 8 ? n|In n I| = ? n n=1 n=1 1 n – 1 n + 1 = 8 ? n=1 1 n + 1 = 8, tal y como queríamos hacer ver. Veamos ahora una variente de este ejercicio. En esta ocasión f = 0, 1 -1 x x ? Q n [0,1] x ? (0,1)Q queremos estudiar si esta función es integrable y calcular 1 0 fdm. Vemos que f = g c.t.p. donde g : (0,1] ? R, g(x) = 1 -1 x , y por lo tanto g(x) = 1 n , n = 1 x < n + 1, i.e. si x ? 1 1 , (como antes). La sucesión de funciones simples gn = 8 ? n=1 1 ? , gn ? g, converge puntualmente y es creciente, entonces f es integrable al serlo g. Ahora observamos que 1 0 gndm = n=1 8 ? n 8 m(En) = ? n=1 1 n 1 n – 1 n + 1 = 8 ? n=1 1 2 1 n + n , donde 8 ? n=1 1 n2 = p2 6 8 ? n=1 n 1 2 + n 8 = ? n=1 1 n(n + 1) 8 = ? n=1 1 n – 1 n + 1 = 1- 1 n + 1 , por lo tanto 1 0 fdm = p2 6 – 1, tal y como queríamos hacer ver.
? j?I , j=0 ? j?E , j=0 10. 1 1 1 1 26 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Ejercicio 1.5.28 Llamemos di(x) a los digitos del desarrollo decimal 0.d1,d2,… de un x ? (0,1). Decir por qué son convergentes las siguientes series: f(x) = ? i di (x) 2i , g(x) = ? i (-1)di(x) 2i y hallar 1 0 f, 1 0 g , expresándolas como sumas de series. ¿Por qué son válidas esas expresiones?. Solución. Se observa que d1 (x) = 9 1 j j I1 = j 10 , j + 1 10 de esta forma cada di(x) es una función simple
di (x) = 9 i j 1 donde Eij es la unión de intervalos con medida Eij = De?nimos ahora f = 8 ? i=1 di (x) 2i = l´im N?8 N ? i=1 di (x) 2i , función medible, y por lo tanto fdm = i=1 m ? 2i di (x)dx = i=1 8 ? 2i 9 ? j j=0 1 10 = 45 10 , y de forma análoga vemos que g(x) = 8 ? i=1 (-1)di(x) 2i , entonces gdm = * i=1 8 ? 2i (-1)di(x) dx = 0, ya que (-1)di(x) dx = 0, observar que * lo podemos hacer ya que 1 0 ? (-1)di(x) 2i dx = i=1 1 8 0 ? 2i = 1 < 8, tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.29 Sea f2n-1 = ?[0,1], f2n = ?[1,2], n = 1,2,…. Comprobar que se veri?ca la desigualdad de Fatou estríctamente.
xdm j (j-1,j) j=2 27 1.5. EJERCICIOS.
Solución. Claramente se observa que l´iminf(fn) = 0 < l´iminf fn = 1. Ejercicio 1.5.30 Comprobar 8 1 1 = 8, siendo m la medida de Lebesgue. Solución. Sea sn = n ? j=2 1 ? , sn = 1 x , ?x ? (0,1), viéndose que fdm = sup n n sndm = sup? n 1 j = 8 ? j=2 1 j = 8. tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.31 Sea fn = 0, medible, l´im fn = f, fn = f, ?n. Comprobar que fdµ = l´im fndµ fndµ = fdµ). (Sugerencia: Usar el lema de Fatou y que
Solución. f = l´im fn = l´iminf Fatou fn = l´imsup fn = f, y por lo tanto l´imsup fn = = l´iminf Fatou fn, fndµ ? l´im fdµ. tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.32 Sea fn(x) = m´in(f(x),n) siendo f(x) = 0 y medible. Demostrar que
Solución. Tenemos la siguiente situación
fn = fn+1 = ….. -? f, por el TCM (funciones medibles y positivas) l´im fn = f. tal y como queríamos hacer ver.
28 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Ejercicio 1.5.33 Sea g : (X,M,µ) -? (R,BR) integrable. Sea {En} una sucesión decreciente de conjuntos tal que n8En = Ø. Probar que l´imn?8 En gdµ = 0.
Solución. Tenemos la siguiente situación nEn = Ø, E1 ? E2 ? ….. ? En ? …, con g ? L1, gn = g?En, tal que gn -? 0, l´im n?8 gn = l´im g = l´im gn = 0. tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.34 Sea f : R -? [0,1) medible y f ? L1(m). Sea F : R -? R de?nida mediante F(x) = x
Probar que dados x1 < x2 < x3 < … números reales, se tiene ?|F(xk+1) – F(xk)| = k R |f|dm. Solución. Sea F(x) = x -8 f(t)dm tomamos h > 0, F(x + h) – F(x) = x+h x f (t)dm = f(t)?(x,x+h) -? 0, ya que cuando h -? 0,?(x,x+h) -? 0. ?|F(xk+1) – F(xk)| = ? k k x+h x f (t)dm = R |f| donde los Ik = (xk,xk+1) son disjuntos.
Ejercicio 1.5.35 Sea µ(X) < 8. Sean {fn} una sucesión de funciones de L1(µ), con fn(x) ? f(x) uniforme- mente. Demostrar que f ? L1(µ) y que fndµ -? fdµ. (Sugerencia: Estudiar la sucesión en(x) = fn(x) – f(x), escribir f(x) = fn(x) – (fn(x) – f(x)).
Solución. Sea fn(x) ? f(x), unifórmemente además fn(x) ? L1(µ) lo que quiere decir que son fun- ciones integrables, por lo que tenemos que f ? L1(µ) y además se veri?ca fdµ = l´im fndµ, en particular ?x,?l´im fn = f, (recordar que la convergencia uniforme implica la puntual).
4 . x1/2 1.5. EJERCICIOS. 29 Queremos usar el TCD. Dado e = 1, ?N ? N, |fn – fm| = 1, ?n,m = N (estamos interpretando una sucesión convergente como una suma de Cauchy). En particular ?n = N, -1 = fn – fN = 1,?x ó |fn| = |fN| + 1, vemos que F ? L1(dµ) X Fdµ = X |fN|dµ + X 1dµ = X |fN|dµ + µ(X) < 8 por lo tanto fn(x) ? f(x),?x, |fn| = F(x) ? L1(µ), ?n = N. Ejercicio 1.5.36 Demostrar que 8 l´im n?8 0 1+ dx x n n 1 x n = 1. Sugerencia: Usar que para n > 1, 1+ x n n = x2 Solución. El primer paso consiste en calcular l´im n?8 1+ 1 x n n x 1 n = 1 ex = e-x, n 1 cuando x > 1. Bajo estas consideraciones podemos usar el TCD l´im fn = l´im fn = 8 0 e-xdx = 1, La miga de todo el problema está en buscar la función dominante. Desarrollamos 1+ x n n = 1+ n2/2 x2 2 n2 = 1+ x2 4 , tenemos que buscar la función que sea integrable, la función dx 1+ x2 4 = 8 0 4 4+ x2 dx < 8, de esta forma aseguramos que si x < 1 8 1 1+ dx x n n x 1 n = 8 1 4 4+ x2 dx < 8. En conclusión: F(x) = 1 4 4+x2 x ? (0,1) x > 1 , por lo que 8 0 Fdx = 1 0 x 1 1/2 dx + 8 1 4 4+ x2 dx < 8, tal y como queríamos hacer ver.
= , 1+ y2 (na,8) 30 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE Ejercicio 1.5.37 Sea fn(x) = ( nx – 1 xlogn + 1)(1+ nx2 logn) , con x ? (0,1]. Comprobar que l´imn?8 fn = 0, y sin embargo l´im n?8 I fn = 1 2 . Sugerencia: fn = -1 xlogn + 1 + nx 1+ x2 (nlogn) . Solución. Vemos que l´im fn = 0, n?8 mientras que -1 xlog(n) + 1 dx = – 1 lnn ln 1 lnn (xlnn + 1) 1
0 = 0, 1+ x nx 2 (nlogn) dx = 1 2lnn ln 1 nlnn n(lnn) x2 + 1 1
0 1 2 por lo que l´im n?8 I fn = 1 2 , tal y como queríamos hacer ver. Ejercicio 1.5.38 Calcular 8 l´im n?8 a n 1+ n2x2 dx. estudiando los casos a < 0,a = 0,a > 0. ¿Qué teoremas de convergencia son aplicables?.
