3. Cálculo del tamaño de la muestra
En la estadística tiene un papel destacado la noción de MUESTRA ALEATORIA.
Una muestra aleatoria de tamaño n es:
· Una colección de n variables aleatorias.
· Todas con la misma distribución.
· Todas independientes.
Esta definición idealiza la operación de repetir n veces la observación de la misma variable aleatoria, siendo las repeticiones independientes una de otra.
La colección de donde extraemos la muestra aleatoria, se denomina POBLACIÓN. Nuestra intención al tomar una muestra, es la de hacer INFERENCIA. Este término lo usamos en estadística para denotar al procedimiento con el que hacemos afirmaciones acerca de valores generales de la población mediante los números que observamos en la muestra.
Quizá un ejemplo aclare las ideas. Suponga que observamos el proceso de fabricación de las “bolitas'' que se le ponen al envase de los desodorantes “roll on''. No todas las bolitas van a tener el mismo diámetro, si escogemos, al azar una bolita, tendremos un valor para el diámetro que es una variable aleatoria. Podemos suponer que los diámetros tienen la distribución normal, debido a nuestra experiencia con el proceso, conocemos que la desviación estándar de la población es de 4 mm (aproximadamente). Pero, también por experiencia, sabemos que el diámetro promedio puede variar por desajuste de la maquinaria productora. De modo que tenemos:
· Una POBLACIÓN, que son todas las bolitas que se producen.
· Un PARÁMETRO de la población conocido (o casi) que es la desviación estándar.
· Otro PARÁMETRO cuyo valor es desconocido: la media .
Para tratar de conocer el valor del parámetro que desconocemos, tomamos una MUESTRA de la bolitas. Supongamos que son 100 bolitas en la muestra. Con un instrumento de precisión, y con mucho cuidado, medimos los diámetros de las 100 bolitas de la muestra y calculamos su promedio.
¿Qué nos dice el valor de la media de la muestra respecto a la media de la población?
· por una lado, definitivamente la media de la muestra NO va a ser igual a la de la población.
· por otra parte, no tenemos mejor información respecto a la media de la población que la que extraigamos de la muestra. Cualquier otra información no pasa de chisme.
· por último, sería muy extraño que si la población de bolitas tiene, por decir algo, un diámetro promedio de 45 mm, nos tocaran 100 bolitas en la muestra con un promedio de, digamos, 32 mm. Fíjese que no decimos imposible sino raro o extraño.
· además, si alguien nos preguntara ¿como cuánto es el diámetro promedio de la población de bolitas? Le contestaríamos diciendo el valor que hayamos visto en la muestra.
· a nuestra contestación debíamos agregarle alguna advertencia como: "mas o menos'', o “aproximadamente''.
A un valor calculado con los datos de una muestra lo llamamos ESTADÍSTICA. Cuando usamos una estadística para jugar el papel de decir, aproximadamente, el valor de un parámetro de la población, le llamamos ESTIMADOR. Cuando andamos un poco pedantes le llamamos ESTIMADOR PUNTUAL (al decir “puntual'' queremos decir que para estimar el parámetro estamos usando un valor único).
Regresando a las bolitas del “Roll on''. Si la muestra de 100 bolitas arroja un valor del promedio de 43.5 mm, diríamos que ESTIMAMOS el promedio de la población en 43.5 mm.
Constrúyase Ud. mismo un ejemplo como el de las bolitas. En su ejemplo, describa
· una población.
· un parámetro para la población.
· una muestra.
· una estadística que le sirva como estimador.
Características probabilísticas de un estimador
Cuando se tiene una fórmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias.
Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden
· estar listos para usarse ó
· defectuosos.
Podemos seleccionar, al azar, algunos de ellos para darnos una idea de la proporción de defectuosos en el embarque. El parámetro de interés es la proporción de defectuosos en toda la población, pero lo que observamos es la proporción de defectuosos en la muestra. El valor de la proporción en la muestra es una variable aleatoria cuya distribución está emparentada directamente con la binomial (si se tratara del número de defectuosos, sería binomial).
Como cualquier variable aleatoria, el estimador tiene
· distribución de probabilidad.
· valor esperado.
· desviación estándar / varianza.
