Relaciones
- Concepto de Relación
- Representación de las Relaciones
- Tipos de Relación y Operaciones
- Propiedades de las Relaciones
- Para los conjuntos A, B Í Á , el producto cartesiano, de A y B se denota con
y se define como
= {(a, b) tales que aÎ A, b Î B}
- Decimos que los elementos de
son pares ordenados.
- Se define que para todo a ΠA  [a] = {y ΠB, a  y}
- Para los conjuntos A, B Í Á , cualquier subconjunto de
es una relación de A en B.
- Cualquier subconjunto de
es una relación binaria en A.
Producto Cartesiano
Definición de Producto Cartesiano
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera , se define producto cartesiano, y se denomina A x B, como el conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto (A) y las segundas componentes pertenecen al conjunto (B).
Conjuntos producto
Un par ordenado (a, b) es una lista de los objetos a y b con un orden prescrito donde a aparece en primer lugar y b en el segundo. Por consiguiente, un par ordenado es únicamente una sucesión de extensión 2. A partir de la explicación previa sobre las sucesiones (véase la sección 1.2). Se tiene que los pares ordenados (a1, b1) y (a2, b2) son iguales si y sólo si a1 = a2 y b1 =b2 Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto o el producto cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados (a, b} donde a £ A y b £ B. Por tanto,
A x B = {(a, b)|a £ A y b £ B]
B r s
A
1 (1,r) (1,s)
2 (2, r) (2, s)
3 (3.r) (3s)
Ejemplo 1 Sea
A ={1,2, 3} y B={r,s}
Entonces
A x B = {(1, r). (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}
Observe que los elementos de A x B se pueden acomodar adecuadamente en un arreglo tabular como lo muestra la figura 1.
Teorema 1 Para cualquier par de conjuntos finitos no vacíos A y B, | A x B | = | A | | B |.
Demostración. Se probará esto por inducción matemática. Sea P{n) la siguiente proposición: Si A y B son conjuntos finitos y | B | = n, entonces | A x B | = | A | |B|.
Paso básico. Se prueba P(1). Sea|A| = my |B| = 1.Por tanto, A = {a1 … an} y B as {fci}, por lo cual
AxB={(a1…b1),…,(am,b1)} y |A x B| = m = m-1 = |A|.|B|
Paso inductivo. Supóngase que P(n) es verdadera para algun n s 1, y sean A y B conjuntos finitos con |A|=m y |B|= n+l.Se dice que A = {a1 … am} y B == {b1, …,bn, bn+1}. Sea C = {b1, …, bn} Entonces, si (a, b) £ A x B, b £ C o b=bn+1. El número de pares (a, b) cuando b £ C es | A x C |, que es igual mn. También, hay m pares (a1, bn+1), (a2, bn+1), …, (am, bn+i) con el segundo elementó igual a bn+1. Entonces el número total de pares en A x B es mn + m, esto es | A x B | = mn + m = m(n + 1) = | A | • |B |, por lo cual P(n + 1) es verdadera.
Si ∏ == a, x1, x2,…, xn,-1,b, ees una trayectoria de longitud n en una relacion de a a b, entonces la trayectoria inversa que se escribe ∏~1.
b) Dominio y codominio
Una relación es un subconjunto R cualquiera de un producto cartesiano A x B, RÌ A x B Una función es una relación F de un producto cartesiano A x B tal que si (a1,b1) (a2,b2)Î F entonces b1 ≠ b2-à a1 ≠ a2 esto es equivalente a decir a1= a2 -à b1=b2. Al conjunto A se le llama dominio de la función F y al conjunto B se le llama codominio o contradominio de la función.
2.-REPRESENTACIÓN DE LAS RELACIONES
Ahora bien, cualquier relación R de un conjunto A a un conjunto B define unívocamente un subconjunto R* de A X B como sigue:
R* – {(a, b) : a está en relación con b} = {(a, b) : a R b}
Por otra parte, cualquier subconjunto R* de A X B define una' relación R de A a B como sigue:
a R b sii (a, b) Î R*
En vista de la correspondencia que hay entre las relaciones fi de A a B y los subconjuntos de A X B, volvemos a definir la relación como sigue:
[Definición] Una relación R de A a B es un subconjunto de A X B.
