Temas de Análisis Matemático 1

• El seno y la cosecante

• a. El Seno y=f(x)=sen(x)

• b. La cosecante y=f(x)=cosec(x)=1/sen(x)

• El coseno y la secante

• a. El coseno y=f(x)=cos(x)

• b. La secante y=f(x)=sec(x)=1/cos(x)

• La tangente y la cotangente

• a. La Tangente y=f(x)=tg(x)

• b. La cotangente y=f(x)=ctg(x)=1/tg(x)

Funciones hiperbólicas

• Introducción

Las siguientes figuras muestran la circunferencia unitaria y su "extensión" a la hipérbola para definir las funciones hiperbólicas.

Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que se definieron las funciones hiperbólicas en forma casi semejante a la definición de las funciones trigonométricas, pero utilizando la hipérbola equilátera de radio 1 (figura de la derecha) de la siguiente manera:

• Seno hiperbólico: senh(x) = BC/OA

• Coseno hiperbólico: cosh(x) = OB/OA

• Tangente hiperbólica: tanh(x) = BC/OB

De la misma manera que en el caso de las funciones trigonométricas habituales, el área sombreada de la hipérbola que se corresponde con un ángulo "2a' (en radianes) tomando OA como la unidad, es "a". Sea x el área del sector de ángulo 2a (que es igual a a). Entonces se tiene:

senh(a)(= senh(x) = BC

cosh(a) = cosh(x) = OB

tanh(a) = tanh(x) = AD

También se puede establecer la noción de estas funciones hiperbólicas en la gráfica de una parábola, a partir de las coordenadas que posee, asignándole a las abscisas el valor del coseno hiperbólico y a las ordenadas el valor del seno hiperbólico, lo cual se aprecia a continuación:

• Definición y gráficas

En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:

• a. Seno hiperbólico: senh(x) o sh(x)

• b. Coseno hiperbólico: cosh(x) o ch(x)

• c. Tangente hiperbólica: tanh(x) o th(x)

• d. Cotangente hiperbólica: coth(x) o ctgh(x)

• e. Secante hiperbólica (sech)

• f. Cosecante hiperbólica (csch)

Algunas observaciones de las gráficas son las siguientes:

• senh(x) = 0, si x = 0

• Las funciones senh(x), tanh(x), cotgh(x), cosch(x) son impares: [f(-x) = – f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen,

• Las funciones cosh(x), sech(x) son pares: [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y.

• Propiedades de las funciones hiperbólicas:

• Funciones hiperbólicas inversas:

En las siguientes ecuaciones, ln representa el logaritmo neperiano.

• Relaciones con las Funciones Trigonométricas

En las siguientes relaciones, i representa la unidad imaginaria, que es igual a la raíz cuadrada de -1.

• senh(z) = -i sen(iz)

• csch(z) = i csc(iz)

• cosh(z) = cos(iz)

• sech(z) = sec(iz)

• tanh(z) = -i tan(iz)

• coth(z) = i cot(iz)

• Derivadas de F, hiperbólicas

Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial ex.

Proposición 1: Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:

• a. Si f(x) = senh(x), entonces, f'(x) = cosh(x)

• b. Si f(x) = cosh(x), entonces, f'(x) = senh(x)

• c. Si f(x) = tanh(x), entonces, f'(x) sech⨸)

• d. Si f(x) = cotgh(x), entonces, f' (x) = – cosch⨸)

• e. Si f(x) = sech(x), entonces, f'(x) = – sech(x) tanh(x)

• f. Si f(x) = cosch(x), entonces, f'(x) = – cosch(x) cotgh(x)

En virtud de esta proposición y de la regla de la cadena, si u = u(x) es función diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente corolario.

Corolario 1: Si u = u(x) es diferenciable, entonces:

• a. Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)

• b. Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)

• c. Dx (tgh u) = sech⠵. Dx(u)

Circunferencia

• Definición

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro

• Ecuaciones de la circunferencia

• a. Ecuación ordinaria

Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, "r" el radio y C(h,k) el centro. Entonces partiendo de su definición podemos afirmar que

• b. Ecuación canónica

Es un caso particular de la ecuación ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir, el centro es (0,0):

• c. Ecuación general

Para hallar la ecuación general, hay que desarrollar la ecuación ordinaria:

Por ejemplo, para el siguiente gráfico, la ecuación ordinaria de la circunferencia es:

• Ecuación de la tangente

Ejemplo

Ejemplo

En la circunferencia anterior, las ecuaciones de las tangentes de pendiente m = 0,75 son:

y = 0,75x + 7,5

y = 0,75x ( 5

• Longitud del segmento determinado por la tangente trazada desde un punto exterior

• Eje radical

El eje radical de dos circunferencias coplanares y no concéntricas, es el lugar geométrico de todos los puntos de ese plano, desde los cuales las tangentes a ellas, determinan segmentos de igual longitud. Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no concéntricas:

Las distancias del punto P=(7,5/6) a los puntos de tangencia son

• Familia de circunferencias

Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias secantes:

Ejemplo

La ecuación de la recta que contiene a la cuerda común es x = 2.

