Elementos básicos de un modelo matemático
Un modelo matemático es producto de la abstracción de un sistema real, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.
Un modelo matemático consta al menos de tres elementos o condiciones básicas: Las Variables de decisión, la Función Objetivo y las Restricciones.
Variables de decisión y parámetros
Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o que se pueden controlar. Las variables de decisión se representan por: X1, X2, X3,…, Xn ó Xi, i = 1, 2, 3,…, n.
Función Objetivo
La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Es la medición de la efectividad del Modelo formulado en función de las variables. Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).
La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor de la Función Objetivo es óptimo (valor máximo o mínimo), para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir, hay que reemplazar las variables obtenidas X1, X2, X3,…, Xn; en la Función Objetivo Z = f (C1X1, C2X2, C3X3,…, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo matemático.
Por ejemplo, si el objetivo es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión, siendo el resultado el menor costo de las soluciones factibles obtenidas.
Restricciones
Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y los recursos disponibles. Las restricciones del modelo limitan el valor de las variables de decisión. Se generan cuando los recursos disponibles son limitados.
En el Modelo se incluye, adicionalmente de las restricciones, la Restricción de No Negatividad de las Variables de decisión, o sea: Xi = 0.
Por ejemplo, si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, el valor de esa variable no puede ser negativo. O también, si una de las variables es la cantidad de mesas a fabricar, su valor solamente podrá ser igual a cero ó mayor que cero, o sea positivo; sería absurdo obtener como resultado que se va a fabricar – 4 mesas.
La programación lineal es la interrelación de los componentes de un sistema, en términos matemáticos, ya sea en forma de ecuaciones o inecuaciones lineales llamado Modelo de Programación Lineal. Es una técnica utilizada para desarrollar modelos matemáticos, diseñada para optimizar el uso de los recursos limitados en una empresa u organización.
El Modelo de Programación Lineal, es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones.
En el presente texto desarrollaremos Modelos Matemáticos de Programación Lineal de: Maximización y Minimización, los cuales estarán indicados en la Función Objetivo del Modelo.
Problemas de aplicación para formular un modelo
1). Proceso de producción.- Una fábrica produce dos tipos de productos: M y N, los costos de producción de ambos productos son $3 para el producto M y $5 para el producto N. El tiempo total de producción está restringido a 500 horas; y los tiempos de producción son de 8 horas/unidad para el producto M y de 4 horas/unidad para el producto N. Formule el Modelo matemático que permita determinar la cantidad de productos M y N a producir, y que optimice el Costo total de producción de los dos productos.
Formulación del Modelo
En la formulación del modelo, podemos ayudarnos con la representación del Problema mediante un organizador gráfico o esquema:
Definición de Variables
Se desea formular un modelo matemático para determinar la cantidad que debe producirse por cada producto (M y N), por lo tanto tendremos dos variables, representados por: x1 , x2.
Siendo: x1 = Cantidad a producirse del producto M,
x2 = Cantidad a producirse del producto N
Función Objetivo
Como se tiene información de Costos de producción de los productos M y N, el objetivo será minimizarlos:
Luego la Función Objetivo será Minimizar "C" igual al Costo total de producción del producto M más el Costo total de producción del producto N.
Matemáticamente la Función Objetivo es:
Definición de Restricciones
El tipo de recurso en el problema es el tiempo (puede ser horas hombre u horas máquina). Formulamos la restricción, colocando en el lado izquierdo de la inecuación el consumo unitario de los productos M y N, y en el lado derecho la cantidad disponible del recurso (500 horas).
Resumiendo tenemos el siguiente Modelo matemático de Programación Lineal del Problema (un modelo con dos variables y una restricción, estando listo para aplicar un método de solución:
2). Líneas de Producción.- Un empresario tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, y quiere fabricar dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y bicicletas de montaña, para venderlas en el mercado a S/. 200 y S/. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el máximo beneficio. Para la bicicleta de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la bicicleta de montaña usará 2 kg de ambos metales. Formular el modelo matemático de programación lineal, que permita determinar la cantidad óptima de bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio económico.
Formulación del Modelo
Representamos el Problema mediante un organizador gráfico o esquema
Definición de Variables:
Se desea determinar la cantidad de bicicletas a producir por cada modelo (paseo y montaña), por lo tanto tendremos dos variables.
Sean: x1 = Cantidad de bicicletas de paseo a fabricar
x2 = Cantidad de bicicletas de montaña a fabricar
Función Objetivo
El objetivo del problema es maximizar los beneficios económicos totales (Z) de los modelos de bicicletas que fabricará el empresario.
Precio de venta de la bicicleta de paseo = S/. 200
Precio de venta de la bicicleta de montaña = S/. 150
Beneficio económico = Precio de venta unitario x cantidad a fabricar
Beneficio económico total de bicicleta de paseo = 200 x1
Beneficio económico total de bicicleta de montaña = 150 x2
Luego la Función objetivo será: Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2
Definición de Restricciones
Elaboramos una tabla de materia prima consumida (Acero y Aluminio) por cada modelo de bicicleta (paseo y montaña) y su disponibilidad:
Modelo de bicicleta | Acero | Aluminio | |
Paseo | 1 kg. | 3 kg. | |
Montaña | 2 kg. | 2 kg. | |
Disponibilidad de materia prima | 80 kg. | 120 kg. | |
Restricción del consumo de Acero en la fabricación de bicicletas:
1 x1 + 2 x2 < 80
Restricción del consumo de Aluminio en la fabricación de bicicletas:
3 x1 + 2 x2 < 120
Observación:
El lado derecho de las restricciones, 80 y 120 representa la disponibilidad en kg. de acero y aluminio respectivamente (materia prima).
El lado izquierdo en las restricciones indica el consumo unitario de materia prima por cada modelo de bicicleta.
Condición de no negatividad: La producción de cada modelo de las bicicletas pueden ser cero (0) o mayor que cero, o sea: x1, x2 = 0
Luego el Modelo matemático de Programación Lineal (con dos variables y dos restricciones) será:
3). Caso de toma de decisiones.- Suponga con los datos del problema 2), anterior, si el empresario por restricción económica decide hacer solo un modelo de bicicleta. ¿Cuál modelo debe elegir? ¿Por qué?
Las alternativas de fabricación se desarrollan en las restricciones del Modelo matemático; y la toma de decisiones se determina evaluando en la Función objetivo las alternativas obtenidas.
La decisión a tomar, por restricción económica, es producir un solo modelo de bicicleta que genere mayor beneficio al empresario. Luego desarrollamos las alternativas evaluando en las restricciones del modelo:
La toma de decisiones se realiza evaluando en la Función objetivo las alternativas de fabricación obtenidas por modelo de bicicleta. A continuación se muestra el procedimiento a realizar.
Toma de decisiones:
Como la Función objetivo es maximizar el beneficio económico, generado por las ventas, tomamos la decisión de fabricar solo bicicletas de paseo, por ser el modelo que va generar mayor ganancia, equivalente a S/. 8,000.
Observación:
Hemos demostrado la importancia de formular un modelo matemático adecuado, ya que un error en la formulación del Modelo, nos puede llevar a tomar una decisión equivocada que puede generar graves consecuencias para la empresa u organización.
Autor:
Humberto Ángel Chávez Milla
INGENIERO INDUSTRIAL
Reg. CIP 27135
Docente Universitario
CHIMBOTE – PERU