Solución. Haremos el siguiente cv (nx = y, ndx = dy) 8 l´im n?8 0 n 1+ n2x2 dx = l´im n?8 8
na 1 1+ y2 dy < 8, sea fn (y) = 1 ? , tal que |fn (y)| = 1 1+ y2 ? L1, Sabemos que están acotadas, lo que quiero es conocer el valor del límite ? ? 0 a > 0, 1 1+y2 1 1+y2
? p a = 0, n(n – 1) 4 2 n = 1+ na2 + n(n-1) 4 a (n-1) 4 + a n = 1+ nx2 + n(n-1) 4 x n = = n(n-1) 4 x = 2 n – 1 x2 n=2 x2 31 1.5. EJERCICIOS.
entonces por el TCD tenemos que 8 l´im n?8 0 n 1+ n2x2 dx = ? ? 0 a > 0, p a < 0, 2 tal y como queríamos hacer ver. Ejercicio 1.5.39 Calcular 8 l´im n?8 0 1+ nx2 (1+ x2)n dx. Solución. Actuamos como en el ejercicio anterior i.e. fn = 1+ nx2 (1+ x2)n , l´im fn = 0 n?8 Vemos que para n = 1, f1 = 1, n = 2, f2 = 1+ 2×2 (1+ x2)2 = 1+ 2×2 x4 + 2×2 + 1 entonces a partir de esta expresión y empleando el binomio de Newton vemos que 1+ a2 n = 1+ na2 + a por lo que 1+ na2 (1+ a2) 1+ na2 2 = + a2 1 n + 1 n a2 2 . Queremos just?car 8 l´im n?8 0 1+ nx2 (1+ x2)n dx = 0, 1+ nx2
2 = 1 para ello usaremos el TCD, ya que ?x 1+ nx2 (1+ x2)
por lo que la función mayorante será F(x) = 1 4 x2 x ? (0,1) x ? [1,8) vemos que cuando x > 1, 1+ nx2 (1+ x2) 2 1+ nx2 1+ nx2 + n(n-1)x4 x2 (1+ n)
2 1 2(1+ n) x n(n – 1) = = 4 1 4
1 1 8 1 1 32 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE ahora solo falta ver que 8 0 Fdx = 1 0 dx + 8 1 4 x2 dx < 8 n=0 tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.40 Sabemos que la serie
es convergente.
1. Justi?car 1 8 ? (-1)n n + 1,
8 ? (-x)n dx = ? 0 n=0 n=0 0 (-x)n dx. 2. Deducir n=0 8 ? (-1)n n + 1 = ln2. Solución. Si llamamos SN (x) = N ? n=0 (-x)n = 1- (-x)N+1 1+ x , observamos que para 0 < x < 1 |SN (x)| = 2 1+ x < 2. Por el T.C.M. (ya que las constantes son integrables en (0,1) con respecto a la medida de eLebesgue dx) 1 8 ? (-x)n dx = 0 n=0 1 1 l´im SN(x)dx = l´im 0 N?8 N?8 0 SN(x)dx = l´im N?8 1 N ? n=0 0 (-x)n dx = 1 8 ? n=0 0 (-x)n dx. Además, la parte izquierda de las igualdades anteriores nos da 1 8 ? (-x)n dx = 0 n=0 1 0 1 1+ x dx = ln2, mientras que la parte derecha es 1 8 ? n=0 0 (-x)n dx = n=0 8 ? (-1)n n + 1, tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.41 Sea (X,M,µ) un espacio de medida y sea f : X ? [0,8) una función medible (y no negativa)
33 1.5. EJERCICIOS.
a) Para m = 1,2,… se de?nen los conjuntos
Em = {x ? X : f(x) > 1/m}.
Demostrar la identidad l´im m?8 Em fdµ = X fdµ. b) Probar que si X fdµ < 8, entonces ?e > 0,?A ? M de medida ?nita (µ(A) < 8) tal que X fdµ < A fdµ + e. Solución. Claramente Em ? Em', si m < m' y que E = Em = {x ? X : f(x) > 0}. m En particular la sucesión de funciones positivas gm = f · ?Em es monótona creciente con
m?8 Teniendo en cuenta el T.C.M. deducimos que el límite pedido existe y vale l´im m?8 Em fdµ = l´im m?8 gmdµ = l´im gmdµ = m?8 E fdµ = X fdµ. X fdµ < 8, dado e, por lo anterior, entonces existe m Con respecto al segundo apartado vemos que si tal que X fdµ < Em fdµ + e. Ahora sólo hace falta recordar que cada Em es de medida ?nita en este caso ya que por la desigualdad de Chebychev tenemos que µ(Em) = µ({x ? X : f(x) > 1/m}) = m X fdµ, tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.42 Justi?car la existencia del siguiente límite y encontrar su valor: 8 l´im n?8 0 e-nt sint t . Solución. Sea fn (t) = e-nt sint t , entonces fn es continua y por lo tanto medible respecto a la medida de Lebesgue. Por otro lado, vemos que
34 CAPÍTULO 1. INTEGRAL DE LEBESGUE 1. |fn (t)| = e-nt = e-t = F(t), ?n = 1,2,… y ?t = 0. 2. l´imn?8 fn(t) = 0, ?t = 0, ya que l´im e-nt = 0, n?8 3. por último 8 0 F(t)dt = 8 0 e-tdt < 8. El T.C.D. nos asegura entonces que el límite pedido existe y vale 8 l´im n?8 0 e-nt sint t = 8 0 l´im fn(t)dt = 0, n?8 / / tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 1.5.43 Sea g : R ? [0,8) una función continua tal que g(0) > 0 y g(x) = 0 si x ? [-1,1]. Probar que si h(x) es una función medible Lebesgue tal que g(x – n) = h(x), para n = 1,2,… entonces h ? L1 (R,dx).
Solución. Sea gn (x) = g(x – n). Entonces gn (x) = 0,?n,x y R gn (x)dx = R g(x – n)dx = R g(x)dx > 0, ya que g(x) > 0 en un entorno de cero debido a su continuidad. Además l´im gn (x) = l´im gn (y) = 0. n?8 y?-8
Si h ? L1 (R,dx), entonces podríamos usar el TCD y concluir l´im n?8 R gn (x)dx = l´im gn (x)dx = 0, R n?8 / pero tal y como hemos mostrado, la parte izquierda es el límite de una sucesión constante de valor R g(x)dx > 0, entonces h ? L1 (R,dx).
Capítulo 2
Espacios de Medida
2.1. Espacios de medida.
Asumimos todos los resultados expuestos en el primer capítulo.
De?nición 2.1.1 Espacio de Medida. Llamaremos espacio de medida a toda terna (X,M,µ).
De?nición 2.1.2 Medida completa. Una medida µ sobre una s-álgebra M se dice completa si M contiene a todos los subconjuntos de conjuntos (de M) con medida cero, i.e. si A ? M tal que µ(A) = 0, entonces ?E ? A, se tiene que E ? M y µ(E) = 0
Forma de completar medidas.
Teorema 2.1.1 Sea (X,M,µ) un espacio de medida, de?nimos M={E ? X : ?A,B ? M, A ? E ? B, µ(BA) = 0} si E ? M con A ? E ? B y µ(BA) = 0, de?nimos µ(E) = µ(A). Entonces 1.
2. M es s-álgebra que contiene a M, µ es una medida completa que extiende a µ. Ejemplo 2.1.1 Veremos dos ejemplos que muestran la importancia de la completitud de medida En (X,M,µ) si µ es completa entonces:
1. Si f = g (c.t.p.) y f es medible entonces g es medible
2. Si las fn son medibles para todo n y fn -? f c.t.p. entonces f es medible.
35
36 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA Si las medidas no fueran completas entonces el resultado podría ser no cierto.
Ejemplo 2.1.2 Contraejemplos:En (X,M,µ) tomamos X = {1,2,3}, M ={Ø,{1,2},{3},X} ytomamos µ : M -?[0,8) con µ({1,2}) = µ(Ø) = 0 y µ(X) = µ({3}) = 1. De?nimos f, g : X -? R, f (1) = f (2) = f (3) = 3, g(x) = x entonces: 1.
2.
3. / f es medible
f = g (c.t.p.) ya que {x : f = g} = {1,2} g no es medible porque g-1 ((0,1]) = {1} ? M Hayunasegundaformadeencontrarmedidascompletasquetambiénsirveparaextenderpre-medidas (esdecir,funciones s-aditivassobreálgebras)amedidasenelsentidohabitual.(TeoremadeCaratheodory)
De?nición 2.1.3 Medida exterior. Se dice que µ* : P(X) -? [0,8] es medida exterior si cumple 1.
