Fin de las Geometrías no Euclidianas

Introducción

En este trabajo se presenta el capítulo 8 del libro titulado HACIA UNA MATEMÁTICA SIN CONTRDICCIONES, de mi autoría y registrado en el SAPI (Venezuela) bajo el número 7224. En dicho capítulo se presenta la demostración de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos con base en los cuatro postulados de incidencia; unicidad que siempre ha sido postulada. Se presenta, además, la demostración del postulado de las paralelas como un sencillo teorema de la geometría euclidiana; postulado que se daba por indemostrable con base en los demás axiomas euclidianos.

Lo anterior es la razón del título del trabajo que a continuación se presenta a la consideración se los expertos en el campo de las geometrías.

8.1 Unicidad de la Recta que Pasa por Dos Puntos

Se presentará en esta primera sección de este capítulo la demostración del postulado de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos.

Se supone conocido por el lector todo lo relacionado con rectas, puntos, planos y espacio, así como puntos colineales y coplanarios.

8.1.1 Postulados de Incidencia

Los primeros cuatro postulados que dan nacimiento a toda geometría que trate de rectas y planos en el espacio son los siguientes:

Postulado 1 (de los dos puntos distintos)

Por dos puntos distintos cualesquiera pasa una recta.

Obsérvese que acá no se está postulando la unicidad de dicha recta. Esto es porque la unicidad es demostrable a partir de los demás postulados de incidencia.

Postulado 2 (de la cantidad mínima de puntos)

a) Toda recta contiene al menos dos puntos distintos.

b) El plano contiene al menos tres puntos distintos no colineales.

c) El espacio contiene al menos cuatro puntos distintos no coplanarios.

Postulado 3 (de los tres puntos distintos)

Para cada tres puntos distintos existe al menos un plano que los contiene.

Postulado 4 (de la recta en el plano)

Toda recta que tiene dos de sus puntos en un plano, está contenida totalmente en dicho plano.

Para la demostración de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos sólo se necesitan los siguientes dos teoremas.

8.1.2 Teorema 8.1 (el plano que contiene a r y no a s)

Si dos rectas se intersecan en algún punto (por postulado 1 y postulado 2 parte b, lo hacen), entonces existe al menos un plano que contiene a una pero no a la otra.

Demostración:

Ahora se está en condiciones de demostrar que si dos rectas se intersecan en algún punto, éste es único.

8.1.3 Teorema 8.2 (intersección de dos rectas)

Si dos rectas se intersecan en algún punto, éste es único.

Demostración:

Ahora, como corolario de este teorema 8.2, se tiene

Corolario 8.2.1

La recta que pasa por dos puntos distintos es única.

En efecto, si por dos puntos distintos pasaran dos rectas distintas, éstas se estarían intersecando en dos puntos distintos, lo que contradiría al teorema anterior. Así, la recta que pasa por dos puntos distintos es única. (

8.1.4 Consecuencias del Teorema 8.2

La consecuencia directa del teorema 8.2 es la desaparición de la geometría elíptica como tal; pasando a ser sólo el estudio de las geodésicas de una esfera. Veamos el porqué.

El plano para la geometría elíptica es la esfera y en ésta los grandes círculos son las rectas. Según los postulados de esta geometría, por dos puntos distintos pasa al menos una recta. Además, existen pares de puntos en el plano de dicha geometría por los cuales pasa más de una recta. Estos son los puntos conocidos como antípodas. Sin embargo, en los cinco postulados que dan nacimiento a dicha geometría, están implícitos los cuatro postulados de incidencia; pues sin éstos, es imposible el nacimiento de geometría alguna.

Ahora bien, al demostrarse que por dos puntos distintos no puede pasar más de una recta, entonces esta geometría no es una geometría de líneas rectas, sino la aplicación de la geometría euclidiana, con algunas restricciones, al estudio de las geodésicas de la esfera; que es como se le debe tener.

De esta manera, queda esclarecido el porqué Beltrami y Klein dedujeron que las geometrías no euclidianas eran consistentes si la euclidiana lo era, puesto que dichas geometrías (las no euclidianas) no son más que aplicaciones de aquella.

8.2 El Teorema de las Paralelas

El teorema de las paralelas o quinto postulado de Euclides en su forma de Playfair (físico y matemático escocés) se enuncia así:

"Por un punto exterior a una recta r pasa una única paralela a r".