1.3.- Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica FLUJO DE ENTRADA Y FLUJO DESARROLLADO. 1.3.1.- FLUJO LAMINAR DESARROLLADO: Cuando se consideran los flujos internos el interés se concentra principalmente en los flujos desarrollados en tuberías. Se dice que un flujo laminar desarrollado se presenta en el interior de una tubería cuando el PERFIL de velocidad NO CAMBIA en la dirección del flujo. La figura nos muestra un flujo laminar desde la entrada a la tubería y donde se tiene un flujo completamente uniforme (no cambia el perfil de velocidad con la sección en 1) hasta la sección 3 ( a una distancia LE de la entrada) y donde YA tenemos un flujo laminar COMPLETAMENTE DESARROLLADO, existiendo entre estas dos secciones una zona de transición definida en el esquema mostrado en la sección 2. El flujo tiene una velocidad UNIFORME U en la sección 1 de entrada a la tubería y en esta sección existe una delgada capa viscosa en la pared del tubo y en la zona de entrada y debido a la condición de NO deslizamiento, la velocidad del fluido en contacto con la pared es cero a lo largo de TODO el tramo de tubería. La capa viscosa crece a lo largo del núcleo INVISCIDO Li (sin viscosidad) debido a la fuerza de corte RETARDADORA que ejerce la superficie sólida de la pared del tubo sobre el flujo hasta que los esfuerzos viscosos dominan TODA la sección transversal. 1
zona Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica En secciones sucesivas a lo largo de la tubería en esta sección de entrada Li , el efecto de la viscosidad y la superficie sólida se siente cada vez mas lejos dentro del flujo. Para flujo incompresible, la ecuación de conservación de la masa requiere que la velocidad en la línea central de la tubería sea MAXIMA y que esta aumente con la distancia a partir de la entrada. La velocidad promedio en cualquier sección de la tubería U, debe ser igual a Uo, que es la velocidad uniforme en la entrada y tenemos que: U = 1/A ?A u dA ; U = Uo Suficientemente lejos de la entrada de la tubería (hasta Li), la capa limite que se desarrolla en la pared de la tubería alcanza la línea central de la misma y el flujo se vuelve ENTERAMENTE VISCOSO. Luego el perfil de velocidades va cambiando en la de DESARROLLO, a causa de los efectos viscosos, hasta que logra transformarse en un perfil COMPLETAMENTE DESARROLLADO (distancia LE) y de ahí en adelante el perfil se mantiene inalterable si el flujo es estable. La longitud del núcleo inviscido es de un cuarto a un tercio de la LONGITUD de ENTRADA (LE). 2
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Para un flujo laminar circulando por una tubería circular y con un perfil UNIFORME en la entrada, la longitud de entrada (LE) esta dada por: LE/D = 0.065 Re ; Re = UD/? D = Diámetro tubería; U = Velocidad promedio; ? = Viscosidad cinemática El flujo laminar en una tubería solo puede esperarse para Re < 2300. Para esta situacion la longitud de entrada para flujo laminar en tuberias puede llegar a ser: LE = 0.065 Re D = 0.06 (2300) D = 138 D Para un flujo laminar en un canal de alta relacion de aspecto(ancho dividido por la altura) con un perfil uniforme a la entrada, LE es: LE/h = 0.04 Re ; Re = U h/? h = Profundidad del canal; U = Velocidad promedio; ? = Viscosidad cinemática La longitud del nucleo inviscido es aproximadamente un tercio de la longitud de entrada. No puede existir flujo laminar por encima de Re = 7700. 3
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica DESARROLLO EN FLUJO LAMINAR: 4
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1 1-2 2-3 3- 8 ? ? ? ? Entrada (Flujo uniforme pues existe capa viscosa delgada en la pared). La capa limite de pared viscosa CRECE a lo largo de la longitud de centro NO VISCOSA (Li) hasta que los esfuerzos viscosos DOMINAN toda la sección transversal del flujo. El perfil de velocidades SIGUE cambiando en la región de DESARROLLO (Ld) a causa de los efectos viscosos. El perfil de velocidades SIGUE cambiando en la región de DESARROLLO (Ld) a causa de los efectos viscosos. 5