2. µ* (Ø) = 0,
µ* (A) = µ* (B), si A ? B, 3. µ* 8 i=1 Ai = i=1 8 ? µ* (Ai) De?nición 2.1.4 Pre-medida. Dada una álgebra B0 ? P(X) se dice que µ0 : B0 -? [0,8] es una premedida si veri?ca: 1. µ0 (Ø) = 0, 2. Si Bi ? B0 son disjuntos y 8 i=1 Bi ? B0, entonces µ0 8 i=1 Bi = 8 ? µ0 (Bi) i=1 tal y como se ve, µ0 sería una medida si B0 fuese una s-álgebra.
37 2.1. ESPACIOS DE MEDIDA.
La medida exterior asociada es entonces: µ* (A) = inf 8 ? µ0 (Ai) : Ai ? B0 i=1 A ? 8
i=1 Ai De?nición 2.1.5 µ*-medible. Dada una medida exterior µ* sobre X se dice que A ? X es µ* – medible si µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac), ?E ? X. Denotamos por M*={A ? X : A es µ* – medible} Observación 2.1.1 Como siempre se tiene
µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac), entonces A es µ* – medible sii µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac) Teorema 2.1.2 (Teorema 1 de Caratheodory). Si µ* es una medida exterior sobre X y de?nimos M* como antes. Entonces M* es una s-álgebra y µ*|M* es una medida completa.
Teorema 2.1.3 (Teorema 2 de Caratheodory). Sea µ0 una premedida sobre B0 y de?namos una medida exte- rior µ* y M* como antes. Entonces: 1.
2. M* es una s-álgebra que contiene a B0. µ = µ*|M* es una medida completa que extiende a µ0. Ejemplo 2.1.3 Construcción de la medida de Lebesgue. Sea el álgebra B0 generada por los intervalos de la forma (a,b], (a < b : a,b ? R). Es decir, B0 está formada por las uniones ?nitas de esos intervalos y sus complementarios. De?nimos
µ0 = ((a,b]) = b – a
y extendemos la de?nición a B0 de manera obvia. Entonces se tiene: 1.
2.
3. µ* es la medida exterior de Lebesgue M* es la s-álgebra de los conjuntos medibles de Lebesgue. µ = µ*|M* es una medida de Lebesgue (µ(I) =Longitud de I, ?I Intervalo).
38 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA Ejemplo 2.1.4 Construcción de la medida de Lebesgue-Stieltjes. Con más generalidad, si F : R -? R es creciente y continua por la derecha podemos de?nir µ0 = µF sobre el álgebra B0 anterior como sigue µF((a,b]) = F(b) – F(a). µF es una pre-medida y la extensión de Caratheodory se denota por µ = dF. En particular si F(x) = x estamos en el caso de la medida de Lebesgue que se denota por dx.
Observación 2.1.2 Recapitulación. Si (X,M,µ) es un espacio de medida y µ no es completa, entonces tenemos dos formas de completarla
1. por el teorema 2.1.1, obteniéndose X,M,µ
2. Por el segundo teorema de Caratheodory, obteniéndose en este caso X,M*,µ = µ*|M*
La relación entre ambos procedimientos es la siguiente 1. ¯ M ? M* y µ = µ*| M 2. Si µ es s-?nita, entonces M = M*
Observación 2.1.3 Si µ0 es una pre-medida sobre B0, y M es la mínima s-álgebra que contiene a B0 entonces hay una extensión de µ0 a una medida sobre M. (Simplemente tomamos µ*|M porque M ? M*). Si µ0 es s-?nita, esta extensión es única.
Observación 2.1.4 Si µ* es una medida exterior en X, que proviene de una pre-medida µ0, y µ(X) < 8, entonces también se tiene M* = {A ? X : µ*(A) + µ*(Ac) = µ*(X)} (Recordar aquí la de?nición de subconjunto medible de [0,1] dada por Lebesgue).
2.2. Ejemplos de medida de Lebesgue-Stieljes.
Veremos algunos ejemplos de la medida de Lebesgue-Stieljes. Ejemplo 2.2.1 Sean, F(x) = x. µF ((a,b]) = F(b) – F(a) = b – a; por lo tanto dF = µ*|M* = m, i.e. coincide con la medida de Lebesgue.
2.2. EJEMPLOS DE MEDIDA DE LEBESGUE-STIELJES. 39 Ejemplo 2.2.2 F(x) = ex. µF ((a,b]) = eb – ea; ?A ? M*, µF (A) = A exdm(x). Ejemplo 2.2.3 F(x) ? C1 (R) y f = F'; ?A ? M*, se tiene dF(A) = A f (x)dm(x) = A F' (x)dm(x). donde se observa que (dF = F'dx), además µF ((a,b]) = F(b) – F(a) = b a f(x)dx 1 x = 0 0 x < 0
1 a < 0 < b 0 b < 0 óa = 0 ver la sección de ejercicios así como el capítulo 4.
Ejemplo 2.2.4 Funcion de Heavyside
H (x) =
entonces µH ((a,b]) =
viéndose que la extensión * * µH = d0.
Ejemplo 2.2.5 F(x) = [x], y µF ((a,b]) = #{k : a < k = b}
µA = dF(A) = #(A n Z)
medida de contar en Z como subconjunto de R.
? ? 40 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA 2.3. Medidas de Borel.
De?nición 2.3.1 Se dice que µ es una medida de Borel en R si está de?nida sobre la s-álgebra de los conjun- tos de Borel BR.
Toda premedida µF de?nida como antes sobre B0 se puede extender (de forma única) a una medida de Borel. Esto es inmediato porque BR es la míinima s-álgebra que contiene a B0 y por tanto B0 ? BR ? M*. La extensión viene dada por la restricción de dF = µF|M* a BR. Recordatorio: Su extensión a todo M* se denomina la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada, denotada por dF. En general no es cierto que BR y M* coincidan.
Lema 2.3.1 si m es la medida de Lebesgue y denotamos por L los conjuntos medibles de Lebesgue entonces
BR ? L ? P(R)
los contenidos son estrictos.
Proposición 2.3.1 Si µ es una medida de Borel ?nita sobre conjuntos acotados, entonces µ proviene de cierta pre-medida µF sobre B0.
Ejemplo 2.3.1 Veremos dos ejemplos 1. µ = mBR, F(x) = ? ? ? x x > 0 ? 0 x = 0 -x x < 0 = x 2. µ = d0|BR, F(x) = 0 x = 0 -1 x < 0 i.e. F = H – 1, donde H representa la función de Heavyside.
Observación 2.3.1 No todas las medidas de Borel provienen de una pre-medida µF sobre B0. Por ejemplo, si µ es la medida de contar sobre R, su restricción µ|B(R) no viene de una µF porque µ|B(R)((a,b]) = 8,?a,b.
2.4. Medidas regulares en R
De?nición 2.4.1 Dado (R,M,µ) espacio de medida se dice que µ es regular (en R) si veri?ca:
2.5. DOS RESULATADOS SOBRE LA MEDIDA E INTEGRAL DE LEBESGUE. 41 1. BR ? M 2. Regularidad exterior, i.e. µ(A) = inf{µ(U) : A ? U,U abierto}
3. Regularidad interior µ(A) = sup{µ(K) : K ? A,K compacto}
Proposición 2.4.1 La medida de Lebesgue, m, es regular
Corolario 2.4.1 Si A es medible Lebesgue (A ? L) existen dos conjuntos de Borel U,V ? BR, tales que
U ? A ? V
y m(U) = m(A) = m(V). V es la intersección numerable de abiertos y U es una unión numerable de compactos.
2.5. Dos resulatados sobre la medida e integral de Lebesgue.
Teorema 2.5.1 Invarianza por traslaciones y dilataciones. Dado E ? R, entonces si E ? L entonces, x0 + E ? M, rE ? M, donde m(x0 + E) = m(E), y m(rE) = rm(E).
Relación entre la integral de Riemann y la de Lebesgue.