Raíces irracionales

Si una ecuación entera posee raíces irracionales, éstas pueden determinarse por diversos métodos. Dada una ecuación entera con coeficientes racionales, primeramente aplicaremos el procedimiento dado para obtener las raíces racionales. Es decir, separaremos todas las raíces nulas y/o racionales, y cualquier raíz irracional existente la obtendremos de la ecuación reducida. Si la ecuación reducida es cuadrática, las raíces se obtienen fácilmente por medio de la fórmula correspondiente. Por tanto, en el siguiente estudio supondremos que el grado de la ecuación reducida es igual o mayor que 3.

• Aproximación por interpolación Lineal

En este caso las raíces irracionales vendrán dadas en forma decimal, y el grado de precisión depende del número de cifras decimales obtenidas. Este proceso es, pues, esencialmente, un método de aproximación.

El método de aproximación se llama interpolación lineal. Está fundado en la hipótesis de que un arco pequeño de una curva continua puede sustituirse por un segmento rectilíneo sin introducir un error apreciable. Naturalmente esto es sólo una aproximación, pero tiene la ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la longitud del arco considerado.

Para explicar el método de interpolación lineal vamos a considerar la gráfica de una función polinomial f(x) con coeficientes reales. Sean a y b dos números positivos muy próximos y tales que b > a. Supongamos que f(a) = h > 0, para x = a y que f(b) = -k < 0 para x = b. Entonces f(x) tiene un cero entre a y b. Esto se representa gráficamente en la figura, en donde P(a,h) y Q(b,-k) son dos puntos próximos de la curva. Los puntos A y B son respectivamente los pies de las perpendiculares bajadas de P y Q al eje X. Sea R el punto de intersección de la prolongación de PA con la recta que pasa por Q paralela al eje X. Supongamos ahora que el arco de la curva de la gráfica de f(x) que une P y Q se sustituye por una línea recta, y sea C, entre A y B el punto en que AB corta al eje X. Entonces la abscisa x1 del punto C es un valor aproximado del cero de f(x) situado entre a y b. Este valor de x1 puede calcularse fácilmente. En efecto, de los triángulos semejantes PAC y PRQ obtenemos la relación:

Ya que a, b, h Y k son cantidades conocidas, AC puede calcularse. Añadiendo este valor a a, obtenemos el valor buscado de x1 o sea la primera aproximación de la raíz. Partiendo de esta primera aproximación, podemos repetir el proceso para obtener una segunda aproximación más precisa. El proceso puede repetirse tantas veces como sea necesario hasta obtener el grado de precisión deseado.

Ejemplo

Se desea demostrar que la ecuación

tiene una raíz entre 1 y 2, y se desea calcularla con una cifra decimal.

Solución

Por división sintética encontramos f(1) = 4 y f (2) = -2, lo que comprueba que la ecuación tiene una raíz entre 1 y 2. En seguida trazamos la gráfica correspondiente como se muestra en la siguiente figura (parte a), en la cual se han utilizado las mismas literales que en la figura anterior. Entonces, de la primera relación tenemos

Para asegurar la precisión de la raíz buscada con una cifra decimal, repetimos el proceso para obtener una segunda decimal. Así encontramos f(1.6) = 0.496 y f(1.7) = -0.137, de modo que la ecuación tiene una raíz entre 1.6 y 1.7. La gráfica correspondiente aparece en la parte (b) de la figura anterior, en la cual se han utilizado de nuevo las mismas literales. Aquí RQ = 0.1, AP = 0.496 Y RP = 0.137 + 0.496 = 0.633. Por tanto, por la relación tenemos

Notas

• Debe probarse cuidadosamente cada aproximación para asegurarse de que la raíz cae entre dos valores consecutivos. Esto es especialmente importante en la primera aproximación, ya que allí es donde se considera el arco de mayor longitud y donde, por tanto, se obtiene menor precisión. Así, por ejemplo, en un caso particular, la primera aproximación puede indicar que hay una raíz entre 1.6 y 1.7, pero la sustitución directa puede mostrar que la raíz verdadera está comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3.