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1.3.2.- FLUJO TURBULENTO DESARROLLADO: Para flujo turbulento por una tubería la situación es un poco diferente y vemos lo que sucede con el perfil de velocidades entre la entrada y en la zona de desarrollo en la figura mas abajo. La mezcla creciente entre las capas de fluido, debido a la turbulencia, provoca el CRECIMIENTO mas rápido de la capa limite. El núcleo inviscido también existe y va seguido de la región de desarrollo del perfil de velocidades, el cual termina cuando x = Ld, sin embargo se requiere de una longitud adicional para que se desarrolle la estructura detallada del flujo turbulento. Los experimentos muestran que el perfil de velocidad media se vuelve COMPLETAMENTE desarrollado dentro de 25 a 40 diámetros de tubería desde la entrada. La estructura detallada es importante en ciertos cálculos de transferencia de calor por la pared del tubo 6
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica El núcleo inviscido existe y va seguido de la región de desarrollo del perfil de velocidad igual que en el caso laminar. Esta región termina cuando x = Ld y después comienza la zona de flujo turbulento completamente desarrollado, requiriéndose para esto una longitud adicional para obtener el desarrollo. Para un flujo con numero de Reynolds alto ( Re > 105 ) por una tuberia y donde las turbulencias se inician cerca de x = 0, tenemos que se cumple: Li / D ˜ 10; Ld / D ˜ 10 ; LE / D ˜ 10 Para flujos con Re = 4000, las longitudes de desarrollo serán mayores (aproximadamente por cinco), y esto es así pues con Re bajos, la transición a flujo turbulento ocurre en la región de desarrollo del perfil, pues una gran parte de la región de entrada es laminar con un cortante en la pared relativamente bajo. En la figura, se observa el desarrollo del perfil de velocidad en flujo de un fluido turbulento por una tubería. 7
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica DESARROLLO EN FLUJO TURBULENTO 8
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1- 2? La capa limite de pared viscosa CRECE a lo largo de la longitud de centro NO VISCOSA (Li) hasta que los esfuerzos viscosos DOMINAN toda la sección transversal del flujo. 2- 3? El perfil de velocidades SIGUE cambiando en la región de DESARROLLO (Ld) a causa de los efectos viscosos, y x = Ld. 3- 4? Distancia ADICIONAL, para que el perfil NO cambie x = LE Para esta región la ecuación del perfil de velocidades es: U(y) = Umax (y / Ro)1/n 5 < n < 10 Li / D ˜ 10 ; Ld/D ˜ 40 ; LE/D ˜ 120 9
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica En la figura mas abajo se muestra la variación de presión en función de x desde la entrada a la tubería y se puede observar que a una distancia x mas o menos alejada de la entrada , la presión disminuye linealmente con x. Si la transición a flujo turbulento ocurre cerca del origen (altos Re), la transición se inicia cerca de Li y el gradiente de presión, (pendiente) en la región de entrada es mayor que en la zona de flujo desarrollado. Si la transición ocurre cerca de Ld (Re bajos), la variación lineal comienza al final del proceso de transición y el gradiente de presión en la región de entrada es menor que el del flujo desarrollado. Para un flujo laminar la variación de la presión se parece cualitativamente a la asociada con grandes Re y el gradiente es mayor a la del flujo desarrollado a causa del MAYOR esfuerzo cortante en la pared y el flujo de cantidad lineal de movimiento creciente. 10
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica VARIACION DE LA PRESION EN FLUJO DE TUBERIAS HORIZONTAL PARA FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO. 11
• Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1.4.- FLUJO LAMINAR ENTRE PLACAS PARALELAS (FLUJO DE POISEUILLE). Consideraremos el flujo laminar completamente desarrollado de un fluido continuo incompresible entre placas paralelas infinitas y ambas placas fijas (estacionarias) y el fluido moviéndose a causa de un gradiente de presión en forma estable y uniforme por las mismas y bajo un régimen laminar. Sean dos laminas paralelas e infinitas, colocadas horizontalmente y entre las cuales fluye un liquido viscoso incompresible de densidad ? y viscosidad dinámica µ. Se supone que las placas son infinitas y que existe un gradiente de presión NO NULO, que mantiene al fluido en flujo permanente y estable y el régimen es LAMINAR. Se postula, en consecuencia, que el fluido se mueve paralelamente a las dos laminas. Las ecuaciones funcionales fundamentales serán: Campo cinemática general: u = ( ux ; uy ; uz ) = ux i + uy j + uz k 12
• ( x Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica ux = ux ( x , y, z, t ) ; uy = uy ( x , y, z, t ) ; uz = uz ( x , y, z, t ) Las ecuaciones DINAMICAS del fluido se representan por las ecuaciones de NAVIER-STOKES (Ecuaciones dinámicas de un fluido Newtoniano) y cuya expresión vectorial y componentes son: a = – 1/? p + G + ? 2u + 1/3 ? • u ) ax = -1/? dp/dx + Gx + ? 2u + 1/3 ? dT/dx ay = -1/? dp/dy + Gy + ? az = -1/? dp/dz + Gz + ? 2uy + 1/3 ? dT/dy 2uz + 1/3 ? dT/dz 13
• • Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica El termino T es: . T = e xx + e yy + e zz = ?• u = dux / dx + duy / dy + duz / dz Sabemos además que la ecuación de continuidad (Conservación de la masa ) es: d?/ dt = d?/ dt + ?• (?u) ( ? = ? (x , y , z , t)) Si el fluido es Incompresible ? d?/ dt = 0 (? = constante) Si el flujo es PERMANENTE en el tiempo ? d?/ dt = 0. Por lo tanto la ecuación de continuidad para un fluido incompresible, permanente y uniforme es: ? ?• u = 0 ? ? • u = 0 14
• u • Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica La aceleración del fluido producida por el gradiente de presión expresada en forma vectorial (derivada sustancial del vector velocidad en el tiempo) es: a = du / dt = d u / d t + u • Las componentes en coordenadas cartesianas serán: ax = dux / dt = dux/dt + uxdux/dx + uydux/dy + uzdux/dz ay = duy / dt = duy/dt + uxduy/dx + uyduy/dy + uzduy/dz az = duz / dt = duz/dt + uxduz/dx + uyduz/dy + uzduz/dz Las componentes generalizadas de las fuerzas de campo (gravitatorias) son: G = G ( Gx , Gy , Gz ) 15
1. 2. 3. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Todas estas ecuaciones debemos adaptarlas al problema planteado y asi tener el modelo matematico de dicho problema. La condicion de frontera entre liquido y pared solida de las placas esta definida por la condicion de NO DESLIZAMIENTO en la pared debido a las fuerzas de corte viscosas: y = 0 ? ux = 0 ; y = b ? ux = 0 Para el modelo sugerido en este problema tenemos que las condiciones cinemáticas son: ux = ux (x , y) ; uy = 0 ; uz = 0 La ecuación de continuidad aplicada a este problema nos indica que: ? • u = dux / dx + duy / dy + duz / dz = 0 Como uy = 0 ; uz = 0 ? dux / dx = 0 ? ux = ux (x ) Flujo TOTALMENTE desarrollado en la direccion x 16
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica FLUJO ENTRE PLACAS PARALELAS 17
5. 2u 6. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Ecuaciones del movimiento (Navier-Stokes): a = – 1/? p + G + ? ax = dux/dt = dux/dt + uxdux/dx + uydux/dy + uzdux/dz = -1/? dp/dx + Gx + ? ay = duy/dt = duy/dt + uxduy/dx + uyduy/dy + uzduy/dz = -1/? dp/dy + Gy + ? az = duz/dt = duz/dt + uxduz/dx + uyduz/dy + uzduz/dz = -1/? dp/dz + Gz + ? Campo de fuerzas gravitacionales: Gx , Gy , Gz 2u 2u 2u x y z Gx = 0 ; Gy = -g ; Gz = 0 18