Teorema 2.5.2 Sea f : [a,b] ? I -? R, acotada e integrable Riemann, entonces f es medible Lebesgue y por lo tanto es integrable Lebesgue y además b a fdx = I fdm. 2.6. Ejercicios. 2.6.1. Medidas exteriores Ejercicio 2.6.1 Sea X un conjunto no vacío. De?nimos µ* : P(X) -? [0,1] mediante µ* (Ø) = 0, µ* (A) = 1, si A ? X. Comprobar que µ* es una medida exterior y determinar el s-álgebra de los conjuntos medibles. Solución. Tenemos que µ* (Ø) = 0, µ* (A) = 1, y recordamos que una medida exterior debe veri?car las siguientes propiedades: 1. µ* (Ø) = 0,
? 42 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA 2. µ* (A) = µ* (B), si A ? B, 3. µ * 8 i=1 Ai = i=1 8 ? µ* (Ai) Deestaformavemosquelaprimeradelaspropiedadesseveri?catrivialmente(porhipótesis)mientras que con respecto a la segunda de las propiedades tenemos que hacer las siguiente observación. Sea B = Ø, entonces µ* (B) = 1 = µ* (A), ?A y si B = Ø, entonces µ* (A) = µ* (B) = 0, ya que A ? B. Con respecto a la tercera de las propiedades vemos que µ* 8
i=1 Ai = i= i= 0 = ?8 1 µ* (Ai) ?Ai = Ø, 1 = ?8 1 µ* (Ai) si ?Aj = Ø, i= luego ?8 1 µ* (Ai) = 1 = µ* (B),?B. Paracalcularla s-álgebradelosconjuntosmediblestendremosencuentalaconstruccióndeCaratheodory M* = {A / ?E ? X, µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac)} queremos determinar los conjuntos µ* – medibles. En este caso en el que µ* (A) = 1, A ? X, si tomamos E = X entonces: µ* (X) = µ* (A) + µ* (Ac) 1 = 1+ 1
pero esto es una contradicción por lo que la única posibilidad es: M* = {Ø,X}
Otra forma de verlo es la siguiente, tomamos E = {a,b} tal que a ? A, b ? Ac y al igual que antes µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac) µ* (E) = µ* (A) + µ* (Ac) 1 = 1+ 1
llegando así a la misma contradicción
Ejercicio 2.6.2 Sea X un conjunto no vacío. De?nimos µ* mediante µ* (Ø) = 0, µ* (A) = 1 y µ* (X) = 2, si Ø = A = X. Comprobar que µ* es una medida exterior y determinar el s-álgebra de los conjuntos medibles.
Solución. En este cas tenemos que µ* (E) = X ? ? 0 E = Ø 1 Ø E 2 E = X tendremos que comprobar que se veri?can las propiedades de la medida exterior i.e.
? 2.6. EJERCICIOS. 43 1.
2.
3. i= i= µ* (Ø) = 0,
µ* (A) = µ* (B), si A ? B,
µ* (?8 1Ai) = ?8 1 µ* (Ai), Por lo tanto la primera de las propiedades se veri?ca por hipótesis, con respecto a la segunda de las propiedades veremos que si A ? B, µ* (A) = µ* (B), distinguiremos los siguientes casos µ* (B) = ? ? 0 B = Ø 1 Ø B 2 B = X µ* (A) = µ* (B) = 0 X µ* (A) = 1 = µ* (B) µ* (A) = 1 = µ* (B) = 2 i i i Con respecto a la tercera de las propiedades veremos que si tomamos (Ai)n =1 y comprobamos que µ* ?n =1Ai = ?n =1 µ* (Ai) haciendo las siguientes distinciones: An = Ø, ?n, =? i µ* (?n =1Ai) = 0 = n ? µ* (Ai) = 0 i=1 ?An = X =? i µ* (?n =1Ai) = n ? µ* (Ai) = 2, i=1 i ?n =1Ai = X, ?n0, tal que An0 = Ø =? i µ* (?n =1Ai) = n ? µ* (Ai) = 1, i=1 i ?n =1Ai = X, ?n, tal que ?n An = Ø =? i µ* (?n =1Ai) = 2 = n ? µ* (Ai). i=1 Paracalcularla s-álgebradelosconjuntosmediblestendremosencuentalaconstruccióndeCaratheodory M* = {A / ?E ? X, µ* (E) = µ* (E n A) + µ* (E n Ac)} / queremos determinar los conjuntos µ* – medibles. Si seguimos los mismos pasos que en el ejercicio anterior vemos que, sea A ? X tal que A, Ac = Ø, Ø A X, y supongamos que cardX > 2. Esto quiere decir que o bien A o Ac o los dos contienen más de un elemento. Supongamos que {x,y} ? A. Entonces A no es µ* medible porque si E = {x} ? Ac, ({y} ? E) entonces:
µ* (E n A) + µ* (E n Ac) = µ* (E), µ* ({x}) + µ* (Ac) = µ* (E), 1+ 1 = µ* (E) = 1
llegando así a una contradicción ya que E = X. Por lo tanto M* = P(X). Si seguimos este razon- amiento a medida que aumentamos el cardinal de X llegamos a la conclusión de que M* = P(X). Ejercicio 2.6.3 Comprobar que si µ* es una medida exterior ?nítamente aditiva entonces es numerablemente aditiva.
44 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA i=1 i=1 i=1 Solución. Tenemos que probar que si µ* es una medida exterior ?nítamente aditiva entonces es s – aditiva i.e. N 8 8 * * * i=1 i= i= para ello tomamos los (Ai)8 1 disjuntos, tales que A = ?8 1Ai, queremos ver que µ* (A) = 8 ? µ* (Ai) i= i N i= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i=1 pero observamos que “=” es cierta al tratarse de una medida exterior (por de?nición), por lo que sólo tendremos que probar la implicación “=” para ello observamos que ?N µ* (A) = µ* (?8 1Ai) = ? =1 µ* (Ai) tomando el límite entonces obtenemos que µ* (A) = ?8 1 µ* (Ai), tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 2.6.4 Sea µ* una medida exterior y sea H un conjunto µ*-medible, sea µ* la restricción de µ* a P(H),
1. Comprobar que µ* es una medida exterior en H. 2. Comprobar que A ? H es µ*-medible sii es µ*-medible.
Solución. Con respecto al primero de los apartados, tenemos que µ es una medida exterior y H ? M* de?nimos µ*(B) = µ* (B n H), µ* es una medida exterior en P(H), tomamos los {Ai} ? P(H) etc….. Con respecto al segundo de los apartados tenemos que µ* una medida exterior y H ? M*, de?nimos µ* = µ*|P(H) (i.e. medida exterior sobre P(H)), podemos considerar los conjuntos µ* – medibles M* tenemos que probar que A ? H, A ? M* ?? A ? M*. =?? Supongamos A ? M*, sea E ? X, µ* (E n A) + µ* (E n Ac) = µ* (E n Ac) µ* (E n A n H) + µ* (E n Ac n H) = µ* (E n H)
ahora si escribimos Ac = (HA) ? Hc, entonces µ* (E n Ac) = µ* (E n A) + µ* (E n (HA)) + µ* (E n Hc)
por hipótesis tenemos que
µ* (E n A) + µ* (E n (HA)) = µ* (E n H) por lo que µ* (E n A) + µ* (E n (HA)) + µ* (E n Hc) = µ* (E n H) + µ* (E n Hc) pero como H ? M* entonces µ* (E n H) + µ* (E n Hc) = µ* (E) por lo que A ? M*.
A ~ 8 2.6. EJERCICIOS. 45 0 0 0 ?=? Supongamos que A ? M*, entonces si E ? H µ* (E n A) + µ* (E n Ac) = µ* (E n A n H) + µ* (E n Ac n H) = µ* (E) por lo que A ? M*.
Ejercicio 2.6.5 Sea X un conjunto con un número in?nito de elementos. Tomemos como clase recubridora C, la formada por el vacío, el total y los conjuntos con un único elemento. De?nimos ?(Ø) = 0, ?(X) = 8, ?(E) = 1, si E ? C, E = Ø,X. Describir la medida exterior así obtenida. Estudiar la s-álgebra de los conjuntos medibles.
Solución. La clase recubridora C ={{x} : x ? X} ? {Ø,X} y hemos de?nido ?(Ø) = 0, ?(E) = 1, ?(X) = 8, por lo que tomamos µ* (A) = inf ??(Aj) : A ? ? Aj viéndose que:
1. Si A es ?nito i.e. A = {x1,…,xn}, A = ?n Aj , entonces µ* (A) = inf ??(Aj) : A ? ? Aj = n = cardA, 2. Si A es in?nito pero numerable, A = {x1,…,xn,….}, A = ?8 Aj , entonces µ* (A) = inf ??(Aj) : A ? ?8 Aj = 8, 3. Si X no es numerable, el recubrimiento numerable de A por elementos de C es A ? X y por lo tanto obtenemos de nuevo µ* (A) = 8.
Concluimos por lo tanto que µ* (A) = cardA A < 8 8 Por último observamos que M* = P(X).
Ejercicio 2.6.6 Sea X un conjunto no numerable. Sea C, la s-álgebra formada por los conjuntos numerables y no numerables de complementario numerable. Sea µ : C -?[0,8] de?nida mediante µ(E) = cardE, si E es ?nito y µ(E) = 8 en otro caso.
