1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América)
Modelo de Ramsey con progreso tecnológico
En esta nota final al modelo de Ramsey introduciremos el progreso tecnológico exógeno en los modelos de crecimiento, dicho progreso es potenciado del trabajo, este es el nuevo supuesto que se agrega al modelo.
Entonces pasaremos a introducir el progreso tecnológico en 1er Ecuación diferencial kt (n mL f (kt) ct )kt , planteamos nuestra función de utilidad agregada de la sociedad. Máx : dt J 0 n)t ( U(ct).e (Función Objetivo) s.a : kt )kt (n mL f (kt) ct (Ecuación de Movimiento) k(t0) (Condición Inicial) 0: Dado k0 k0 0 f (kt) ct 0 t
Para solucionar el problema se debe cumplir que: n (1 )mL es decir que la función de utilidad este acotada en este caso.
1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano. t )kt (n mL f (kk) ct U(ct).e H(ct,kt, t,t) n).t ( Donde kt : Variable de estado. ct : Variable de control. t: Variable de coestado. mL : Progreso tecnológico.
Condición de Primer Orden (CIO)
2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero. 0 t ct Ut ct H ct
H
2 0 ( 1) ( t n)t .U (ct) e H ct (I) t U (ct) e( n)t Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico
3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo. t H kt t t mL)
) (II) t f (kt) (n
f (kt) (n mL t
4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos: kt H kt kt ) (n mL f (kt) ct ) (III) kt (n mL f (kt) ct Condición de Segundo Orden (CIIO) 0 . ( n)t t U (ct) e 2
c2 >0 x 0< Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.
5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero.
Condición de Transversalidad Esto quiere decir que t Lím tkt 0 t 0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que kt 0 (el stock de capital en el momento que muere).1 0 (1/ ) 1 En la economía de Ramsey se supone que los individuos “fenecen” en el infinito. t Lím t 0 , esto indica que el valor del stock de activasen el ultimo momento del horizonte temporal debe ser cero.
dU (ct) ct
3 ( 1 n) t e Lím t 0 t Lím t g Pmgk g ) (n mL ) De la ecuación (II) tenemos f (kt) (n mL Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos: 1 ln t n)t.lne lnU (ct) ( t ln n)t lnU (cy) ( Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos: dt dt d(ln t) dt d lnU (ct) dt n. ( t
t ct dt . . 1 U (ct) n) ( t
t U (ct).ct . 1 U (ct) n) ( A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador (ct ) t
t 1 ct U (ct). . ct ct . 1 U (ct) n) ( ( ) . ( t
t ct ct n) Donde 1 ct .U (ct). 1 U (ct) : Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.
Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos: . ( (IV) n) t
t ct ct Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV) t
t ct ct . n) ( ) f (kt) (n mL
4 Despejando ct ct , tenemos: ) mL f (kt) ( ct ct (V), La proposición Ramsey – Keynes Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación, la tasa de aumento tecnológico debido a la eficiencia del trabajo y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador. 1 c f (kt) ( ) : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo. 1 (VI) ) ct mL f (kt) ( Así mismo se puede expresar la ecuación como: ct Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)
Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son: 1er Ecuación diferencial: kt )kt (n mL f (kt) ct mL 2da Ecuación diferencial: ct ) ct f (kt) ( 1 0 Encontrando la curva: k De la 1er Ecuación diferencial 0 Si kt )kt (n mL f (kt) ct 0 Entonces ct )kt f (kt) (n mL
5 0 Gráfico Nº 1: Diagrama de fases con progreso tecnológico de k Si nos situamos por encima de la curva kt
de ct irá asociada a una disminución de kt 0, vemos que un pequeño movimiento 0. Dado que la 1er Ecuación diferencial, donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima de la kt 0, el capital decrece kt 0. Denotamos el movimiento de flechas así la izquierda, tal como aparece en el gráfico Nº 1. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece kt .
Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene: 1 0 d kt
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