7. 1) 3) 8. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Las ecuaciones de Navier-Stokes quedan finalmente como: 0 = -1/? dp/dx + ? d2ux/ dy2 2) 0 = -1/? dp/dy – g 0 = -1/? dp/dz ? dp/dz = 0 ? p = p (x,y) Derivando las ecuaciones 1) ; 2) y 3) respecto a x tenemos que: 0 = -1/? d/dx (dp/dx) 0 = -1/? d2p/ dx dy = -1/?d/dy (dp/dx) ? dp/dx = Constante 0 = -1/? d2p/ dx dz = -1/?d/dz (dp/dx) 19
9. 10. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Se puede escribir por lo tanto que: dp/dx = -K (K > 0) Esta ecuacion nos indica que la presion DISMINUYE en la direccion del movimiento y la causa es debido a las fuerzas disipativas viscosas. De la ecuacion 1) tenemos que: ? d2ux/ dy2 = 1/? dp/dx ( se cambia d por d pues es unidimensional) d2ux/ dy2 = 1/ (??) dp/dx = 1/µ dp/dx = – K / µ d/ dy (dux/dy) = – K / µ ? ?d(dux/dy) = – ?K/µ dy ? dux/dy = – K/µ y + C1 ?dux = – ? (K/µ)y dy + ? C1y ? ux = – (K/µ)y2/2 + C1y + C2 20
12. 13. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 11. Condiciones de frontera: y = 0 ? ux = 0 ; y = b ? ux = 0 y = 0 ? ux = 0 ? C2 = 0 ? 0 = – (K/µ)b2/2 + C1b ? C1 = Kb / (2µ) El campo de velocidades (distribución de velocidades) será: ux = K/ (2µ) [ by – y2] (distribucion parabolica) ux (max.) si y = b/2 ? ux (max.) = Kb2/(8µ) En las paredes; ux = 0 (condicion de No deslizamiento) Caudal o flujo Volumetrivo (Q) Q = ?b u • dA = ?b ux dy = (1/12) Kb3/µ K = – dp/dx = – ?p / L y ?p = p2 – p1 ? ?p < 0 ? K = ?p/L Q = (1/12) Kb3/µ = (1/12) ?p/L b3/µ (caudal es función de ?p) 21
14. 16. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Distribucion de esfuerzos cortantes. ? xy = µ [ d uy / dx + d ux / dy] = µ dux / dy ? xy = µ d/dy [ K/(2µ) (by – y2)] = K/2 [ b – 2y] 15. Condiciones de frontera. y = 0 = b ? ? max. ? ? xy max = Kb/2 = – Kb/2 ; si y = b/2 ? ? xy = 0 DISTRIBUCION DE ESFUERZOS DE CORTE Y VELOCIDADES. 22
17. 18. f) Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Disipacion de energia por unidad de tiempo (Potencia disipada) dW = ? dux/dy dV = (µ dux/dy) dux/dy dV = µ (dux/dy)2dV dW /dV = µ (dux/dy)2 = µ d/dy[K/(2µ) (by – y2)]2 = K2/(4µ) (b – 2y)2 a) Las ecuaciones del movimiento junto a la ecuacion de conservacion de la masa nos dan: Campo de velocidades; campo de presiones; caudal volumico; distribucion de los esfuerzos de corte. b) La velocidad maxima ocurre en el centro de la tuberia y esta es proporcional al gradiente de presion y al cuadrado de la separacion entre placas e inversamente proporcional a la viscosidad dinamica del fluido. c) El caudal volumico es proporcional al gradiente de presion, al cubo de la separacion entre placas e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. d) El factor K (constante) es proporcional al gradiente de presion e inversamente a la longitud de la tuberia. e) Los esfuezos de corte varian linealmente y son proporcionales al factor K. La disipacion de energia por unidad de volumen es proporcional al cuadrado del factor K e inversamente proporcional a la viscosidad. 23
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1.5.- FLUJO LAMINAR EN CILINDRO (FLUJO TUBERIA). Consideraremos el flujo laminar completamente desarrollado de un fluido continuo incompresible desplazándose por una tubería y el fluido moviéndose a causa de un gradiente de presión en forma estable y uniforme por las mismas y bajo un régimen laminar. Por la geometría del problema es conveniente expresar las ecuaciones de Navier–stokes (ecuacion del movimiento) y la ecuacion de continuidad en coordenadas cilindricas. FLUJO LAMINAR POR UNA TUBERIA 24
1. 2. 3. 4. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en coordenadas cilindricas (Componente de la aceleracion en la direccion z). az = duz/dt + urduz/dr + (duz/d?)u?/r + uz(duz/dz) = -1/?(dp/dz) + Gz + ? [1/r d/dr (rduz/dr) + 1/r2(d2uz/d?2) + d2uz/dz2] Ecuacion de continuidad para un fluido incompresible en coordenadas cilindricas. d(r ur)/dr + du?/d? +d(r uz)/dz = 0 Condiciones del problema. u? = 0 ; ur = 0 ; uz = uz (r, z, t) ; Gz = 0 De la ecuacion de continuidad y con las condiciones del problema. duz/dz = 0 ? uz = uz (r, t) ; Como el flujo es permanente ? uz = uz ( r ) 25