1. Probar que µ es una medida completa C. 2. Estudiar la medida µ* construida a partir de C y µ.
E ~ 8 B ~ 8 46 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA Solución. Con respecto al primer apartado vemos que para probar que es una medida completa:
Observación 2.6.1 Una medida µ sobre una s-álgebra M se dice completa si M contiene a todos los subcon- juntos de conjuntos (de M) con medida cero, i.e. si A ? M tal que µ(A) = 0, entonces ?E ? A, se tiene que E ? M y µ(E) = 0
Queremos probar que si A ? C y µ(A) = 0 (=? A = Ø), entonces todo B ? A ? C, pero esto es así por de?nición de µ(E) µ(E) = cardE E < 8 8 Con respecto al segundo apartado tenemos que de?nir la medida exterior asociada a (C,µ) µ* (B) = inf 8 ? µ(Aj) : B ? ? j=1 Aj = cardB B < 8 8 / así µ* vuelve a ser una medida en todo P(X) i.e. M* = P(X). Recordamos que para completar una medida teníamos dos formas: ? ? X,M,µ completando con subconjuntos de medida cero (X,M,µ) (X,M*,µ*) Caratheodory en este caso (M,µ) ya era completa así que (X,M,µ) = X,M,µ . Concluimos por lo tanto que la mínima extensión completa no tiene por qué coincidir con la extensión de Caratheodory.
Ejercicio 2.6.7 Sea (X,M,µ) un espacio de probabilidad y sea µ* la medida exterior asociada a µ. Sea E ? X de forma que µ*(E) = 1. Probar que dados A,B ? M, con A n E = B n E entonces; µ(A) = µ(B) = µ(A n B).
Solución. La calve está en observar que AB ? Ec (ya que si x ? A y x ? E, entonces x ? B por hipótesis; luego x ? AB entonces x ? E). Por lo tanto (AB)c ? E y de la de?nición de medida exterior asociada se sigue que: µ (AB)c = µ*(E) = 1. µ (AB)c = 1
A = (A n B) ? (AB) Como µ(X) = 1, también se tiene
de aquí µ(AB) = 0. Usando que
se concluye que µ(A) = µ(A n B).
De forma similar se obtiene µ(B) = µ(A n B), probando así la igualdad.
2.6. EJERCICIOS. 47 1 2 1 2 1 2 Ejercicio 2.6.8 Sean µ* y µ* dos medidas exteriores de?nidas en P(X), tales que µ* (X) < 8 y µ* < 8. Sean M1 y M2 las s-álgebras de los conjuntos medibles para µ* y µ* respectivamente. De?nimos 1 2 µ*(A) = µ*(A) + µ*(A), ?A ? X. 1 2 1. Comprobar que µ* es una medida exterior. 2. Comprobar que las s-álgebras de M de los conjuntos medibles para µ* viene dada por
M = M1 n M2.
Solución. En primer lugar vemos que µ* es una medida exterior ya que
µ*(Ø) = µ*(Ø) + µ*(Ø) = 0
y dados An ? X, n = 1,2,3… 1 2 µ*(?An) = µ*(?An) + µ*(?An) = 1 2 1 2 ?µ*(An) +?µ*(An) = ?µ*(An) + µ*(An) = ?µ*(An), n n n n 1 1 1 tal y como queríamos hacer ver. Con respecto al segundo apartado vemos que M = M1 n M2. Sea A ? M1 n M2, entonces ?E ? X, tenemos µ*(E) = µ*(E n A) + µ*(E n Ac), y 2 2 2 µ*(E) = µ*(E n A) + µ*(E n Ac), sumando ambas igualdades queda
µ*(E) = µ*(E n A) + µ*(E n Ac),
y por lo tanto A ? M. Por otro lado, sea A ? M y E ? X. Usando que j j j µ*(E) = µ*(E n A) + µ*(E n Ac), j = 1,2, j 1 2 j 1 1 1 2 2 2 2 2 1 por ser cada µ* una medida exterior y que además
µ*(A) = µ*(A) – µ*(A),
por cada µ* ?nitas, deducimos
µ*(E) = µ*(E n A) + µ*(E n Ac) = µ*(E n A) – µ*(E n A) + µ*(E n Ac) – µ*(E n Ac) = µ*(E) – (µ*(E n A) + µ*(E n Ac)) = µ*(E) – µ*(E) = µ*(E). Luego 1 1 1 µ*(E n A) + µ*(E n Ac) = µ*(E), lo que nos da A ? M1. De forma análoga, A ? M2.
? – F(a) + F(a) – F(a ) = F b – F(a ), l´im dF (a – 48 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA 2.6.2. Medidas de Lebesgue-Stieltjes (L-S) Ejercicio 2.6.9 De?nimos F(x) = ? ? 0 x < 1, x 1 = x = 3, 4 x = 3, Sea dF la medida de L-S asociada a F. Calcular dF({1}), dF({2}), dF((1,3]), dF((1,3)), dF([1,3]), dF([1,3)). Solución. Vemos que en general dada f creciente y continua por la derecha se tiene que:
dF((a,b]) = F(b) – F(a), dF((a,b)) = 1 1 l´imn?8 F b – n – F(a) = F(b-) – F(a) (a,b) = ?(a,b – n] F(b) – F(a) – (F(b) – F(b-)) = F(b-) – F(a) (a,b) = (a,b]{b} , dF([a,b]) = dF((a,b]) + dF({a}) = F(b) – F(a) + F(a) – F(a-) = F(b) – F(a-), (2.1) dF([a,b)) = dF((a,b)) + dF({a}) = F b – – – – dF({a}) = n?8 1 n ,a] = l´im n?8 F(a) – F a – 1 n = F(a) – F(a-), donde F(a-) signi?ca evaluada por la izquierda. Por lo tanto y resumiendo
dF((a,b]) = F(b) – F(a), dF((a,b)) = F b- – F(a), dF([a,b]) = F(b) – F(a-), dF([a,b)) = F b- – F(a-), dF({a}) = F(a) – F(a-).
En nuestro caso: 1. 2. 3. 4. 5. 6. dF({1}) = F(1) – F(1-) = 1- 0 = 1, dF({2}) = F(2) – F(2-) = 2- 2 = 0, observar que F es continua en 2, dF((1,3]) = F(3) – F(1) = 4- 1 = 3, recordar que se evalua por la derecha, dF((1,3)) = F(3-) – F(1) = 3- 1 = 2, dF([1,3]) = F(3) – F(1-) = 3- 0 = 3, dF([1,3)) = F(3-) – F(1-) = 3- 0 = 3, Tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 2.6.10 Sea µ la medida de contar sobre R y P(R). Para un conjunto ?jado A ? R, de?nimos ?(B) = µ(B n A) para todo B ? R.
? 0 ? ? 2+ x2 ? dF [- ,3) , dF [0, ) ? (1,2] , 2 , 4 , 2.6. EJERCICIOS. 49 1 1 1. Si A = {1,2,3,….,n,…} ¿es ? una medida de L-S?. En caso a?rmativo hallar su función de distribución. 2. Si A = 1, 2, 13,…., n,… ¿es ? una medida de L-S?. En caso a?rmativo hallar su función de distribución.
Solución. Sea A ? R, ?(B) = µ(B n A) = #(B n A), entonces:
1. En este caso A = N, y ?(B) = µ(B n A) = card(B n A), Borel ?nita sobre intervalos ?nitos, entonces sí es de L-S y F(x) = 0 x < 0 k – 1 k – 1 = x = k F(x) = 0 x < 0 [x] x = 0 2. 1 1 A = 1, 1 2, 3,…., n,… , en este caso ?, no es de L-S, ya que si tomamos B = (0,e] ?(B) = µ(B n A) = card n ? N, 1 n = o , ?e y esta medida es siempre in?nita ya que esta medida cuenta el número de puntos en ese intervalo y claro, es siempre in?nita por muy pequeño que se tome e. Ejercicio 2.6.11 De?nimos F(x) = ? ?
