Compensación automática de fuerzas dinámicas en un rotor tipo Stodola-Green
Enviado por alvaro_aa247
Un análisis de un sistema de autobalanceo es presentado en este artículo, el cual utiliza cuerpos (bolas) balanceadores que se mueven libremente al girar junto con el rotor por balancear. Utilizando las ecuaciones de Lagrange´s, nosotros derivamos las ecuaciones no lineales de movimiento para un sistema autónomo con respecto a un sistema de coordenadas polar. De las ecuaciones de movimiento para el sistema autónomo, las posiciones de equilibrio y las ecuaciones lineales del variacional son obtenidas por el método de perturbación. A causa de la resistencia para el movimiento, la excentricidad, a una velocidad excesiva hace a que los cuerpos balanceadores sean movidos y la influencia de las vibraciones externas hace imposible lograr un balanceo completo. Basado en las ecuaciones del variacional, la estabilidad dinámica del sistema en la cercanía de las posiciones de equilibrio se investiga. Los resultados del análisis de estabilidad proporcionan los requerimientos de diseño para el sistema de atobalanceo.
1.- Introducción.
El desbalance es la distribución irregular de las masas de un cuerpo respecto al centro geométrico de rotación, dando como resultado la descompensación de masas que al girar con cierta aceleración originan fuerzas excitadoras radiales que causan desgaste, vibración, componentes doblados o rotos y componentes excéntricos. Si se aplica la técnica de balanceo automático a la maquinaria rotatoria, se pueden eliminar problemas de vibración por desbalance, dando como resultado mayor disponibilidad y confiabilidad en la maquinaria rotatoria, así como una mayor durabilidad de esta.
La rotación de cuerpos o rotores en desbalance producen vibración y provocan cargas dinámicas adicionales. Las altas velocidades de los equipos rotatorios actuales hacen de este problema una necesidad rigurosa en materia de balance de las partes en movimiento. Sin embargo en un sistema donde la distribución de las masas varía, durante la operación o cada vez que tiene que ser arrancada nuevamente por algún paro técnico, el método convencional de balance de rotores se vuelve impráctico.
Es aquí donde los métodos de autobalance se pueden practicar y tratar de eliminar los tiempos muertos de estos equipos por paros necesarios debido al desbalance. Estos métodos de autobalance se basan en mecanismos ya sea líquidos o cuerpos (péndulos, bolas, etc.) que se posicionan en sentido opuesto a la fuerza que provoca el desbalance. En el caso de un líquido, el grado de balance que se puede lograr es del 50% del desbalance original e inicial. Mientras que al utilizar péndulos o bolas es teóricamente posible optimizar el balanceo al 100%.
En los mismos sistemas de balanceo, la investigación básica se comenzó por Thearle [2, 3], Alexander [4] y Cade [5]. El análisis dinámico de las ecuaciones diferenciales para los mismos sistemas de balanceo puede encontrarse en las referencias [7-9]. Las ecuaciones obtenidas son para los sistemas no autónomos, estas ecuaciones tienen las limitaciones en el análisis de estabilidad. Chung y Ro [9] estudiaron la estabilidad y la conducta dinámica de un ABB para el rotor Jeffcott. Ellos derivaron las ecuaciones de movimiento para un sistema autónomo usando las coordenadas polares en lugar de las coordenadas rectangulares. Hwang y Chung [10] aplicaron este acercamiento al análisis de un ABB con carreras dobles. En este estudio, los autores consiguieron un análisis similar para un eje flexible con dos sistemas de balanceo. Describiendo el centro geométrico del rotor con las coordenadas polares, se derivan las ecuaciones no lineales de movimiento para un sistema autónomo de la ecuación de Lagrange. Después de una posición de equilibrio balanceado y linealizando las ecuaciones en la cercanía de la posición de equilibrio son obtenidas por el método de perturbación.