5. 6. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica La ecuación de Navier-Stokes, tomando en cuenta las condiciones del problema nos queda como: 0 = -1/?(dp/dz) + ? 1/r d/dr (rduz/dr) Sabemos que dp/dz = -K ( K>0) y como uz = uz ( r ) ? 0 = K/? + ?/r d/ dr (r duz / dr) ? d/ dr (r duz / dr) = – (K/µ) r ? ? d (r duz / dr) = – ? (K/µ) r dr ? r duz / dr = – (K/2µ) r2 + C1 ? duz / dr = – (K/2µ) r + C1/r ? ? duz = – (K/2µ) ?r dr + ?(C1/r) dr ? uz = – (K/2µ) r2/2 + C1 ln r + C2 26
7. 8. 9. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Condiciones de frontera (contorno). uz = 0 ? r = R ; uz finito ? r = 0 ? C1 = 0 ? 0 = – (K/2µ) r2/2 + C2 ? C2 = (K/4µ) R2 Distribución de velocidades (Campo velocidades). uz = – (K/4µ) r2 + (K/4µ) R2 = K/4µ [R2 – r2 ] Si r = 0 ? uz = K R2 / 4µ ; r = R ? uz = 0 Caudal volúmico (Q). Q = ? u • dA = ?R uz 2 p r dr = K 2p/4µ ?R (R2 – r2) r dr 27
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Q = Kp/ (2 µ) ?R (R2r – r3)dr = Kp/(2 µ) [R2 r2/2 – r4/4]0R = Kp/(2 µ)[R4/2 – R4/4] Q = Kp/(2 µ) [ ( 2R4 – R4) / 4] POISEULLI) = Kp/(2 µ) R4/ 4 = Kp/(8 µ) R4 (Formula 10. Velocidad media. Um = Q / A = Q / (p R2) = Kp R4 / (8 µ p R2) = KR2 / (8 µ) 11. Perdida de Carga ( hf ) Un aspecto importante del flujo de fluidos por tuberías es la evaluación de la PERDIDA DE PRESION a lo largo de ella, debido a los EFECTOS VISCOSOS y de TURBULENCIA y en este paso encontraremos una formula para evaluarla para un régimen de fluido laminar circulando por el interior de una tubería. 28
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Sabemos que el gradiente de presión en flujos desarrollados, tanto laminares como turbulentos esta dado por la siguiente expresión. dp/dz = -K ? – dp/dz = K ? (p1 – p2 )/L = (8 Umµ)/R2 = (8 Um µ)/(D/2)2 K = (8 Um µ)/R2 = ?p / L = (p1 – p2 )/L = (32 Um µ) / D2 ( perdida de presión por unidad de longitud a lo largo de la tubería). Por otro lado sabemos que: hf = ?p / ? (perdida de carga o perdida de energía por unidad de peso de fluido transportado) ? ?p = ? hf Como K = ?p / L = ? hf / L = (32 Um µ) / D2 ? hf = (32 Um µ L ) / ( ?D2 ) hf = (32 µ L Um) / ( ?D2 ) * (Um / Um ) = 32 µ L / (? g D2) * ( Um2 / Um ) * ( 2 / 2 ) hf = ( µ / ? ) / ( Um D) 64 (L / D) (Um2 / 2g ) = ? / ( Um D) 64 (L / D) (Um2 / 2g ) Sabemos que el numero de Reynolds es: Re = Um D / ? 29
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Introduciendo el numero de Reynolds tenemos finalmente que: hf = ( 64/ Re ) (L / D) (Um2 / 2g ) Esta es la formula para calcular la perdida de carga (perdida de energia por unidad de peso de fluido transportado por la tuberia) para un fluido newtoniano en regimen laminar. Si llamamos f = 64 / Re ( adimensional), tenemos que. hf = f (L / D) (Um2 / 2g ) Donde f se conoce como el factor de friccion y es funcion de el numero de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tuberia f = f ( Re ; e / D ) 30
DIAGRAMA DE MOODY
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica 1.6.- FLUJO LAMINAR ENTRE CILINDROS ROTATORIOS. Un flujo laminar de fluido totalmente desarrollado y continuo entre cilindros concéntricos rotatorios también tiene solución exacta de las ecuaciones de Navier – Stokes. Este modelo es el que se utiliza en la teoria de la lubricacion (Tibologia), donde el fluido es un aceite lubricante. La solucion para flujo laminar es valida para Re = 1700 y la velocidad angular del cilindro externo ? = 0. Se ignoran las fuerzas de campo ya que se supone los cilindros en posición vertical. 32
