Regla de L'hôpital

Teorema 1.

Suponga que las funciones f y g son diferenciables en una vecindad perforada del punto a y que g’(x) es distinta de cero en esa vecindad

Supongamos también que:

Lim f(x) = 0 = lim g(x)

x à a x à a

entonces

lim f(x) = lim f’ (x)

x à a g(x) x à a g’ (x)

Siempre que el límite exista del lado derecho (como número real finito) o sea +¥ ó -¥

Teorema 2:

Supongamos que las funciones f y g son diferenciables en x = 1, que:

F(a) = 0 = g(a)

Y que

g’(a) ¹ 0, entonces

lim f(x) = f’(a)

xà a g(x) g’(a)

Demostración de la regla de L’Hôpital

Supongamos que las funciones f y g del teorema 1 no solamente son diferenciables, sino también que tienen derivadas continuas cerca de x = a y que g’(a) ¹ 0. entonces:

lim f’ (x)

lim f’ (x) = xà a = f’ (a)

xà a g’(x) lim g’ (x) g’(a)

xà a

Por la ley de límites de cocientes. En este caso la Regla de L’Hôpital en la ecuación (2) se reduce al límite.

Lim f(x) = lim f’(a)

xà a g(x) xà a g’(a)

que es una forma débil de la regla. En realidad esta forma débil es la que se aplica por lo general en las aplicaciones con un solo paso de la Regla de L’Hôpital.

Regla de L’Hôpital y formas Indeterminadas:

Forma Indeterminada 0/0:

Lim f(x) = 0 = lim g(x); entonces

xà a xà a

decimos que el cociente f(x) / g(x) tiene forma indeterminada 0/0 en x = a.

Forma Indeterminada (¥ ):

La regla de L’Hôpital, tiene muchas variantes. Además el hecho de que el límite puede ser infinito, el número real a en la Regla de L’Hôpital, puede ser reemplazada por +¥ o por -¥ .

Forma indeterminada (0.¥ )

En estas formas, la regla de L’ Hôpital no se puede aplicar directamente a ella, es posible convertirla a la forma 0/0 o en la forma ¥ /¥ . En tal caso se puede aplicar la regla:

lim f(x) = 0 y lim g(x) = ¥

xà a xà a.

Decimos que el producto f(x) * g(x) tiene forma indeterminada 0. ¥ , en x = a.

Forma indeterminada 00, ¥ 0,1¥ :

Y = [f(x)]g(x), Al determinar los límites de una cantidad donde los límites de f y g cuando x à a, se obtiene una de estas formas, 00, ¥ 0,1¥ . Continuación se presentan cuatro pasos para determinarlos:

Sea Y = [f(x)]g(x)
Calcular el logaritmo natural ln Y = ln([f(x)]g(x)) = g(x)lnf(x)
Evaluar L = lim ln Y

xà a

d) Concluya que limxà a [f(x)]g(x) = eL, función exponencial continua.

Ejercicios:

1º) Determinar el

Solución:

= (forma indeterminada ¥ /¥ )

Nota: la regla de L’Hôpital permite que el resultado final sea un límite infinito.

2º) Determine el

3º) Determinar

(forma 0/0)

(todavía 0/0)

4º) Evaluar el límite, si existe

Solución:

aplicación de la regla de L’Hôpital

ya que =

5º) Determinar el límite, si existe

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Teorema A:

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b) entonces existe al medo un número C en (a, b) tal que:

lo cual equivale a: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Teorema B:

Si F’(x) = G’(x) para todo x de (a, b), existe una constante C tal que F(x) = G(x) + C, para todo x en (a,b)

Uso del Teorema

El primer teorema relaciona si una función es creciente o decreciente con el signo de su derivada, ver Fig.(1)

El lenguaje geométrico de valor medio, dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical, en todo punto comprendido entre A, y B, entonces hay por lo menos un punto C de la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB, como lo muestra la Fig. 1.

Demostración del Teorema del Valor Medio:

Nuestra demostración descansa en el análisis de la función:

S(x) = f(x) – g(x) representada en la Fig. 2.

Aquí, Y = g(x), que es la ecuación de la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)), puesto que esta recta tiene como pendiente:

y pasa por (a, f(a)), la forma punto pendiente de su ecuación es:

Produciendo una fórmula para S(x),

Notándose de inmediato que S(b) = S(a) = 0, para todo x de (a, b)

Observación: si supiésemos que hay un número C en (a,b) que satisface S’( c ) = 0, tendríamos la demostración, porque la última ecuación sería:

lo cual equivale a la conclusión del teorema.

