En la enunciación (sin demostración) de los teoremas a continuación, se supone que el lector conoce todo lo concerniente a paralelismo y perpendicularidad, así como la congruencia de triángulos.
Para el teorema de las paralelas se necesitan los siguientes teoremas preliminares.
8.2.1 Teorema 8.3 (perpendicular no común a dos rectas)
Las demostraciones de todos los teoremas que se enunciarán acá están detalladas en el libro "Los fundamentos de la geometría" (Liberación de la geometría del postulado de las paralelas, registro SAPI # 4923) del autor.
Es fácil probar que el conjunto Cp no finaliza en puntos finitos de r y t, si éstas no se cortan. Por lo tanto, del teorema anterior se puede inferir el otro teorema siguiente.
8.2.2 Teorema 8.4 (rectas sin perpendicular común)
"Sean r, s y t rectas en un plano tales que s es secante a r y a t con s perpendicular a t en B0 pero no perpendicular a r en el punto de corte A0; además, toda perpendicular a r corta a t y toda perpendicular a t corta a r. Entonces, no existe ninguna recta que sea perpendicular tanto a t como a r".
La figura 8.2 ilustra la situación general.
En efecto, si existiera una perpendicular común a r y t, ésta sería diferente a las rectas del conjunto Cp deducido anteriormente. En consecuencia, dicha recta estaría entre las rectas 
y 
y, por tanto, cortaría en un punto Q a la recta 
, la cual también es perpendicular a r en Ai+1. Así, por Q estarían pasando dos perpendiculares a r, lo que sería un absurdo.
Ahora, se definen paralelas cap a dos rectas en un plano paralelas y cortadas ambas perpendicularmente por una secante s. Es fácil determinar que, en dos de tales rectas, cada perpendicular a una corta a la otra. En consecuencia, es fácil probar el siguiente teorema.
8.2.3 Teorema 8.5 (de las perpendiculares comunes)
"En un plano, si r y t son paralelas cap y una recta u es perpendicular a una de ellas, también es perpendicular a la otra".
Este teorema fue el que muchos matemáticos del pasado trataron de probar inútilmente. De haber podido demostrar este teorema, hubiesen demostrado el postulado de las paralelas. La figura 8.3 ilustra la situación general.
En la figura 8.3 se tiene que s corta perpendicularmente a r y t. Por lo tanto, r y t son paralelas cap. La recta u es perpendicular a t en B. Es fácil probar, con base en los teoremas anteriores, que u también es perpendicular a r en A (si no lo fuera, aplique el teorema 8.4).
Demostrados los tres teoremas anteriores también lo está el postulado de las paralelas. Ahora, veamos lo sencillo que es demostrar el teorema de la suma de los tres ángulos internos de un triángulo; con base en el siguiente teorema.
8.2.4 Teorema 8.6 (secante a dos paralelas)
"En un plano, la secante a dos paralelas cap forma con éstas ángulos alternos internos congruentes".
La figura 8.4 ilustra la situación general.
En la figura 8.4 se tiene la secante u. Por el punto medio M de 
pasa una perpendicular a r en C, la cual también corta perpendicularmente a t en D. Así, los triángulos 
son congruentes (congruencia de triángulos rectángulos). En consecuencia, los ángulos alternos internos formados por u en A y B son congruentes. Ahora, se está listo para probar que los tres ángulos internos de un triángulo suman 180º.
8.2.5 Teorema 8.7 (los ángulos internos de un triángulo)
"La suma de la medida de los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a 180º".
La figura 8.5 ilustra la situación general.
El teorema anterior también es equivalente al postulado de las paralelas. Así, queda demostrado que el postulado de las paralelas era dependiente de los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.
8.2.6 Consecuencias del Teorema de las Paralelas
Al igual que el teorema de unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos, el teorema de las paralelas arroja fuera del ámbito matemático a la geometría hiperbólica como geometría de líneas rectas, quedando, al igual que la elíptica, como una aplicación de la geometría euclidiana al estudio de las geodésicas de la seudoesfera. Así, las geometrías no euclidianas llegan a su fin como geometrías de líneas rectas y quedan sólo como aplicaciones de la euclidiana.
8.3 El Verdadero Plano de la Geometría Euclidiana
Se probará en esta sección que el verdadero plano euclidiano es la superficie de una esfera infinita cuyo radio es 
el último número real. Para ello vasta demostrar que dos paralelas cualesquiera se intersecan en el infinito por ambos lados.
8.3.1 Teorema 8.8 (paralelas secantes en el infinito)
Dos paralelas cualesquiera se cortan en el infinito en sus extremos.
Demostración:
Sean r y s dos rectas paralelas cualesquiera. La figura 8.6 ilustra la situación general.
En consecuencia el rayo AP( coincide con r y, como P( está sobre s, entonces r y s se intersecan en el infinito. Como esto también sucede por el lado izquierdo de la recta 
entonces r y s se intersecan por ambos extremos en el infinito. Pero esto sucede para las infinitas paralelas en el plano euclidiano. En consecuencia, dicho plano es la superficie de una esfera de radio 
simboliza al último real).
Ahora bien, siendo el plano euclidiano la superficie de una esfera infinita, entonces el espacio es curvo de curvatura 
Por lo tanto, la teoría de la relatividad se puede fundamentar en la geometría euclidiana, puesto que las rectas euclidianas tienen todas curvaturas diferentes del cero absoluto.
Autor:
Dimas Herrera
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