? 1+ x
9 x x x x ? (-8,-1) ? [-1,0) ? [0,2) ? [2,8) Sea dF la medida de L-S asociada a F. Calcular dF({2}), 1 2 dF((-1,0] ? (1,2)), 1 2 dF |x| + 2×2 . Solución. Seguiremos el esquema del primer ejercicio (ver 2.1) por lo que 1. 2. dF({2}) = F(2) – F(2-) = 9- (2+ 4) = 3, dF [-1 2,3) = F(3) – F(-1/2) = 9- 1/2 = 17 3. dF((-1,0] ? (1,2)) = (F(0) – F(-1)) + (F(2-) – F(1)) = (2- 0) + (6- 3) = 5, 4. dF [0, 1 2) ? (1,2] = (F(1/2) – F(0)) + (F(2) – F(1)) = 2+ 1 4 – 2 + (9- 3) = 25 5. dF |x| + 2×2 sencillamente vemos que 2×2 – x – 1 > 0 ? x = 1,-1/2 x < 0 A = 2×2 + x – 1 > 0 ? x = -1,1/2 x > 0 por lo que tendremos que calcular: dF(A) = dF(-8,-1/2) + dF(1/2,8) = = F -1/2- – F(-8) + F 8- – F(1/2) = = 1/2+ 0+ 9- (2+ 1/4) = 29/4.
f?In -? 0 ? 0 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA 50
Tal y como queríamos hacer ver. R fdx = Ejercicio 2.6.12 Sea f : R -? R nonegativaeintegrableRiemann,sobrecadaintervalo?nitotalque 1. Probar que x F(x) = f(y)dy 8 es una función de distribución de probabilidad y además F es continua. Si 1 x ? [0,1] f(x) = 0 resto hallar F. Solución. Vemos que F es creciente x' 0 fdx = x 0 fdx, y que además es continua por la derecha, lo vemos defoma inmediata ya si tomamos hn ? 0, vemos que F(x + hn) – F(x) ? 0 (cuando n ? 8) F(x + hn) – F(x) = x+hn x fdx de?niendo In = (x,x + hn) hn > 0 (x + hn,x) hn < 0 entonces |F(x + hn) – F(x)| = x+hn x fdx = In TCD n?8 ya que gn = f?In ? 0, |gn| = f integrable, de esta forma vemos que dF está bien de?nida y que dF({0}) = 0, ?x porque F es continua y es de probabilidad ya que R fdx = 1, i.e. dF(R) = R fdx = F(8) – F(-8) = 1, f función de densidad. Para un suceso A, la probabilidad es dF(A) = Pf(A) = A fdx ya que si de?nimos ?f (A) = A fdx ?f = dF en (a,b] ya que dF((a,b]) = F(b) – F(a) = b a f(y)dy = ?f ((a,b]). Aplicamos al ejemplo donde f = ?[0,1] y calculamos F(x) = x
-8 fdy = x ? ? 0
1 x < 0, 1dy = x x ? (0,1) x > 1
? ? 1 ? 1 ? (-8v -1) ? [-1, 2) 51 2.6. EJERCICIOS.
tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 2.6.13 Sea f(x) = kx(1- x) x ? [0,1] 0 resto determinar el vaor de k para que f sea la función de densidad de una medida de probabilidad. Determinar la función de distribución.
Solución. Siguiendo los pasos del ejercicio anterior vemos que dF(R) = R fdx = F(8) – F(-8) = 1 por lo que F(x) = x
-8 fdy = x 0 0 x < 0 fdy x ? [0,1] por lo tanto 1 0 kx(1- x)dx = k 6 de donde deducimos que k = 6, tal y como queríamos hacerver.
Ejercicio 2.6.14 Dada la función de distribución F(x) = ? ? 0 ? 3 ? 12 + v x- 2 10 x x x x , v ? [ 2,5) ? [5,8) Sea dF la medida de probabilidad correspondiente. Calcular dF(R), dF v (RQ) n -2,- 2 , dF (RQ) n v 2,5 , dF(Q n [1,6]). Solución. Siquiendo los pasos expuestos en el primero de los ejercicos se trata de encontrar los puntos v de discontinuidad -1, 2,5 y calcular la medida de cada uno de los conjuntos, por lo tanto: 1. dF(R) = 1, ya que se trata de una función de distribución, 2. dF v (RQ) n -2,- 2
dF para calcular este conjunto vemos que
v (RQ) n -2,- 2 = dF((-8,-1)) = 0
2v 3 2 = 1- – 2n A 1 1 2n Ai 52 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA 3. dF (RQ) n v 2,5 , vemos que dF (RQ) n v 2,5 = dF v 2 + dF v 2,5 – dF Q n v 2,5 = y calculamos cada uno de estos conjuntos 2 = – v – 1 1
v 2 10 1 3 dF
dF
dF Q n v 2 v 2,5 v 2,5 v = F 2 – F
= F 5- – F
= 0 4. esta última igualdad se desprende del hecho de que la función es continua en este conjunto y que por lo su medida es nula (punto a punto). dF(Q n [1,6]) = ?q?Qn[1,6] dF({q}) = dF({5}) = F(5) – F(5-) ya que sólo nos ?jamos en las singularidades tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 2.6.15 Para cada conjunto de Borel A ? R se de?ne ?(A) = 8 ? n=1 1 ? 1 n . Probar que ? coincide con la medida de L-S sobre la s-álgebra de Borel BR y encontrar su función de distribu- ción.
Solución. En primer lugar mostraremos que se trata de una medida i.e.
(i) ?(Ø) = 0, ya que ?Ø(x) = 0,?x, (ii) Si (Ai) son disjuntos dos a dos, usando que ??iAi(x) = ??Ai(x) i de esta forma vemos que ?(?iAi) = n=1 8 ? 2n??iAi 1 n = n=1 8 ? 2n 8 ??Ai i 1 n = ? i 8 ? n=1 1 ? 1 n = ??(Ai). i obsérvese que, de hecho, ? está bien de?nida sobre la s-álgebra total P(R). Además, ? es ?nita i.e. ?(R) = 8 ? n=1 1 2n = 1
?i 8 =n+1 2 1i = ? n+1 = x < 53 2.6. EJERCICIOS.
i.e. es una medida de probabilidad y por lo tanto ? coincide con una medida de L-S sobre BR. En este caso, su función de distribución viene dada por F(x) = ?((-8,x]) = 1 2n 1 n ? ? 0
1 x = 0 1 1 = x. tal y como queríamos hacer ver.
54 CAPÍTULO 2. ESPACIOS DE MEDIDA
De?nición 3.1.2 Sea B ? B0, entonces podemos escribir B = Capítulo 3
Los teoremas del cambio de variable y de Fubini.
3.1. Propiedades de la s-álgebra y de la medida de Lebesgue en Rn.
Asumimos todos los resultados expuestos en los capítulos anteriores.
De?nición 3.1.1 Rectángulo R, en Rn, R = J1 × ….× Jn, donde los de?nimos los Ji ? R como intervalos (?nitos o no) yde?nimos su volumen como: n |R| = vol (Rn) = ?|Ji| i=1 donde |·| signi?ca la longitud de ·.
Tenemos la sguiente ristra de lemas:
Lema 3.1.1 La intersección de rectángulos forma otro rectángulo.
Lema 3.1.2 La unión ?nita de rectángulos se puede escribir como la unión disjunta y ?nita de rectángulos.
Lema 3.1.3 La clase B0 = {uniones ?nitas de rectángulos} es un álgebra.
n Ri i.e. como uniones disjuntas y ?nitas de i=1
N ? |Ri|, i=1 elementos de B0, por lo tanto el volumen de B será:
vol (B) =
de esta forma vemos que |·| es una premedida
55
56 CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. De?nición 3.1.3 Medida de Lebesgue de Rn. La extensión de Caratheodory de la terna (Rn,B0,|·|) nos da el espacio de medida (Rn,Ln,m) donde m(R) = |R|,?R. Esta extensión es única (|·| es s-?nita). Ln es la s-álgebra de Lebesgue en Rn y m = dx la medida de Lebesgue.
Propiedades 1. 2. Ln contiene a los abiertos de Rn. ?A ? Ln, m(A) = inf 8 ? |Ri|, i=1 i= Ri rectángulo ?8 1 Ri ? A . 3. La medida de Lebesgue en Rn es “regular” i.e.
m(A) = inf{m(U), m(A) = inf{m(K), A ? U, U abierto}, K ? A, K compacto}. 4. La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones
Teorema 3.1.1 A ? Ln, x0 ? Rn,=? A + x0 ? Ln 1.
2. m(A + x0) = m(A), f : Rn -? R, tal que f = 0, ó f ? L1 (Rn,dm),=? ?x0 ? Rn f (x + x0)dm = f (x)dm Idea de la demostración. Vemos que
1. Por construcción. 2. Al ser f = 0, entonces por el paso al límite podemos suponer que f es simple entonces aplicamos toda la artillería desplegada en el primer capítulo i.e. f = N ? ci?Ai(x), i=1 =? f (x + x0) = N ? ci?Ai(x + x0) = i=1 N ? ci?-x0+Ai(x) i=1 entonces f (x + x0)dm = N N ? cim(-x0 + Ai) = ? cim(Ai) = i=1 i=1 f (x)dm y por lo tanto al ser cierto para funciones simples lo extendemos a funciones “normales” tenien- do en cuenta los teoremas de convergencia dominada etc….
