De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva kt 0, las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la 0, el capital crece kt 0 , en este caso las flechas apuntan hacia la curva kt derecha. 0 Encontrando la curva: c De la 2da ecuación diferencial 0 Si ct ) 0 mL f (kt) ( ct ) ( mL Entonces f (kt) ( mL Pmgk ), Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas
6 0 Gráfico Nº 2: Diagrama de fases con progreso tecnológico de c Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva ct 0, por un aumento de un poquito de kt , Dado que f (kt) es una función creciente, por lo que el valor de c de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo ct 0. Concluimos que a la derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo.
Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a kt 0 . U (ct).f (k) 1 U (ct) d ct dkt Lo que nos dice que a la derecha de ct 0 0 será ct De la misma manera una disminución de kt hará que ct 0 sea positivo. Esto significa que nos encontramos a la izquierda de ct 0, las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico Nº 2, donde las flechas positivas se denota por ct 0. Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el Oro
de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo. mL Para esto de la 2da Ecuación diferencial ct f (kt) ( 1 ) ct, reemplazando el valor de ct 0, con esto 0 mL f (kt) ( ( mL ) , entonces f (kt) ) es el punto de tangencia de la función f (kt) que es estrictamente decreciente, la función f (kt) es estrictamente de creciente y convexa. Al cortarse estas la
modificado óptimo kmod kmod
7 1 tangencia con la función generan un punto que se llama el capital de oro modificado Oro
Oro
En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro 1 Oro A mL . Oro
stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que n y f (kt) es una función decreciente.
Estado de crecimiento proporcionado
El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas ct 0 0 y kt se cruzan.
El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de coordenadas donde ct 0 y kt 0. El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado Oro intersección de kt 0, de la 1er Ecuación diferencial kt (n mL f (kt) ct )kt , reemplazando 0 kt y 0 ct obtenemos el capital Oro que satisface (n mL ) f (k Oro mod )kt , donde este capital esta a la derecha del capital máximo. El tercer punto es en la intersección de kt 0 y k1t en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo.
En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo.2 2 En este el estado proporcionado, la tasa de crecimiento de las variables en términos per cápita es mL .
8 Gráfico Nº 3: El equilibrio en el modelo de Ramsey con progreso tecnológico
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