• Aunque el método de interpolación lineal nos da cada vez más precisión al tomar aproximaciones sucesivas, es cierto que las operaciones aritméticas necesarias también aumentan considerablemente. Sin embargo, este método tiene la ventaja muy apreciable de que puede utilizarse también para aproximar las raíces irracionales de ecuaciones no algebraicas, es decir, de ecuaciones trascendentes, tales como las ecuaciones trigonométricas y logarítmicas. El trabajo aritmético puede reducirse en cierta medida utilizando tablas de funciones y máquinas calculadoras.

• Aproximación por el Método de Horner

Ahora vamos a calcular las raíces irracionales por medio de un proceso conocido con el nombre de método de aproximación de Horner. Este método sólo es aplicable a las ecuaciones enteras, pero tiene la ventaja de que los cálculos necesarios son más sencillos que los usados en el método de la interpolación lineal. La facilidad de cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente.

El razonamiento fundamental del método de Horner es muy sencillo. Supongamos que una ecuación entera dada f(x) = 0 tiene una raíz irracional que, correcta con 3 cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raíz primeramente veremos que la ecuación dada tiene una raíz entera. Después disminuiremos las raíces de f(x) = 0 en 2 unidades, obteniendo la nueva ecuación f1(x1)= 0 que tiene la raíz 0.124. Entonces hacemos ver que f1(Xl) = 0 tiene una raíz entre 0.1 y 0.2 y disminuimos sus raíces en 0.1, obteniendo una nueva ecuación f2(x2) = 0 que tiene la raíz 0.024. Repitiendo el paso anterior, mostramos que f2(X2) = 0 tiene una raíz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus raíces en 0.02, obteniendo una nueva ecuación f3(x3) = 0 que tiene la raíz 0.004. Continuando este proceso, es posible obtener la raíz con el número de cifras decimales correctas que se desee. Los detalles del método los vamos a explicar en el ejemplo que sigue.

Ejemplo.

Demostrar que la ecuación

tiene una raíz entre 1 y 2, y calcularla con 3 cifras decimales por medio del método de Horner.

Solución

Por división sintética encontramos f(1) = -4 Y f(2) = 17 lo que significa que la ecuación (a) tiene una raíz entre 1 y 2. Ahora disminuimos las raíces de la ecuación en 1.

La ecuación transformada

tiene una raíz entre 0 y 1 que procederemos a determinar entre dos décimas sucesivas. Ya que la raíz de (b) es pequeña, su cubo y cuadrado son aún más pequeños, por lo que, para una primera aproximación, podemos despreciar los términos en x13 y x12, obteniendo así la ecuación modificada 12×1- 4 = 0 que tiene la solución x1 = 0.3+. Ya que esto es sólo una aproximación, debemos probarla en la ecuación (b). Por división sintética encontramos f1(0.3) = 0.347 Y f1(0.2) = -1.272. Por tanto, la ecuación (b) tiene una raíz entre 0.2 y 0.3. A continuación disminuimos las raíces de la ecuación (b) en 0.2. Al efectuar esta operación conviene dejar espacio suficiente para las decimales necesarias, como se indica:

La ecuación transformada:

La ecuación transformada es

Ahora disminuimos las raíces de la ecuación (d) en 0.009. La ecuación transformada es

En este punto, ya que la raíz de (e) es muy pequeña, la solución de la ecuación modificada es suficientemente precisa.

Por: tanto, la raíz buscada es

x = 1 + 0.2 + 0.07 + 0.009 + 0.0004 = 1.2794

y, con precisión de 3 decimales, es 1.279.

Notas

• Por motivos de exposición, la resolución del ejemplo anterior se ha descrito en forma más extensa de lo necesario. En la práctica se puede hallar la solución en forma más breve, mostrando solamente las operaciones de disminución de las raíces y omitiendo las ecuaciones transformadas de cuyos coeficientes ya se dispone.

• Es muy importante probar cada cifra sucesiva de la raíz buscada para asegurarse de que la raíz de cada ecuación transformada está entre dos valores sucesivos.

• Conforme se avanza en la determinación de aproximaciones por el método de Horner, las raíces de las ecuaciones transformadas se hacen más y más pequeñas por lo que las ecuaciones modificadas se hacen más y más precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales adicionales.

• Para hallar una raíz negativa de f(x) = 0 por el método de Horner, se calcula la raíz positiva correspondiente de f (-x) = 0 y se le cambia el signo.

Aplicaciones de la derivada

• Funciones crecientes y decrecientes

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función. Ŭ uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.࠼/font>

• a. Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f"(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f"(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).

iii) Si f"(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b).