Diagrama sagital
Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama sagital.
Escriba los elementos de a y los elementos de b en dos discos disyuntos, y luego dibuje una flecha de " a e a " en " b e b" cada vez que a este relacionado con b.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
c) Grafos
Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos.
d) Gráfica cartesiana
Un plano cartesiano se forma por dos rectas que se interceptan perpendicularmente de modo que, cada una de las rectas se asocia a un sistema numérico, donde el punto de intersección es llamado centro u origen del sistema y se le asigna el número 0.
La recta horizontal se llama eje de las abcisas (x), o de las "primeras componentes". A la derecha del cero se ubican convencionalmente valores positivos y a la izquierda valores negativos.
El eje vertical se llama eje de las ordenadas (y) o de las "segundas componentes". Sobre el cero, convencionalmente se ubican los valores positivos y bajo éste los valores negativos.
e) Matrices.
La construcción de arreglos en filas y columnas que cumplen con las reglas de una álgebra, denotados entre ( ), l l o [ ]. (nosotros las representaremos con [ ]). Se construye la matriz aumentada A’, del sistema AX=Y, Esta es la matriz mx(n+1) cuyas primeras n columnas son las de A por X y la última columna es Y.
f) Listas
Una lista es una sucesión ordenada de objetos, se escribe abreviando el paréntesis y anotando los elementos que la conforman separados por comas, y al terminar se cierra el paréntesis. Por ejemplo (1,2,Z) es una lista cuyo primer elemento es el numero 1, su segundo es el numero 2 y su tercer elemento es un conjunto de los enteros.
Es importante señalar que (1,2,3) no es igual que (3,2,1)
Los elementos de una lista pueden estar repetidos (3,3,2).
Una lista de longitud dos tiene un nombre especial: par ordenado.
Una lista de longitud cero se llama lista vacia y se representa ().
Dos listas son iguales siempre y cuando tengan la misma losngitud ylos mismos elementos en las posiciones correspondientes de las dos sean iguales.
Sea R una relación. La inversa de R, representada por R-1, es la relación que se forma invirtiendo el orden de todos los pares ordenados en R.
En símbolos,
R- = {(x,y):(y,x)Î R}.
EJEMPLO
Sea
R= {(1,5), (2, 6), (3, 7), (3, 8)}
Entonces
R-1{(5.1)(6,2),(7,3),(8,3)}
Si R es una relación en A, también lo es R-1. Si R es una relación de A a 5, entonces R-1 es una relación de B a A.
Obsérvese que no tiene sentido escribir 1 /R. Formar la inversa de una Relación tan sólo quiere decir invertir todos los pares ordenados en la relación; no tiene nada que ver con la división. El índice — 1 es una notación cómoda. No hemos definido una operación general de elevar una relación a una potencia.
c) unión de relaciones
Sean A Y B dos conjuntos
La union de A Y B es el conhunto de todos los elementos que estan en A o en B. La union de A y B se indica A U B. en símbolos podemos escribir lo siguiente
A U B = {x; x Î A o x Î B}
d) intersección de relaciones
Sean A y B dos conjuntos de todos los elementos que estan tanto en A como en B. La interseccion de A y B se indica A ∩ B.
La interseccion de A y B
La figura muestra la intersección
e) composición de relaciones
Asi como hay operaciones como + y x, para combinar enteros y las hay para conbinar los conjuntos, como U y ∩ hay una operación natural para combinar relaciones.
Sean los conjuntos A, B y C, y sean F: A -à B y g: Bà C. Entonces la funcion g o f es una funcion de A a C definida por:
(g o f) (a) = g[f(a)
donde a Î A. la funcion g o f se llama composicon de g y f.
4.PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £ A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a £ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A está relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo mismo.
Ejemplo 1
(a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relaciσn de igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexible, ya que (a, a) £ R para todas las x € A.
(c) Sean A = {1, 2, 3}. y Jí = {(1, 1), (1, 2)}. Entonces A es reflexiva ya
(2,2) R y (.3,3) € R. Por otra parte, R no es irreflexiva, ya que (1, l) € R.