Ejercicios:

1º) Sea f(x) = X3 – X2 – X + 1 en el intervalo [-1,2], encuentre todos los números que satisfacen la conclusión del teorema de valor medio.

Solución:

F(x) = X3 – X2 – X + 1

f’(x) = 3X2 – X + 1

Fórmula cuadrática:

3c2 – 2c – 1 = 1 equivale a

3c2 – 2c – 2 = 0

c1 = -0.55

c2 = 1,22 y ambos números están en el intervalo (-1, 2).

2º) Si f’(x) = 2 · Cos(x) y f(0) = 5 ¿cuál es la función f(x)?

Una función explícita con derivada 2·Cos(x) es

g(x) = 2·Sen(x)

f(x) = g(x) + K = 2·Sen(x) + K, en cualquier intervalo dado [a, b] que contenga el cero. Determinado el valor K, si sustituimos x = 0

f(x) = 2·Sen(0) + K Þ

= 2 · 0 + K

despejando a K; K = 5

y así la función f es : f(x) = 2 · Sen (x) + 5

3º) Sea f(x) = X2/3 en el intervalo [-8 , 27], demuestre que el teorema del valor medio falla y descubra por que:

Solución:

, no está en el intervalo (-8, 27).

4º) Dada la función y a = 1, b = 3

Solución: f(1) = 0 y f(3) = 0

No satisface la hipótesis de valor medio, pues la raíz es negativa, no existe.

5º) Sabiendo que y a = 1 y b = 2

TEOREMA DE ROLLE

Teorema de Rolle:

Supongamos que la función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable en su interior (a, b). Si f(a) = 0, entonces existe un número C en (a, b) tal que f’(c) = 0.

Demostración del Teorema de Rolle

Como f es continua en [a, b], debe alcanzar sus valores máximos y mínimos en [a, b] (por propiedad de valor máximo). Si f tiene valores positivos, consideremos su valor máximo, f( c).

Ahora C, no es un intervalo extremo de [a, b], pues un punto f(a) = 0 y f(b) = 0. por o tanto, C es un punto de (a,b). Pero sabemos que f es diferenciable en C, f(c) = 0.

Si f tiene valores negativos, podemos considerar su valor mínimo f’( c) y concluir que f’( c) = 0.

Si f no tiene valores ni negativos ni positivos, entonces f se anula idénticamente en [a, b], por lo que f’( c) = 0, para toda C en (a,b).

Ejercicios:

1º) Suponga que en [0, 1], determine un número C que llegue a la conclusión del teorema de Rolle.

Solución.

F es continua en [0,1] y derivable en (0,1), como está presente el término x1/2, f no es derivable en x = 0.

f(0) = 0, f(1) = 0.

f’( c) = 0 para C = 1/3

2º) Hallar 2 intersecciones con el eje x de la gráfica de f(x) = X2 – 3X + 2, y probar que f(x) = 0, en algún punto entre ellos

Solución:

2x = 3 è x = 3/2

f(1) = 0

f(2) = 0

3/2 está en el intervalo abierto (1,2).

3º) Dada la función f(x) = 4×3 – 9x, verificar si se cumple el teorema de Rolle en el intervalo [-3/2, 0]

f’(x) = 12X2 – 9

f’(x) existe para todos los valores de x, es diferenciable en (-¥ ; +¥ ), es decir, si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle.

4º) Suponga que f(x) = 1 – x2/3 en [-1, 1].

Solución:

f’(0) no existe

f’(x) ¹ 0 para x ¹ 0.

la gráfica tiene una recta tangente vertical, y no horizontal.

5º) Dada la función f(x) = X4 – 2X2 en los intervalos (-2, 2) en los que f’( c) = 0.

Solución:

Como f(-2) = 8 = f(2), podemos decir que al menos un C en (-2, 2) tal que f’( c) = 0.

x = 0, 1, -1

En el intervalo (-2, 2) la derivada es nula en tres valores distintos de x.

BIBLIOGRAFÍA

EDWARDS, Penney. Cálculo con Geometría Analítica. Ediciones Prentice Hall. 4ª edición.
LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Ediciones ECCGA. 6ª edición.
PURCELL, VARBERG, Cálculo Diferencial e Integral. Ediciones PRENTICE HALL, 6ª edición.

Documento cedido por:

JORGE L. CASTILLO T.