• b. Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f"(c) = 0 ó f"(c) no existe.

Para construir la gráfica de una función usando la derivada se recomienda: Hallar f"(x) (la derivada de f), hallar los números críticos, igualando f"(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida); evaluar cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos; localizar los puntos hallados en el paso anterior en el plano cartesiano, determinar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada, es decir, usar el teorema. Dibujar la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

• Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

• Valor máximo (o máximo absoluto) de f: si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b].ө f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

• Valor mínimo o mínimo absoluto de f: si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)/font>

A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

• Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.

• Si f es una función constante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.

Teorema:

Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b]. Para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalo [a,b] se recomienda: hallar los números críticos de f, igualando f"(x) a cero; evaluar cada c en la función para obtener los puntos críticos; hallar f(a) y f(b); determinar los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f.

• Criterio de la Primera Derivada

• a. Definición:

Sea f una función en c:

• i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).

• ii) f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

• b. Teorema:

Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:

i) f"(c) = 0, ó

ii) f"(c) no está definida

Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.

Notas:

1)ࠅl teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimo relativo enx = c, c tiene que ser un número crítico (valor crítico) de f.

2)ࠌos puntos críticos son los únicos en los que pueden aparecer los extremos relativos (máximos y mínimos relativos). Esto significa, que no todo punto crítico va a ser un máximo o mínimo relativo.

• c. Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

• Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

• Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

• Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

• Criterio de la Segunda Derivada

• a. Concavidad

La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo.

Definición:

Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:

• i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f" es creciente en (a,b)

• ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f" es decreciente en (a,b)༯font>

Teorema:

Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:

• i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).

• ii) si f"(x)0, f(c) es un mínimo relativo

  ii) si f"(c)0 entonces x = c es un mínimo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

• ii) si f"(c)<0 entonces x = c es un máximo relativo y la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

• iii) si f"(c) = 0 entonces el criterio de la segunda derivada no aplica, por tanto, se debe utilizar el criterio de la primera derivada.

• Algunos usos en la física, relacionados con la electrónica

Corriente inducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Energía del campo magnético

Para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía.

La inducción electromagnética. Ley de Faraday

La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La inducción electromagnética es el principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, el transformador y muchos otros dispositivos.

Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito en una región en la que hay un campo magnético. Si el flujo a través del circuito varía con el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está variando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de variación del flujo del campo magnético con el tiempo.

Campo magnético

Condensador plano

Fuerza entre las placas de un condensador plano. Se distinguen dos casos, aunque es claro que la fuerza es la misma en ambos.

Carga puntual y plano conductor

Una carga puntual q, a una distancia h frente a un plano conductor infinito, a potencial cero (' a tierra'). El campo eléctrico para esta configuración ya ha sido resuelto po medio del mtodo de las imágenes, ahora queremos calcular la fuerza que el plano ejerce sobre la carga q. Para calcular esto podemos proceder de dos maneras.

En primer lugar, usando la idea de dicho método, la fuerza buscada debe corresponder a la fuerza entre la carga q y su imagen, que obtendremos a partir de la energía potencial de las dos cargas, separadas por la distancia r,

Naturalmente, una vez reconocido el hecho que la fuerza es aquella entre dos cargas puntuales, el resultado anterior es evidente.

Corriente Eléctrica

Una corriente electrica es, simplemente, el movimiento de cargas electricas. Definimos la corriente electrica I, como la carga eléctrica dQ que pasa a traves de una sección de área A de conductor, por unidad de tiempo dt,

La corriente electrica I se mide entonces en coulomb por segundo (ampere) ( 1A= 1Cb/seg). Notemos que, de acuerdo a nuestra definición, tanto los portadores de carga positiva como negativa contribuyen a la corriente en el mismo sentido (del mismo signo).

Inductancia como elemento de circuito

Conectemos una bobina (solenoide) a una fuente de fem continua (ver figura):

Toda bobina real posee resistencia (R) e inductancia propia (L). Es fácil verificar que una inductancia fisica puede ser representada como la combinacion de una resistencia y una inductancia, ambas ideales. Si por el circuito de la figura fluye una corriente I(t), entonces la fem total es

La última relacion nos dice que el comportamiento de la corriente es gobernado por el valor de L, en particular, si L es muy pequeño, la corriente demora un tiempo muy breve en pasar de I=0 a su valor final, el cual es independiente de L.

Bibliografía

• Hasser La Salle: Análisis Matemático I y II

• Leithold Louis: Cálculo con geometría analítica

Autor:

Oscar E. Ramos

Ingeniería Electrónica

Universidad Católica de Santa María

Arequipa, Perú