(d) Sea A un conjunto no vacio. Sea R = Ǿ A x A, la relación vacía. Enlaces R no es reflexiva, ya que (a, a) € R para todas las a € A (el conjunto vacío tiene elementos). Sin embargo, R es irreflexiva. ^
Es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su matriz con sigue. La matriz de una relación reflexiva deberá tener unos en toda su diagon principal; en cambio, la matriz de una relación irreflexible deberá tener ceros.
De igual manera, es posible caracterizar una relación reflexiva o irreflexiva por su grafo dirigido como sigue. Una relación reflexiva tiene un ciclo de longitud 1. Que cada vértice; en cambio, una relación irreflexiva no tendrá ciclos de longitud 1. De manera útil de decir lo mismo es usar la relación de igualdad Δ en un conjunto A es reflexiva si y sσlo si Δ € R, y es irreflexible si y sσlo si A ∩ R = 0.
Finalmente, se deberá observar que, si R es reflexible en un conjunto A, entonces Dom(R) = Ran(.R) = A.
Relaciones c)simétricas, d)asimétricas y e)antisimétricas
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es antisimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra forma de expresar esta definición es diciendo que R es antisimétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es antisimétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.
Dada una relación R, sé desea determinar qué propiedades se cumplen para R Se tendrá presente la siguiente observación. Una propiedad no se cumple en general si se encuentra una situación en donde la propiedad no se cumpla. Si no hay situación alguna en la que la propiedad no se cumpla, se deberá concluir que la propiedad se cumple siempre.
Ejemplo sea A = Z, el conjunto de los enteros y sea
R=[(a,b)€ A xA | a < b}
ya que R es la relación menor que. ¿Es R simétrica, asimétrica o antisimétrica?
Solución.
simetría. Si a <b, entonces no es verdadero que b < a, por lo cual no es simétrica.
Asimetría. Si a < b, entonces b < a (b no es menor que a), por lo cual R es asimétrica.
Antisimetría. Si a ≠ b, entonces a < b o b < a, por lo cual R es antismétrica.
Ejemplo 3 Sea A el conjunto de las personas y sea
R = {(x, y) e A x A | x es primo de: y}
Entonces R es una relación simétrica
Ejemplo 4 Sea A = {1,2,3,4} y sea
R» {(1,2). (2, 2), (3,4), (4,1)}
Entonces R no es simétrica, ya que(l, 2) e R pero (2, 1) ^ R. Por otra parte, R no es asimétrica, ya que (2, 2) € R. Finalmente R es antisimétrica ya que, si a≠b, (a, b) no € R o (b, a) no € R
Ejemplo 5 Sea A = Z+, el conjunto de los enteros positivos y sea
R={(a, b) €A x A |a divide b}
¿Es R simétrica, asimétrica o antisimétrica?
Solución.
Si a | b, no se sigue que b a, por lo cual R no es simétrica.
Si a = b = 3, por ejemplo, entonces a R b y b R a, por lo cual R no es asimétrica.
Si a | b y b | a, entonces a = b, por lo cual R es antisimétrica.
Es posible caracterizar las propiedades de simetría, asimetría o antisimetría de una relación por las propiedades de su matriz. La matriz m¿{ = [my] de una relación simétrica satisface la propiedad de que
si mij = 1, entonces mji = 1
Además, si mji == 0, entonces mij = 0. Por consiguiente, MR es una matriz tal que todo par de componentes, colocados simétricamente alrededor de la diagonal principal es un par de ceros o de unos. Se sigue que MR = MTR, por lo que MR es una matriz simétrica.
La matriz MR = [mij] de una relación asimétrica R satisface la propiedad que
si mij == 1, entonces mji = 0.