Por un largo tiempo el balanceo automático en un plano ha sido un fenómeno bien conocido (según Blekhman 2000, sperling et al 1998).
Este método fue propuesto por Thearle para el balanceo en un plano, desarrollando la metodología y verificando la eficiencia del mismo. Mas adelante R. Sokolowska investigó la posibilidad de compensar las fuerzas dinámicas por el objeto rotante y comprobó que sólo una parte del desbalance podría ser compensado por elementos libres.
Si el rotor tiene desbalance estático y desbalance dinámico entonces existen fuerzas centrífugas y momentos que giran con el rotor, donde estas fuerzas actúan a lo largo de todo el sistema del rotor, en un plano transversal; para esto es necesario introducir o crear dos fuerzas, en planos previamente analizados, similares a las fuerzas originadas por el desbalance pero en sentido opuesto, tratando de llevar la vibración originada inicialmente a cero. Esto se puede lograr con elementos rodantes en discos con una arquitectura de tal manera que las bolas o esferas busquen una posición a 180º de las fuerzas inerciales de origen.
Finalmente la aportación de la investigación será la de realizar el análisis dinámico para un rotor tipo Stodola-Green aplicando una metodología similar a la que utilizaron los investigadores mencionados anteriormente, en la cual también se tendrá la tarea de realizar una simulación computarizada para el sistema de ecuaciones, en la cual se podrá observar el comportamiento del sistema de balanceo.
Cabe destacar que esta teoría será aplicable en casos como el de una lavadora; en donde en la etapa de secado, la ropa no se distribuye uniformemente al estar girando la tina. Lo cual esta mala distribución de la ropa ocasiona que los soportes y los rodamientos tengan un desgaste excesivo provocando que tengan una duración mas corta. Este sistema automáticamente compensará esta vibración y optimizará el comportamiento de los elementos en cuestión.
Así como este ejemplo existen muchos otros, de mayor o igual importancia, ya que el desbalanceo en maquinaria rotatoria provoca una menor durabilidad de esta, además de que de igual manera se pone en riesgo a las personas que operan estos equipos. Algunos otros equipos que podríamos mencionar en los cuales se pudiese implementar un sistema de balanceo automático son: unidades de CD-ROM, maquinaria rotodinámica como son (turbinas, motores, etc.). Así pues, el propósito fundamental de esta investigación es la de eliminar el desbalance en la maquinaria rotatoria por medio del balanceo automático.
Figura 1.- Sistema de autobalanceo en un rotor tipo Stodola-Green.
El rotor tipo Stodola-Green con un sistema de autobalanceo es mostrado en la figura 1, en la cual la flecha del rotor esta apoyado en uno de sus extremos por el mismo sistema de autobalanceo. En este análisis es supuesto que la masa de la flecha es despreciable comparado con la masa del rotor. El sistema de coordenadas XYZ es un marco de referencia inercial con un espacio-fijo y los puntos C y G son el centro de masa y centroide del rotor respectivamente. El punto O puede ser considerado como la proyección de centroide C hacía el eje O`Z. El balanceador de bolas consiste de un rotor circular con una ranura que contiene las bolas y un fluido humedecedor. Las bolas se mueven libremente en la ranura y el rotor con una velocidad angular ω. Es supuesto que la deflexiσn de la flecha es pequeρa pero puede asumirse que el centroide C se mueve en el plano XY.
Figura 2.- Representación esquemática del sistema de autobalanceo.
Como es mostrado en la Figura 2, el centroide C puede definirse por las coordenadas polares r y
El centro de masa puede definirse por la excentricidad y el ángulo t, para la posición dada del centroide y la posición angular de la bola Bi es dado por el radio de paso R y el ángulo i.
