Las cosas más importantes en matemáticas, son las que tienen un fundamento más débil…
–ABEL, en carta a su maestro Holmboë, en 1826.
Resumen:
A pesar de carecer actualmente de formulación dinámica, es posible obtener gran cantidad de información sobre Teoría M, teoría que se postula como unificadora de todas las interacciones, a partir de sus sectores perturbacionales y de baja energía. En las regiones perturbacionales adecuadas, la Teoría M adopta la apariencia de la Teoría de Cuerdas. Al considerar su límite de baja energía, surge la supergravedad en once dimensiones. Aquí se indica cómo Teoría M puede ser considera da como una deformación biparamétrica de Geometría Clásica, dónde un parámetro controla la generalización de puntos a lazos y el otro parámetro controla la suma sobre topologías de superficies RIEMANN. La formulación matemática final de Teoría M tendrá que considerar Teoría de Fibrados Vectoriales, Teoría K y Geometría No Conmutativa.
Descriptores: Teoría cordal, Geometría Riemann, Fibrados Vectoriales, Teoría K, Geometría no Conmutativa, Teoría cuántica, Teoría Conformal de campos.
Abstract.
Despite currently lacking dynamic formulation, it is possible to get lots of information about M theory, theory that is postulated like unifying all interactions, from their perturbative and low energy sectors. In suitable perturbative regions, the M theory takes the appearance of the string theory. When considering its limit of low energy, arises the supergravity in eleven dimensions. Here It is indicated how M-theory can be considered as a two-parameter deformation of Classical Geometry, where one parameter controls the generalization from points to loops, and the other parameter controls the sum over topologies of RIEMANN surfaces. The final mathematical formulation of M-theory will have to make contact with the theory of vector bundles, K-theory and noncommutative geometry.
Keywords: String Theory, Riemann Geometry, Vector Bundles, K-Theory, NonCommutative Geometry, Quantum Theory, Conformal Fields Theory.
1 Introducción
Durante años ha habido muchas interacciones fructíferas entre Teoría Cordal [15] y varios campos de Matemática. Materias como Geometría Algebraica y Teoría de Representación han sido estimuladas por nuevos conceptos como Simetría Especular [3], Cohomología Cuántica [13] y Teoría Conformal de Campos [4]. Pero, la mayoría de estos desarrollos se han basado en la formulación perturbacional de Teoría Cordal o en el formalismo LAGRANGEano con respecto a aplicaciones de superficies RIEMANN, a variedades y cuantización de espacios de lazos. Este enfoque perturbacional es, sin embargo, sólo una descripción aproximada aplicable para valores pequeños del parámetro de cuantización.
Ha habido mucho progreso en la comprensión de una descripción más fundamental de la teoría, con lo que se ha conocido como Teoría M. Teoría M podría ser, hasta ahora, el objeto matemático más complejo y más rico en las físicas. Parece unificar tres grandes ideas de las físicas teóricas del siglo veinte:
1. Relatividad General la idea que la gravedad puede ser descrita por la geometría RIEMANN de espaciotiempo.
2. Teoría de Calibración la descripción de fuerzas entre partículas elementales usando conexiones sobre fibrados vectoriales. En matemáticas esto involucra Teoría K y teoremas de índices.
3. Las cuerdas o, más generalmente, los objetos extensos, como generalización natural de partículas puntuales. Matemáticamente esto significa que se estudian los espacios primariamente, a través de sus (cuantizados) espacios de lazos.
En la actualidad parece que estas tres ideas independientes están estrechamente relacionadas y, quizás, son esencialmente equivalentes. En alguna extensión, las físicas están intentando construir un diccionario entre Geometría, Teoría de Calibración y Cuerdas.
Debe decirse que en todos los desarrollos ha habido dos ingredientes adicionales, que son completamente cruciales. El primero es Mecánica Cuántica —la descripción de realidad física en términos de Álgebras de Operadores que actúan sobre espacios HILBERT. En la mayoría de los esfuerzos por entender Teoría Cordal, Mecánica Cuántica ha sido fundamental y hay poca indicación de que esto vaya a cambiar.
El segundo ingrediente es Supersimetría —unificación de materia y fuerzas. Matemáticamente, Supersimetría se relaciona estrechamente a complejos DE RHAM y Topología Algebraica. De alguna manera, muchas de las milagrosas interconexiones en Teoría Cordal, sólo funcionan si Supersimetría está presente. Puesto que esencialmente, se trabaja con complejos, no debe sorprender a los matemáticos que haya varios índices 'topológicos' estables con respecto a perturbaciones, que pueden computarse exactamente, dentro de límites apropiados. Desde una perspectiva física, Supersimetría es quizás, la más robusta predicción de Teoría Cordal.
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