1. 2. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica El momento de torsión resultante que actúa sobre este elemento de fluido es cero porque no existe aceleración angular, por lo tanto: ?2prL x r – (? + d?)2p(r + dr)L x (r + dr) = 0 La longitud L debe ser GRANDE respecto a la holgura (R2 –R1), asi se puede modelar en el plano cilindrico (consistente con la realidad). Si ignoramos los terminos de mayor grado y en el limite la ecuacion anterior se reduce a: 2? + r d? / dr = 0 La ecuación constitutiva unidimensional del esfuerzo de corte en coordenadas cilíndricas es (Ver tabla 5.1 Potter). ?r? = µ [ r d/dr (v?/r) + 1/r (dvr /d?) ] 33
3. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Sabemos que los esfuerzos de corte son: ? = – ?r? , por lo tanto de la ecuación constitutiva tenemos que: ? = – ?r? = – µ r d/dr (v?/r) (vr = vz = 0) Reemplazando en la ecuación de apartado 1 tenemos que: – 2 µ r d/dr (v?/r) – rµ d/dr [r d/dr (v?/r)] = 0 Dividiendo entre µr y multiplicando por dr e integrando, tenemos que: 2 (v?/r) + r d/dr (v?/r) = A d/dr (v?/r) = 1/r (dv? / dr) – v? / r2 34
4. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica dv? / dr + v?/r = A ? 1/r d/dr ( r v? ) = A Multiplicando por rdr e integrando nuevamente tenemos que: v? ( r ) = (A/2) r + B/r Las condiciones limites son: v? = R1? si r = R1 y v? = R2? si r = R2. Con estas condiciones evaluamos las constantes A y B. A = 2 [ (?2 R22 – ?1 R12)/ (R22 – R12) ; B = R12 R22 (?1 – ?2 ) / (R22 – R12) Aplicando Navier – Stokes en coordenadas cilindricas y suponiendo flujo uniforme y que las lineas de corriente son circulares y concentricas con los cilindros giratorios de modo que : vr = vz = 0 ; v? = v?( r ) y dp/d? = 0) 35
5. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica La ecuación de Navier – Stokes para la componente ? en coordenadas cilíndricas es: dv?/ dt + vr dv?/ dr + (v?/r ) dv?/ d? + vz dv?/ dz + vr v? / r = – 1/r (dp/d?) + + µ [d2v?/ dr2 + 1/r (dv?/ dr) + 1/r2 (d2v?/ d?2) + d2v?/ dz2 + 2/r2 (dv?/ d?) – v?/r2 Condiciones del problema, flujo estable y uniforme: dv?/ dt = 0 ( Flujo permanente); vr = vz = 0 (líneas corrientes circulares y concéntricas con los cilindros giratorios); dv?/ d? = 0 (flujo simétrico) ; dp/d? = 0 (no existe gradiente de presión en la dirección de rotación, no hay aceleración en esa dirección); d2v?/ dz2 = 0 (cilindros largos por lo tanto la longitud L es mucho mayor que la holgura entre cilindros). Con estas condiciones la ecuación del movimiento queda como: 0 = d2v?/ dr2 + 1/ r (dv?/ dr) – v?/r2 36
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Reescribiendo la ecuación, tenemos que: d2v?/ dr2 + d/ dr (v?/ r) = 0 Integrando obtenemos que: dv?/ dr + v?/ r = A ? (1/r) d/dr( r v? ) = A Una segunda integración nos da: v? = (A/2) r + B/r y aplicando condiciones de borde: A = 2 [ (?2 R22 – ?1 R12)/ (R22 – R12) ; B = R12 R22 (?1 – ?2 ) / (R22 – R12) Mismo resultado anterior 37
6. 7. 8. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Si el cilindro externo NO rota ? ?2 = 0 y la distribución de velocidades seria: v? = (R12 ?1) / (R22 – R12) [ (R22/ r) – r ] El esfuerzo cotante ?1 en el cilindro interno es: ?1 = – ?r? = – [µ r d/dr (v?/r)]r=R1 = µ (2 / R12) [ (R12 R22 ?1/ (R22 – R12)] ?1 = 2 µ R22 ?1/ (R22 – R12) El momento de torsión T necesario para hacer girar el cilindro interno de longitud L es: T = ?1A1 R1 = [2 µ R22 ?1/ (R22 – R12)] 2pR1LR1 38
9. Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica T = (4p µ R12 R22 L ?1) / (R22 – R12) La potencia necesaria W para hacer girar el cilindro interno se encuentra multiplicando el momento de torsión por la velocidad angular de rotación: W = T ?1 W = [(4p µ R12 R22 L ?1) / (R22 – R12)] ?1 W = (4p µ R12 R22 L ?12) / (R22 – R12) Se requiere esta potencia para poder vencer la resistencia producida por la viscosidad y como resultado de esto se incrementa la energía interna y por lo tanto la temperatura del fluido lubricante. Esa es la razón fundamental de la importancia de la lubricación y los lubricantes. 39
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