Para describir las rotaciones del cuerpo rígido del rotor en el eje X y Y, se usan los ángulos de Euler, para dar orientación al rotor-fijo en el sistema de coordenadas relativo xyz y para el espacio-fijo el sistema de coordenadas XYZ. En este caso, los ángulos de Euler de t, y son usados como se muestra en la Figura 2. Una rotación a través del ángulo t sobre el eje Z resulta en el primer sistema. Semejantemente la rotación sobre el eje x´ y una rotación sobre el eje y´´ resulta el segundo sistema y el sistema de coordenadas xyz respectivamente. En forma matricial:
(1)
y las matrices de rotación:
(2)
(3)
En la cual todos los componentes son vectores unitarios alo largo de las direcciones asociadas respectivamente.
En el primer paso es considerado la energía cinética del rotor con el sistema de autobalanceo. El vector de posición del centro de masa G puede ser expresada usando la matriz de rotación:
(4)
En donde
(5)
Usando una coordenada generalizada común definida por
(6)
Después del producto matricial, el vector de posición del centro de masa, rG es:
(7)
Y el vector de posición de la bola:
(8)
En este estudio nosotros estamos suponiendo que estamos utilizando 2 bolas, en la cual la energía cinética es dada por:
(9)
Donde J es la matriz de inercia y es el vector de la velocidad angular del rotor:
(10)
(11)
En el cual J es el momento de inercia de la masa sobre el eje x,y,z. Despreciando la gravedad, el par torsional y la deflexión longitudinal de la flecha, la energía potencial o la emergía de tensión, forman los resultados de la curva de deflexión de la flecha. Como se muestra en la Figura 1. La flecha puede ser considerada como una viga en cantiliver, en la cual es fijo en Z=0 y libre en Z=L. La deflexión en la direcciones X y Y en Z=L, Dx y Dy, son dadas por:
(12)
Para los ángulos de rotación y , los ángulos de rotación sobre los ejes X y Y son:
(13)
La deflexión y pendiente en Z=L en el plano ZX son DX y Y, mientras que en el plano ZY son DY y -X, las deflexiones en las curvas de la flecha en los planos ZX y ZY, δx y δy, pueden ser expresados como:
(14)
En este caso, la energía de tensión V esperado para la flecha deformada es:
(15)
En donde E es el modulo de Young’s y I es el momento de inercia del área de la sección de la flecha.
En otras palabras, la función de disipación de Rayleigh’s F puede ser representada por:
(16)
En donde ct y cr es respectivamente el coeficiente de humedecimiento equivalente para la traslación y rotación y D es el coeficiente de viscosidad de rozamiento de las bolas en el fluido humedecedor.
Las ecuaciones de movimiento son derivadas a partir de la ecuación de Lagrange’s:
(17)
En esta formula qk son las coordenadas generalizadas. Para el sistema dado, las coordenadas generalizadas son r, y por lo tanto, el comportamiento dinámico del sistema de autobalanceo es gobernado por 2+4 ecuaciones independientes de movimiento. Bajo la suposición de que r, son pequeños y sus productos también, las ecuaciones de movimiento son simplificadas y linealizadas por el método de perturbación:
(18)
En este caso cada ecuación anterior tiene dos componentes; las coordenadas para las posiciones de equilibrio y sus pequeñas perturbaciones. Se considera que 
=0 en la posición de equilibrio. Y las ecuaciones linealizadas de moviendo son:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Es supuesto en las 4 ecuaciones anteriores que:
(24)
Los momentos de inercia de la masa, JX=JY y JZ son dadas por:
(25)
La posición del equilibrio balanceado puede ser representada por:
(26)
Las pequeñas perturbaciones de las coordenadas generalizadas de la posición balanceada pueden ser escritas como:
(27)
y es un eigenvalor. Sustituyendo las ecuaciones (26) y (27) en las ecuaciones (19-22), usando la ecuación de identidad de Pitágoras y la condición que dan las ecuaciones (27), se tienen soluciones no triviales que pueden ser expresadas como una ecuación característica dada como:
(28)
en donde los coeficientes ck(k=0,1,….12) son funciones de , M, m, R, L, , E, I, D, ct y cr. Las expresiones explicitas de ck son omitidas de este articulo. El criterio de Routh-Hurwitz mantiene una condición suficiente para las partes reales de todas las raíces para ser negativas. Los parámetros de la geometría siguiente son considerados como:
(29)
Y o es la referencia de la frecuencia; ty r son factores de humedecimiento adimensionales para la translación y rotación. En este articulo se estudia la estabilidad del balanceador por las variaciones de los parámetros de los sistemas no adimensionales como es /o contra /R. Estos son algunos parámetros para ser considerados: L/R=2, y m/M = /R = D/mR2o = t = r = 0.01.