Valor esperado de un estimador y sesgo
El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supieramos que el valor esperado de una estadística es 4, esto significaría que al tomar una muestra:
· No creemos que el valor de la estadística vaya a ser 4.
· Pero tampoco creemos que el valor de la estadística vaya a estar lejos de 4.
Ya que es muy probable que el valor del estimador esté cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parámetro que se pretende estimar. Al menos, quisiéramos que el valor esperado no difiera mucho del parámetro estimado.
Por esa razón es importante la cantidad que, técnicamente llamamos sesgo. El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro que estima.
Si el sesgo 0, se dice que el estimador es instigado y ésta es una característica buena para un estimador. Un estimador que es instigado tiene una alta probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parámetro.
Varianza de un estimador
Otra propiedad importante de un estimador es su varianza (o su raíz cuadrada, la desviación estándar).
La importancia de la desviación estándar es que nos permite darle un sentido numérico a la cercanía del valor del estimador a su valor esperado.
Entre menor sea la desviación estándar (o la varianza) de un estimador, será más probable que su valor en una muestra específica se encuentre mas cerca del valor esperado. Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son instigados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2 ¿Qué quiere decir esto? Simplemente que en un entorno fijo del valor del parámetro, los valores de T1 son más probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 más cerca del valor del parámetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estén con T1.
Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es más eficiente.
En el pizarrón vemos algunos estimadores instigados:
· la proporción muestra como estimador de la proporción poblaciones.
· la media muestra como estimador del valor esperado poblaciones.
· la varianza de la muestra como estimador de la varianza de la población.
La distribución de probabilidad de una estadística
Quizá el resultado mas importante para la estadística es el Teorema del Límite Central. Este resultado nos indica que, para la estadística promedio de la muestra
· el valor esperado es la media de la población.
· la varianza es igual a la de la población dividida por el número de elementos de la muestra.
· la distribución de probabilidad es la normal.
Este teorema es muy importante porque permite calcular probabilidades acerca de dónde se encuentra el valor del promedio muestra. Es sólo cuestión de usar la tabla normal teniendo cuidado al estandarizar de usar la desviación estándar adecuada que es la de la población dividida por la raíz cuadrada del número de elementos de la muestra.
En el salón hacemos en forma detallada, ejemplos de estos cálculos.
Estimación del error de una medida directa
La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor.
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).
Mejor valor de un conjunto de medidas
Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas serán en general diferentes
El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:
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y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.
2. Tipos de estimación estadística
Estimación de parámetros:
Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros de la población, brevemente parámetros (tales como la media y la variación de la población), de los correspondientes estadísticos muéstrales, o simplemente estadísticos(tales como la media y la variación de la muestra).
Estimaciones sin sesgo:
Si la media de las dispersiones de muestreo con un estadístico es igual que la del correspondiente parámetro de la población, el estadístico se llamara estimador sin sesgo, del parámetro; si no, si no se llama estimador sesgado. Los correspondientes valores de tal estadístico se llaman estimación sin sesgo, y estimación con sesgo respectivamente.
Ejemplo 1: la media de las distribuciones de muestreo de medias e, media de la población. Por lo tanto, la media muestral es una estimación sin sesgo de la media de la población.
Ejemplo 2. Las medias de las distribuciones de muestreo de las variables es:
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Encontramos, de manera que es una estimación sin sesgo de. Sin embargo, s es una estimación sesgada de. En términos de esperanza podríamos decir que un estadístico es instigado porque Para ver el grafico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior
Estimación Eficiente:
Si las distribuciones de muestreo de dos estadísticos tienen la misma media(o esperanza), el de menor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que el otro se llama un estimador ineficiente, respectivamente.
Si consideramos todos los posibles estadísticos cuyas distribuciones de muestreo tiene la misma media, aquel de varianza mínima se llama aveces, el estimador de máxima eficiencia, ósea el mejor estimador.
Ejemplo:
Las distribuciones de muestreo de media y mediana tienen ambas la misma media, a saber, la media de la población. Sin embargo, la varianza de la distribución de muestreo de medias es menor que la varianza de la distribución de muestreo de medianas. Por tanto, la media muestral da una estimación eficiente de la media de la población, mientras la mediana de la muestra da una estimación ineficiente de ella.
De todos los estadísticos que estiman la media de la población, la media muestral proporciona la mejor( la más eficiente) estimación.