Generalizamos este teorema para transformaciones a?nes en general
3.2. MEDIDAS INDUCIDAS. 57 Teorema 3.1.2 (TCV para aplicaciones lineales). Sea T : Rn ? Rn una transformación lineal tal que detT = 0, por lo que M(T,B) ? GL(n,R). Entonces:
1. Si A ? Ln, entonces T(A) ? Ln y m(T(A)) = |detT|m(A). 2. Sea f : Rn -? R, tal que f = 0, ó f ? L1 (Rn,dm),=? f (x)dm = |detT| f (T(x))dm. Corolario 3.1.1 En las condiciones del teorema anterior si D es medible entonces: T(D) f (x)dm = |detT| D f (T(x))dm. El teorema de cambio de variable general, permite substituir la aplicación T (lineal) por cualquier difeomor?smo ? de forma que si J(x) = detD?(x) es el jacobiano de ? en x, entonces ?(D) f (x)dm = D f · ?(x)|J(x)|dm. pero antes de enunciarlo formalmente necesitamos algo más de artillería.
3.2. Medidas inducidas.
De?nición 3.2.1 Dados dos espacios X,Y dotados de ciertas s-álgebras (MX,MY) se dice que la aplicación ? : X ? Y es medible si ?-1 (B) ? MX, para todo B ? MY.
De?nición 3.2.2 Si µ es una medida sobre la s-álgebra MX, entonces ? induce una medida sobre MY de la siguiente forma: µ?(B) = µ ?-1 (B) .
Teniendo en cuenta estas dos de?niciones podemos ahora formular el siguiente teorema:
Teorema 3.2.1 Sean (MX,MY) y µ?(B) = µ ?-1 (B) . Si f : Y -? R, es medible y f = 0, ó f ? L1 dµ? ,=? Y f (x)dµ? = D f · ?dµ. Llegamos así a formular el teorema de cambio de variable general:
Teorema 3.2.2 Sea ? : ? ? Rn ? Rn un difeomor?smo regular C1 y sea f : ?(?) -? R medible Lebesgue. Si f = 0, ó f ? L1 (dx), entonces: ?(?) f (x)dx = ? f · ?(x)|J(x)|dx.
58 CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. Observación 3.2.1 Se observa que ? f · ? ? ? f R
Recordar que la notación que se emplea en geometría diferencial (integración en variedades) ?(?) fdx = ? ?*fdx, mucho más elegante.
3.3. Medidas producto.
LaideaesladeextenderlamedidadeLebesgueenRn acualquierespaciodemedida.Sean(X,MX,µ), (Y,MY,?) dos espacios de medida y sean A ? MX,B ? MY. Entonces, de?nimos el rectángulo medible A × B = {(x,y) : x ? A,y ? B} y reproducimos la misma ristra de lemas que los expuesto al principio de este capitulillo i.e.
Lema 3.3.1 La intersección de rectángulos forma otro rectángulo.
Lema 3.3.2 La unión ?nita de rectángulos se puede escribir como la unión disjunta y ?nita de rectángulos.
Lema 3.3.3 La clase i N A = ? =1Ai × Bi, Ai ? MX,Bi ? MY es un álgebra.
Lema 3.3.4 Sea R = A × B, A ? MX,B ? MY.
p0 (R) = p0 (A × B) = µ(A)?(B) Sea U = (Ai × Bi), with Ai ? MX,Bi ? MY p0 (U) = N ? µ(Ai)?(Bi) i=1 0 p0 es una premedida.
Observación 3.3.1 La mínima s-álgebra que contiene a A se denota por MX ? MY y se veri?ca que MX × MY ? A ? MX ? MY.
De?nición 3.3.1 (X ×Y,A,p0) -? X ×Y,A*,p*|A por Caratheodory es completo.
3.4. TEOREMA DE FUBINI. 59 i Si seguimos este procedimiento podemos extender estas de?niciones al producto de n medidas. De esta forma tenemos que si (Xi,Mi,µi)n =1 son n espacios de medida entonces de?nimos la s-álgebra producto como el producto “?” de sus respectivas s-álgebras i.e. Mi etc… y de esta forma obte- mos el espacio Xi, Mi, dµi como la extensión de Caratheodory de la premedida p0 sobre ?Ai ? Mi en- A (álgebra de uniones ?nitas de rectángulos medibles) donde si R = A1 × … × An, tonces p0 = ?µi (Ai).
3.4. Teorema de Fubini.
De?nición 3.4.1 Dado E ? X ×Y y ?jado x ? X se de?ne la x-sección de E como Ex = {y ? Y : (x,y) ? E},
y la y-sección Ey = {x ? X : (x,y) ? E}. Sea f : X ×Y -? R, de?nimos la x-sección de f como fx : Y -? R : y -? fx (y) = f(x,y)
y de forma análoga la y-sección de f como
f y : X -? R : x -? f y (x) = f(x,y).
Proposición 3.4.1 Sean (X,MX,µ), (Y,MY,?) dos espacios de medida, entonces:
1. Si E ? MX ? MY, entonces Ex ? MX,Ey ? MY. 2. f : X ×Y -? R es MX ? MY medible entonces fx es MY medible y f y es MX medible. Esta proposición nos viene a decir que si f : X ×Y -? R es medible y positiva entonces fx es medible y como sigue siendo positiva la podemos integrar en yd?, i.e. podemos de?nir g(x) =
y de forma análoga de?nimos la función
h(y) = Y
X fx (y)d?(y)
f y(x)dµ(x). Por lo tanto tanto g como h son medibles y positivas y por lo tanto X g(x)dµ(x) = Y h(y)d?(y) = X×Y f(x,y)d(µ × ?) si µ y ? son s-?nitas.
60 CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. Teorema 3.4.1 Fubini. Sean (X,MX,µ), (Y,MY,?) dos espacios de medida s-?nitos, entonces:
1. Si f : X ×Y -? R es medible y positiva entonces tanto g como h son medibles y además se veri?ca: X×Y f(x,y)d(µ × ?) = X Y fd? dµ = Y X fdµ d? (3.1) 2. Si f ? L1 (d(µ × ?)),=? fx ? L1 (d?) ctp, f y ? L1 (dµ) ctp, por lo tanto g,h están de?nidas ctp y son integrables además se veri?ca (3.1).
Para la demostración de este teorema se necesitan los siguientes ingredientes:
Proposición 3.4.2 Sean (X,MX,µ), (Y,MY,?) dos espacios de medida s-?nitos, y E ? MX ? MY, en- tonces
x -? ?(Ex) ? MX, y -? µ(Ey) ? MY,
i.e. son medibles en X e Y respectivamente y µ × ?(E) = X ?(Ex)dµ(x) = Y µ(Ey)d?(y). Para demostrar esta proposición se necesita la siguiente de?nición y el siguiente lema.
De?nición 3.4.2 Se dice que C ? P(X × Y), es una clase monótona si es cerrada por uniones crecientes e intersecciones decrecientes i.e. E1 ? …. ? En ? … ? C, K1 ? …. ? Kn ? … ? C, =? ?Ei ? C, =? nKi ? C. Lema 3.4.1 Si A es una álgebra y C es una clase monótona con A ? C entonces la mínima s-álgebra que contiene a A(s(A)) ? C. 3.4.1. Aplicaciones del teorema de Fubini. 1. Los típicos intercambios en el orden de integración que nos hacen la vida más fácil.
2. El TCM es un caso particular del teorema de Fubini.
3. El TCD para series también es una consecuencia de este teorema.
? 3.5. EJERCICIOS. 61 3.5. Ejercicios.
Ejercicio 3.5.1 Sean X = Y = N, M = N = P(N) y sean µ,? las medidas de contar en N. Probar que d(µ × ?) es la medida de contar en P(N×N). Si de?nimos ? ? 1 si m = n f (m,n) = -1 si m = n + 1 0 resto comprobar que |f|d(µ × ?) = 8 y que existen fdµ d?, fd? dµ, y son distintas. Solución. Tenemos la siguiente situación: X = Y = N, M = N = P(N) dµ = d? medidas de contar, M?N = P(N×N) M × N ? M ? N ? P(N×N) pero observamos que P(N×N) ?m,n ? N,{m},{n} ? M,N, donde {m}×{n} = {m,n} es medible y cualquier combinación numerable también (por lo tanto P(N×N)) luego M × N = M ? N = P(N×N).
dµ ? d? es la medida de contar en N×N ya que µ × ?({m,n}) = µ × ?({m} × {n}) = µ({m}) × ?({n}) = 1. Ahora consideramos la función dada i.e.
f (m,n) = ? ? 1 si m = n -1 si m = n + 1 0 resto observamos que las integrales iteradas no coinciden ya que f no es positiva y no es integrable. Luego, si probamos que las integrales iteradas no coinciden es que no es integrable. Si integramos N f (m,n)dµ(m) = 8 ? m=1 f (m,n) = 0, ?n siempre encontramos ±1 que se anulan mutuamente. Si ahora integramos N f (m,n)d?(n) = 8 ? n=1 f (m,n) = 1 m = 1 0 m = 0 . / Igualmente vemos que
por lo que f ? L1. N×N |f|d(µ × ?) = f (m,n)d?(n)dµ(m) = 1
8 ? m,n=1 |f (m,n)| = 8 tal y como queríamos hacer ver.