Figura 3.- Posible posición de equilibrio par alas variaciones de velocidad de rotación.
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Figura 4.- Representación esquemática de 2 posiciones del rotor a) Posición de equilibrio,
b) posición de desequilibrio.
Los cuerpos balanceadores (bolas) del sistema de autobalanceo no asumen las posiciones que aseguren el balanceamiento completo del rotor. Las posiciones eficaces de un cuerpo balanceador difieren por la posición de equilibrio . Otras razones que también pueden aparecer son la fricción de los cuerpos balanceadores contra las caras que están dispuestas dentro de ellos, irregularidades de forma o la distribución del peso asimétrico axial de los cuerpos balanceadores. Los errores de posición son relativamente grandes y el mas grande de ellos es el alto coeficiente de resistencia al movimiento rotativo y es la razón mas alta de /o (cuando es mayor que 1) Para reducir estos errores seria necesario cambiar el método de guiado de los cuerpos balanceadores. Por ejemplo aire amortiguado, cuerpos suspendidos por fuerzas magnéticas o electrostáticas.
Para obtener el balanceo, debe ser mayor que la primera frecuencia natural, el fluido humedecedor D y la disipación por translación ct son necesarios para obtener el balanceo, pero la disipación por rotación cr no lo es. La estabilidad del sistema se ha analizado con las ecuaciones lineales del variacional y el criterio de Routh-Hurwitz.
1.- J. N. MacDuff and J. R. Curreri, Vibration Control, McGraw-Hill, New York (1958).
2.- E. L. Thearle 1950 Machine Design 22, 119-124. Automatic dynamic balancers (Part 1. leblanc).
3.- E. L. Thearle 1950 Machine Design 22, 103-106. Automatic dynamic balancers (Part 2. ring, pendulum, ball balancers).
4.- J. D. Alexander 1964 Proceedings of 2nd Southeastern Conference vol. 2, 415-426. An automatic dynamic balancer.
5.- J. W. Cade 1965 Design News, 234-239. Self-compensating balancing in rotating mechanisms.
7.- Majewski Tadeusz 1988, Mechanism and Machine Theory, Position Error Occurrence in Self Balancers Used in Rigid Rotors of Rotating Machinery, Vol. 23, No. 1 pp71-78, 1988.
8.- C. Rajalingham and S. Rakheja 1998 Journal of Sound and Vibration 217, 453-466. Whirl suppression in hand-held power tool rotors using guided rolling balancers.
9.- J. Chung and D. S. Ro 1999 Journal of Sound and Vibration 228, 1035-1056. Dynamic analysis of an automatic dynamic balancer for rotating mechanisms.
10.- C. H. Hwang and J. Chung 1999 JSME International Journal 42, 265-272. Dynamic analysis of an automatic ball balancer with double races.
Ing. Álvaro Aguilar Aguilar
Licenciatura: En Ingeniería Mecánica en la Universidad Autónoma de Tlaxcala.
Maestría : Actualmente alumno del quinto semestre de la Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
(opción Diseño) del Instituto Tecnológico de Puebla.
M.C. Marco Antonio Meraz Melo
Profesor de la Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica del Instituto Tecnológico de Puebla.