En la practica, estimaciones ineficientes se usan con frecuencia a causa de la relativa sencillez con que se obtienen algunas de ellas.
Estimaciones de punto y estimaciones de intervalo, su fiabilidad:
Una estimación de un parámetro de la población dada por un solo numero se llama una estimación de punto del parámetro. Una estimación de un parámetro de la población dada por dos puntos, entre los cuales se pueden considerar encajado al parámetro, se llama una estimación del intervalo del parámetro.
Las estimaciones de intervalo que indican la precisión de una estimación y son por tanto preferibles a las estimaciones de punto
Ejemplo:
Si decimos que una distancia sé a medido como 5.28 metros (m), estamos dando una estimación de punto. Por otra parte, si decimos que la distancia es 5.28 ± 0.03 m, (ósea, que esta entre 5.25 y 5.31 m), estamos dando una estimación de intervalo
El margen de error o la percepción de una estimación nos informa su fiabilidad.
Estimaciones De Intervalos De Confianza Para Parámetros De Población:
Sean y la media y la desviación típica (error típico) de la distribución de muestreo de un estadístico S. Entonces, si la distribución de muestreo de s es aproximadamente normal (que como hemos visto es cierto para muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N³30), podemos esperar hallar un estadisco muestral real S que este en los intervalos alrededor del 68.27 %, 95.45% y 99.7 % del tiempo restante, respectivamente.
La tabla 1. Corresponde a los niveles de confianza usados en la practica. Para niveles de confianza que no aparecen en la tabla, los valores Zc se pueden encontrar gracias a las tablas de áreas bajo la curva normal.
Nivel de confianza | 99.7 % 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 6827% 50% |
Zc |
3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745 |
Intervalos de confianza para la media:
Si el estadístico s de la media de la muestra, entonces los limites de confianza respectivamente. Mas en general los limites de confianza para estimar la media de la población m viene dado por usando los valores de
Si el muestreo de la población es infinita por lo tanto viene dado por:
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Si el muestro es sin reposición de una población de tamaño Np.
Ejemplo
Halar laos limites de confianza de 98% y 90%.para los diámetros de una bolsa
Solución:
Sea Z =Zc tal que al área bajo la curva normal a la derecha sea 1% . Entonces , por simetría el área del lado izquierdo de Z=-Zc . como el área total bajo la curva es 1, Zc= 0.49 por lo tanto, Zc=2.33. luego el limite de confianza es 98% son X= ±2.33s¤ÖN=0.824± 2.33(0.042/ Ö200)=0.824 ±0.069 cm.
Generalmente, la desviación típica de la población no es conocida. Así pues , para obtener los limites usamos la estimación s o S es satisfactorio si N>=30, si a aproximación es pobre y debe de empleare la teoría de pequeñas muestras.
3.Cálculo del tamaño de la muestra
A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores.
Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población.
Estadístico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros.
Error Muestral, de estimación o standard. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad.
Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro.
Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.
Tamaño de muestra para estimar la media de la población
Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son:
Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: 1.- Obtener el tamaño muestral imaginando que N->a
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Donde:
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z correspondiente al nivel de confianza elegido Para ver el grafico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior
: varianza poblacional e: error máximo
2.- Comprobar si se cumple
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Si esta condición se cumple el proceso termina aquí, y ese es el tamaño adecuado que debemos muestrear.
Si no se cumple, pasamos a una tercera fase:
3.- Obtener el tamaño de la muestra según la siguie n te fórmula:
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Veamos un ejemplo: La Consejería de Trabajo planea un estudio con el interés de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del servicio doméstico. La muestra será extraída de una población de 10000 mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a través de un estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos a admitir un error máximo de 0,1, ¿cuál debe ser el tamaño muestral que Empleemos?.
Buscamos en las tablas de la curva normal el valor de que corresponde con el nivel de confianza elegido: = ±1.96 y seguimos los pasos propuestos arriba.
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Tamaño de muestra para estimar la proporción de la población
Para calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones poblaciones hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirá determinar el tamaño muestral es la siguiente:
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: z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporción de una categoría de la variable e: error máximo N: tamaño de la población
Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamos que tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajan diariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo que P=0.30, fijamos el nivel de confianza en 0.95 y el error máximo 0.02.
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Trabajo enviado por:
Lida Burbano