Si R es asimétrica, se sigue que mu =s 0 para todas las i; esto es, la diagonal principal de la matriz MR contiene sólo ceros. Esto tíene que ser verdadero pues la propiedad asimetría implica que, si m,, = 1, entonces m¡¡ = O, lo que es una contradicción. Finalmente, la matriz MR = [miJ]de una relación antisimétrica R satisface propiedad que si i ≠ j, entonces miJ = 0 o miJ = 0. |
Ejemplo 6
Examine las matrices en la figura 1, donde cada una es la matriz de una relación como esté indicado. Las relaciones R1 y R2 son simétricas ya que sus matrices Mr1 Y mr2 son matrices simétricas. La relación R3 es antisimétrica, pues no hay posiciones simétricas dispuestas, fuera de la diagonal de mr3 que contengan un uno. Estas posiciones pudiera tener ceros, y en la diagonal los elementos son irrestrictos. La relación R3 no es asimétrica porque MR3 tiene unos en la diagonal. La relación R4 no tiene ninguna de las tres propiedades; Mr4 no es simétrica La presencia del uno en la posición 4, 1 de Mr4 viola las dos propiedades de asimetría y antisimetria. Finalmente, R3 es antisimétrica pero no asimétrica, y R6 es a la vez asimétrica y antisimétrica.
1 1 1 0 1 1 0
0 0 1 = MR11 1 0 0 = MR2
1 1 1 (a) 1 0 1 1 (b)
0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 = MR3 0 0 1 0 = Mr4
0 0 0 (c) 0 0 0 1 (d)
1 0 0 0
1 0 0 1
0 1 1 1 = MR5 0 1 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 = MR6
0 0 0 1 (e) 0 0 0 1 (f)
0 0 0 0
Figura 1
Ahora se explicarán los grafos dirigidos de estos tres tipos de relaciones. Si R es una relación asimétrica, entonces el grafo dirigido no puede tener simultanéame una arista del vértice i al vértice j y una arista del vértice j al vértice i. Esto es verdadero para cualquier i y j y en particular si i = j, por lo cual no puede haber ciclos de longitud 1.
Si R es una relación antisimétrica, entonces para vértices i yj distintos no puede haber una arista del vértice i al vértice j y una arista del vértice j al vértice i. Cuando i = j, no se impone condición alguna, por lo cual podrán existir ciclos de longitud Se examinará el grafo dirigido de las relaciones simétricas con mayor detalle El grafo dirigido de una relación simétrica R tiene la propiedad de que, si existe una arista del vértice j al vértice i, entonces existe una arista del vértice j al vértice i.
Por consiguiente, si dos vértices están conectados por una arista, deberán siemípre estar conectados en ambas direcciones. Por esto, es posible y muy útil dar una representación diferente de una relación simétrica. Se mantienen los vértices como aparecen en un grafo dirigido, pero si los vértices a y b están conectados por aristas en cada dirección, se remplazarán éstas con una sola arista no dirigida. Esta arista no dirigida es sólo una línea sin las flechas y conecta a y b. Al diagrama resultante se llamará grafo de la relación simétrica.
Ejemplo 7 Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c, a), (a,c)}
El grafo dirigido de R se muestra en la figura 2(a), mientras que en la figura
Grafo dirigido de R Grafo dirigido de R
Aparece el grado de R. Obsérvese que cada arista no dirigida corresponde a dos pares ordenados en la relación R.
Una arista no dirigida entre a y b, en el grafo de la relación simétrica R, corresponde al conjunto {a, b} tal que (a, b) € R y (b, a) € R. Algunas veces también se referirá a este conjunto {a, b} como una arista no dirigida de la relación R.
A una relación simétrica R en un conjunto A se le llamará conexa si existe una trayectoria de cualquier elemento de A a cualquier otro elemento de A. Esto signifíca sencillamente que el grafo de R está todo en una pieza. En la figura 3 se muestran los grafos de dos relaciones simétricas. El grafo de la figura 3(a) está conectado mientras que el de la figura 3(b) no lo está.
(a) (b)
f) Relaciones transitivas
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Ejemplo 8 Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relación considerada en el ejemplo 2 Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c. Por consiguiente, a < b; b < c. Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aquí que R sea transitiva
Ejemplo 9 Sea A = Z+ y sea R la relación considerada en el ejemplo 5. ¿Es R transitiva?
Solución. Supóngase que a R b y b R c, ya que a b y b c, entonces se sigue que a|c. [Véase la sección 1.7, teorema 2, parte (c)]. Por consiguiente, R es transitiva.