62 CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. Ejercicio 3.5.2 Probar que un producto de una M-simple s : X -? R, por una N-simple r : Y -? R es (M ? N)-simple. Probar también que si f : X -? R es M-medible, g : Y -? R, es N-medible, y h : R × R -? R continua la función H(x,y) = h(f (x), g(y)) es (M ? N)-medible.
Solución. Tenemos los espacios de medida (X,M,µ),(Y,N,?) y las funciones f : X -? R, M – medible, g : Y -? R, N-medible y la función h : R × R -? R continua. Consideramos la función H(x,y) = h(f (x), g(y)) queremos probar que es (M ? N)-medible. Para ello empezamos probando que el producto de funciones simples es simple i.e. si dadas s : X -? R, y r : Y -? R (M,N-simples respectivamente) entonces s(x)r(y) es (M ? N)-simple. De?nimos: s(x) =
r(y) = n ? cj?Aj(x), j=1 m ? dj?Bj(y), j=1 cj ? R, Aj ? M,
dj ? R,Bj ? N, entonces s(x)r(y) = n m ? ? cjdi?Aj(x)?Bi(y) = j=1 i=1 n m ? ? cjdi?Aj×Bi(x,y), j=1 i=1 que es simple, ya que cjdi ? R y ?Aj(x)?Bi(y) = ?Aj×Bi(x,y) Sea ahora h : R × R -? R h(s(x),r(y)) = n m ? ? h j=1 i=1 cj,di ?Aj×Bi(x,y) Por último. teenmos que f : X -? R,M-medible, y g : Y -? R, N-medible i.e. existen (respectiva- mente) {sl} y {rl} de funciones simples tales que f(x) = l´im sl(x), l?8 g(y) = l´im rl(y) l?8 al ser h continua, entonces
H(x,y) = h(f (x), g(y)) = l´im (sl(x),rl(y)) l?8 por lo tanto (M ? N)-medible. De esta forma vemos que H es límite puntual de funciones simples y por lo tanto es medible.
Ejercicio 3.5.3 Sea f : X -? R una función M-medible, f = 0 y sea Af = {(x,y) ? X × R : 0 = y = f (x)}.
1. Probar que Af ? M × B (donde B es la s-álgebra de Borel). X fdµ coincide con la medida producto p = µ× dy 2. Dada una medida µ en (X,M) s-?nita probar que del conjunto Af.
= l´im dµ × dx(Asl) sldµ = 63 3.5. EJERCICIOS.
Solución. Queremos ver la relación que hay entre la integral y la medida del grafo de una función. “medida” de Af = b a fdx. En general dado (X,M,µ) y f : X -? R una función M-medible, f = 0,
Af = {(x,y) ? X × R : 0 = y = f (x)}
entonces X fdµ dµ × dx Af =
donde Af ? X × R donde la medida es (dµ × dx). Queremos probar que Af es M ? B medible y que dµ × dx Af = X fdµ. Empezamos probándolo para fuciones simples y luego extendemos a funciones generales i.e.: Sea s(x) = m ? cj?Aj(x), j=1 cj ? R+, Aj ? M, As = simple y positiva y tomamos los Aj disjuntos y sea
As = {(x,y) ? X × R : 0 = y = s(x)}
por lo tanto m j=1 Aj × 0,cj ? M × B además dµ × dx Af = m ? cjµ j=1 Aj = X sdµ. Af = Para una función general vemos que existe una sucesión de funciones simples creciente {sl} si = si+1 y convergente a f i.e. l´iml?8 sl = f(x). Además 8 Asj j=1
unión creciente por lo que Al ? M × B y además por el TCM tenemos que dµ × dx Af TCM l?8 simples = l´im l?8 X TCM X fdµ. tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 3.5.4 Si damos a X = [0,1] × [0,1] ? R2 la medida de área, dx = dx1 × dx2, si ?(x) = x1 + x2, d = |x1 – x2| dar expresiones para las medidas dx?,dxd inducidas en R.
64 CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. Solución. En este caso vemos que X = [0,1] × [0,1] ? R2, y ? : X -? R tal que ?(x) = x1 + x2 donde la medida de Lebesgue en [0,1]×[0,1] viene dada por dx1 × dx2. Queremos calcular la medida inducida por ? en R (de hecho en [0,2]). Recordamos que si A ? B (Borel) m?(A) = m ?-1 (A)
podemos suponer que A es un intervalo A = (a,b], 0 = a < b < 2. Buscamos
?-1 (A = (a,b]) = {(x1,x2) : a < x1 + x2 = b}
curvas de nivel de ?, x1 + x2 = const. Vemos tres casos: 1. 0 = a < b = 1. m?(A) = b2 2 – a2 2 . 2. 0 = a < 1 < b < 2. m?(A) = 1- a2 2 – (2- b)2 2 = 1 a tdt + b 1 (2- t)dt. 3. 1 = a < b = 2 m?(A) = (2- a)2 2 – (2- b)2 2 = b a (2- t)dt. Observamos que dm? (t) = t?(0,1) (t)dt + (2- t)?(1,2) (t)dt, y por lo tanto dm? (t) = h(t)dt, h(t) = t t ? (0,1) 2- t t ? (1,2) tal y como queríamos hacer ver.
Ejercicio 3.5.5 Sea X = R2{(0,0)} y dm = dxdy la medida de Lebesgue en X. De?nimos
f : X -? R : (x,y) -? ln(x2 + y2)
y sea mf la medida inducida por f y m en R.
1. Calcular el valor de mf ([0,1])
2. Demostrar que mf tiene la forma dmf(y) = W(y)dy y encontrar W(y) explícitamente.
f ln(x2 + y2) dxdy = f (y)ey/2 ey/2dy = fdxdy = – , 3.5. EJERCICIOS. 65 Solución. Por de?nición mf ([0,1]) = m f-1 ([0,1]) . Ahora bien: f-1 ([0,1]) = {(x,y) : f(x,y) ? [0,1]} = (x,y) : 0 = ln x2 + y2 = 1 = (x,y) : 1 < x2 + y2 = e , se trata por lo tanto del anillo con radio interior 1 y exterior v e, así que mf ([0,1]) = m f-1 ([0,1]) = p R2 – r2 = ep – p = (e – 1)p.
Con respecto al segundo apartado R cv 2p 8 0 0 f(y)dmf(y) =
= 2p 8 X
0 y=lnr2 f lnr2 rdr = 2p f lnr2 rdrd? = 1 R 2 R f (y)peydy, donde r = ey/2, dr = 12ey/2dy y por lo tanto dmf(y) = W(y)dy = peydy, tal y como queríamos hacer ver. Aplicaciones del teorema de Fubini Ejercicio 3.5.6 Sea f(x,y) = 2 x2-y2 (x2+y2) 0 (x,y) = (0,0) (x,y) = (0,0) , comprobar que p 4 = 1 0 1 0 fdydx = 1 0 1 0 p 4 ¿Qué hipótesis no se veri?ca en el teorema de Fubini?.
Solución. Vemos que x2 – y2 (x2 + y2)2 dx dy = – x2 x + y 2 dy = -arctan y x x2 – y2 (x2 + y2)2 dy dx = y x2 + y2 dx = arctan x y de esta forma tenemos que 1 0 1 0 fdydx = p 4 1 0 1 0 fdxdy = – p 4 / para llegar a este resultado hemos tenido en cuenta el CV antes expuesto. f ? L1(dx ? dy).
CAPÍTULO 3. LOS TEOREMAS DEL CAMBIO DE VARIABLE Y DE FUBINI. 66
Ejercicio 3.5.7 Sea f(x,y) = 2 xy (x2+y2) 0 x ? [-1,1],y ? [-1,1] (x,y) = (0,0) , comprobar que 1 1 -1 -1 fdydx = 1 1 -1 -1 fdxdy, pero sin embargo f no es integrable en [-1,1] × [-1,1]. ¿Qué hipótesis no se veri?ca en el teorema de Fubini?.
Solución. Sabemos por el teorema de Fubini que si fdxdy = fdydx / entonces f ? L1(dx ? dy). Pero este teorema no dice “sii”, por lo que puede ocurrir que fdxdy = fdydx / y sin embargo f no sea integrable i.e. f ? L1(dx ? dy). Este ejercicio va de eso precisamente. Sea f = xy (x2 + y2)2 , x ? [-1,1],y ? [-1,1] x2 + y2 = 0, sabemos que f es medible ya que es conti
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