k(R es un número ordinario;
Rl es el desplazamiento del lado izquierdo del número con respecto a k, comprendiendo así el área entre la vertical, que pasa por k y el lado izquierdo de A;
Rr es lo mismo del lado derecho de A;
Objetivo
El objetivo de este trabajo es extender este concepto a una clase especial de números difusos, obtenidos a partir del histograma de cualquier forma y con cualquier cantidad de barras con ((1.
Analizando la fórmula del valor representativo de A, podemos ver que el área bajo la curva de la pertenencia del número A es igual a Rr-Rl, luego el valor representativo de A queda igual a Rl + 1( 2 A.
Esta expresión no es mas que la abscisa del centro de masas de la figura plana del número difuso A calculada con respecto a k. Al situar k en el origen de coordenadas, normalizándola en el histograma, obtenemos un número difuso especial, compuesto por barras de ancho igual. La abcisa del centro de masas se calcula más fácil con la fórmula desarrollada en la física: R(A,k)(((i dist.(i) ( ((i siendo esta:
(i la frecuencia de la barra i, convertida en la pertenencia del numero A mediante la normalización
Dist (i) es la distancia del origen de la barra i.
Ejemplo
Sean las notas de una clase en los exámenes de una asignatura
4 4 3 2 5 2 5 3 3 3 3 4 3 2 4
Construimos el histograma correspondiente:
y la normalizamos, dividiendo entre la barra máxima todas las barras restantes. Aplicamos luego la fórmula citada en el trabajo:
(3(6.1(2+1.11( 2 +4(6.21(2+ 2(6.7(2) ((3(6+1+4(6+2(6) (3.3, que es la nota media real. O sea, el aprovechamiento conseguido de la asignatura.
El ejemplo, presentado más arriba, es trivial y aclara solamente el lado técnico de la conversión de datos en el histograma y este se puede encontrar en un número difuso. La nota promedio más fácil se calcula como la media aritmética.
En el caso de la selección o valoración multicriterial la fuente de la información primaria son los expertos en la materia de interés. Normalmente dichos expertos son pocos y son difíciles de reunir para llegar a un consenso. No hay otra forma que recurrir al dato, dado por cada experto en particular. Dado el hecho que expertos mencionados son pocos, no es correcto recurrir a las herramientas estadísticas, porque, como se sabe, la estadística es la ciencia de los grandes números. Existe un procedimiento, elaborado para los números ordinarios en el cual prevé la comparación de dos números, para elegir el mayor de ellos. Para los números ordinarios esto no es un problema, pero; ¿Como proceder con la encuesta de pocos expertos?
Antonio Morillas Moya en su Tesis de doctorado, cita las reglas para ordenación lineal de los números difusos, elaboradas por Kaufmann y Gupta; la misma se basa en la aplicación de tres criterios sucesivos de tal forma que si con el primero no se consigue el orden único, se aplicará entonces un segundo criterio, y si con este tampoco se consigue, se aplicará por última instancia un tercero.
1er criterio:
Sea k, un número real y es a su vez un número ordinario también, y A es un número difuso, entonces:
El desplazamiento del lado izquierdo de A respecto a k (Rl(A, k)) se define como el área comprendida entre k y el lado izquierdo de A;
El desplazamiento del lado derecho de A respecto a k (Rr(A,k)) se define como el área comprendida entre k y el lado derecho de A. Finalmente, R(A,k)=1/2(Rl(a,k)+Rr(A,k)).
2do criterio:
De cada clase, obtenida con el criterio 1, se buscará la moda o el valor central del número difuso. Si la moda no es única (o sea, el número no es triangular), se tomará en cuenta la media de los valores modales. Es en el caso de las modas donde se generan subclases de equivalencia, y la misma se aplicará al tercer criterio.
3er criterio:
Dentro de cada subclase se toma la divergencia (a3-a1) como criterio para ordenación final de los números difusos (AL-AR).
Conclusiones
El trabajo presentado da una visión general del uso del número difuso en forma de histograma al cual se le aplican todas las operaciones para las funciones difusas. En el ejemplo dado se analiza la obtención de la abcisa del centro de masas que es la mejor aproximación de los números dados. Luego se analiza el caso de la comparación de números difusos, y se exponen los criterios de comparación., la cual resulta imprescindible en los casus reales.
Bibliografía
1. Zadeh L.A. Fuzzy Sets. Información y Control, 1965, #8.
2. Zadeh L.A. Fuzzy Ordering. Inf. Sci. 1971, 3.
3. Rodríguez Moya A. Introducción al análisis de los datos difusos. Tesis de doctorado. 1985.
4. Zimmermann H-J. Fuzzy programming with several objective functions. Fuzzy sets and systems, 1978, #1
5. Orlovskii S.A. El problema de toma de decisiones en condiciones del dato inicial difuso. Moscú. 1981.
Autora:
Marina Alexandrovna Escobar
Msc. Asistente de la Universidad de Camagüey
(Profesora de la Facultad de Ingeniería Eléctrica)
Coautor:
Ernesto Izquierdo Junquera
Profesor Instructor e investigador de la Universidad de Camagüey
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