Ejemplo 10 Sea A ={l,2, 3,4} y sea
R ={(1,2), (I, 3), (4, 2)}
¿Es R transitiva?
Solución. Ya que no es posible encontrar elementos a. b y c en A tal que a R b y b R c, se concluye que R es transitiva.
Es posible caracterizar la relación transitiva por su matriz MR = [mij] así:
si mij =1 y mjk = 1, entonces mik = 1
Para ver qué significa transitividad en términos del grafo dirigido de una relación, se traducirá esta definición a términos geométricos.
Si se examinan los vértices particulares a y c, las condiciones a R b y b R c
ocurrirán si y sólo si existe una trayectoria de longitud 2 de a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es posible replantear la definición de transitividad como sigue: Si a R2 c, entonces a R c, esto es, R2 £ R (como un subconjunto de A x A).
Es posible generalizar un poco esta característica geométrica de la transitividad en los términos siguientes:
Teorema 1 Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al vértice b, hay una trayectoria de extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada con b). Establecido algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1.
g) Relaciones Equivalentes
A una relación R sobre un conjunto A se le llama relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo 11 Sea A el con junto de todos los triángulos en un plano y sea R la relación en A definida como sigue:
R = {(a, b) € A x A | a es congruente con b}
Es fácil ver que R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 12 Sea A = {1,2, 3,4} y sea
R = {(1, 1). (1. 2), (2, 1), (2.'2), (3, 4), (4, 3), (3. 3). (4, 4)}
Es fácil de verificar que R es una relación de equivalencia.
R={(a,b) € A x A | a≤b}
¿Es R una relación de equivalencia?
Solución. Ya que a ≤ a, R es reflexiva. Si a ≤ b, no necesariamente se sigue que b ≥ a, por lo cual R no es simétrica. A propósito, R es transitiva, ya que a ≤ b y implica que a ≤ c . Se ve que R no es una relación de equivalencia.
Ejemplo 14 Sea A = Z y sea
R = {(a, b) e A x A |2 divide a – b}
Se escribirá a R b como
a ≡ b (mod 2) „
y se leerá "a es congruente con b módulo 2". Demuestre que la congruencia modulo 2 es una relación de equivalencia.
Solución. Primero,
a≡a (mod 2)
ya que 2 |(a-a).
Segundo, si a ≡ b (mod 2), entonces 2|{a-b), o a – b = para alguna K € Z. Entonces '
b – a =2(-K)
por lo cual 2 |(b – a) -y b≡a (mod 2).
Finalmente, supóngase que a ≡ b (mod 2) y b ≡ c (mod 2). Entonces 2| (a – b) por lo cual
a – b=2k1
donde k1 € Z. También, 2| (b — c), por lo cual
b – c == 2k2
donde k2 € Z. Sumando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene
a – c = 2(k1 + k2)
por lo cual 2| (a-c), lo que significa que
a =c (mod 2)
De aquí que la congruencia módulo 2 sea una relación de equivalencia.
Ejemplo 15 Sea A = Z y sea n € Z+. Se generalizará la relación definida en al ejemplo 14 como sigue. Sea
R = {(a, b) € A x A | n divide a – b}
y se escribirá a R b como
a ≡ b (mod n)
léase "a es congruente con b módulo n". Al proceder exactamente como en el ejemplo 14, se podrá demostrar que la congruencia módulo n es una relación de equivalencia.
Relaciones de equivalencia y particiones
Ahora se demostrará que una relación de equivalencia sobre un conjunto produce una participación de él, y recíprocamente, una partición de un conjunto determina una relación de equivalencia sobre éste.
Sea R una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Si a e A, entonces
[a]={x € A | x R a}
se llama clase de equivalencia de a.
Obsérvese que la clase de equivalencia [a] nunca es vacía, ya que la propiedad reflexiva de R implica que a € [a].
Ejemplo 16 Sea R la relación de equivalencia definida en el ejemplo 12. Entonces
[1]={1,2} y [2] ={1,2}
ya que
(1. !),(1, 2), (2,1), y (2,2) € R
Diego Mendoza Salas
Instituto Tecnológico de Culiacán